NOMBRES IRRATIONNELS

IMIlODt CIION DKS NOMBllKS IKUMlONNELS OI'KIW'IIONS FONDVMKNTVLES

1. — L'idco t]o noiril)rc se forme par uno suite de généralisations.. Le point de dépail est le nombre entier; les définitions et propositions concernant les quatie opérations fondamentales sur les nombres entiers forment l'objet des premiers cbapitres de l'arithmétique; on introduit ensuite les fractions, qui peuvent être regardées comme des cou[)les de immbres entiers ; les définitions de l'égalité et des oi)érations fondamentales doivent être reprises sur ces nouveaux nondjres ; au d('>but de l'algèbre on introduit une notion nouvelle, celle des nombres affectés de signes ou nondnes relatifs ; un tel nombre n'est autre qu'un des nombres définis en arithmétique, précédé du signe 4- on du signe — : Ici encore, on doit re- ])rendre à nouveau les délinitinns de légalité et des opérations fondamentales.

(Jes extensions successives se justifient à deux points de vue. Au point de vue concret, la définition des fractions ((|ui embrassent

TA^NEnY I. — IiUro iui'lion i'i U lliùoiie îles fonctiotu 1

2 IMUODlCricJN A \.\ TlIKORIE DES FONCTIONS

d'ailleurs les nombres entiers), i)crmel d'exprimer la mesure d'une grandeur commensurable à l'unité; la définition de l'égalité de deux fractions est telle que deux fractions égales mesurent une même grandeur ou des grandeurs égales ; la délinilion de la somme ou de la dillérence de deux fractions est telle que la somme ou ladilTérence de deux fractions mesure la somme, ou la dilTércncc, des deux grandeurs que mesurent ces deux fractions ; la définition du produit de deux fractions a, b, dont la première mesure la grandeur A quand on prend la grandeur B pour unité et dont la seconde mesure la grandeur lî (juand on prend la grandeur C pour unité, est telle que le produit ah mesure la grandeur A (piand on [)rend C pour unité. La définition de la division de deux fractions a, b qui

mesurent les grandeurs A, B est telle que le quotient j soit la mesure de la grandeur A quand on prend la grandeur B pour unité.

De même, en algt'bre, les nombres relatifs s'introduisent naturellement pour mesurer les grandeurs susceptibles d'être comptées dans- deux sens opposés, en particulier les vecteurs portés par une même droite, quand on a fait clioix, sur cette droite, d'un vecteur unité, dont la longueur est l'unité de longueur, dont le sens est le sens des vecteurs positifs de la droite. Les définitions de l'égalité de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division des nombres relatifs sont cboisiesde manière que les propriétés qu'on vient de rappeler subsistent pour les vecteurs et les nombres relatifs qui leur correspondent ; elles se justifient en outre dans d'autres interprétations, en particulier par la généralité des formules relatives au mouvement uniforme, sur une droite.

D'autre part, il importe évidemment de constituer les mathématiques en évitant, dans leur développement, tout appel à l'intuition expérimentale. Que la notion de nombre entier elle-même résidte ou non de l'expérience, c'est là l'objet de discussions purement philosophiques, dans lesquelles je n'ai nullement la prétention d'entrer. Mais l'intérêt qu'il y a à constituer l'analyse avec cette seule notion et celle de Vinjini, qu'elle implique déjà, est assez évident. Quand on se place à ce point de vue, qui sera ici prédominant, les définitions successives des nombres et des opérations, lors même qu'on n'en oublie pas l'origine expérimentale, doivent être présentées abstraitement; c'est ce qui, comme on

CIIAI'ITUK I. XJMltllKS lUUATlONMXS 3

sait, n'ollVo aïK une (Jifficiillé sérieuse, pour celles que je viens de ra|)j)eler.

On \<)il alors, d'un côté, que chaque ^'■énéralisation de la notion de nombre permet de définir des opérations qui n'avaient pas de sens avant cette généralisation, tic l'anlrc. que les propriétés loiidamonlales des opérations, observées sur les nombres entiers, subsistent i)uur les nouveaux nombres. Cette permanence des propriétés fondamenlales justifie les définitions introduites, et l'on peut dire que ces définitions ont été introduites en vue de cette permanence.

Les nombres dont il a été question jusqu'ici sont les nombres rationnels; l'ensemble des nombres rationnels est formé par le nombre o, les nombres positifs et négatifs dont la valeur absolue est, soit un nombre entier, soit une fraclion à termes entiers. Je suppose acquises les règles relatives au calcul de ces nombres.

Une nouvelle extension de l'idée de nondjre concerne les nom -

:bres irrationnels : cette extension a sa place en aritbmétique ; il

convient toutefois de la reprendre au début de l'analyse, d'autant

•que plusieurs des notions et démonstrations que l'on rencontre en

analyse, dépendent de la faron dont elle a été présentée.