Avant de l'aborder, je ferai les remarques sui\antes

Etant donné un nombre rationnel positif quelconque, il existe des nondjres rationnels positifs plus petits que lui : on les obtient par excm[)le, en augmentant le numérateur de la fraction à termes entiers qui le représente; on peut en obtenir ainsi une injinite, c'est-à-dire plus de n, quelque soit n.

Etant donnés deux nombres rationnels quelconques, non égaux, il existe une infinité de nombres rationnels compris entre eux : on obtient l'un quelconque d'entre eux en ajoutant au plus petit des nombres donnés un nombre positif, moindre que leur dilTércnce.

Puisqu'il V a des nondjres rationnels entre un nombre rationnel donné a et n'importe quel nombre rationnel b plus petit que a ; il ne peut exister, parmi les nombres rationnels plus petits que '/, un nombre rationnel h qui soit plus grand que tous les autres; de même, parmi les nombres rationnels plus grands qu'un nombre rationnel donné, il n'y en a aucun qui soit plus petit que 'tous les autres.

4 IMUOni CTION A LA TIlKOlUr. PKS lONCTIONS

3. — Soient £ lin nt)nil)rc rationnel positilct Aun nombre lalionnel quelconque ; la théorie de la division des nombres entiers permet de mellre, et rola dune seule l'aron, le nondjre . st*"^ 1'"^ lornic

d'un nombre enlier //, positif, nul ou négatif, et dune fraction £', posili\e ou null(\ j)liis polile (jue i. Le nombre n est la partie entière de '; et Ton a /?z S A •< [n -\- i) £. En d'autres termes encore, si Ion considère la proirression indélinic dans les deux sens (')

..., 3î, 21, t, O, t, 'il. ."»£,...,

ou bien ce nombre A est l'un des termes ni de celle suite, ou bien, il tombe entre deux termes consécutifs m, (/i + i) i, en désignant par n im nombre entier, positif, nul ou négatif: nz est la valeur approchée par défaut de A, h - près ; {n -+- i) - est la valeur approchée de A par excès, à z près. La différence entre A et ses valeurs approchées est moiniirc en valeur absolue que £. à moins que sa valeur approchée par défaut ne soit précisément A, auquel cas la dillercnce entre A et sa valeur approchée par excès est ô.

Remarquons, en passant, que la valeur approchée de A, par défaut, est plus grande que A, en valeur absolue, quand A est négatif. Si A est positif et n'est pas égal à sa valeur approchée, par défaut, à z près, la valeur approchée de — A, à 3 près, par défaut, est égale à la valeur approchée de A à i près, par excès, changéede signe.

4. — Avant d'aller plus loin, plaçons-nous à un point de vue géométrique.

Dans le présent chapitre, on n'aura besoin que d'une droite,, quon |.ourra supposer être toujours la même. Les considérations relatives au plan et à l'espace n'interviendront [)as.

J'emprunte à la géométrie de la droite les notions, axiomes, délinitions ou propositions qui suivent, sans me préoccuper autrement de leur ordre ou de leur dépendance. Les considérations-

(M C'csl-à-dirc (juf cliaqiio [cnnc est prccédc et s\ii\i diiii autre ternie. En parlant sinij)loinent d'une suite indéfinie, j'entendrai une suite de termes où il Y a un premier terme, et où chaque terme est suivi d'un autre terme; telle Oit par exemple la suite des nondjres naturels i, a, S.,...

ClIAl'ITUi: I. NOMIUU.S IlUl.VTIONNIOLS i>

gconicli'lqucs el les li^Mircs no scroiil ilans ce (jui siiil que des aides, cominc les mots pour la pensée. L'élude des axiomes j,'éométri(pies est en dehors du sujet auquel j'entends me limiter (' i.

J.a di-oile s"(Hend iudéliniment, de deuv côtés, à partir d'un quelcon(pic de ses points. On sait ce qu'on cnlcnd en disant ([u'un point est entre deux autres. J^^ntre Jeux points d'une droite il V a mi point, el par conséquent une infinité de [)oints, de cette droite. Sur trois points distincts, il y en a un qui esl entre les deux autres. Si le [)oint 1) e?l entre les points A et G, le point G entre les points B et D, on peut affirmer ([ue G est entre A et 1). On sait ce qu'on entend en disant (pTun point est à droite (ou à gauche) d'un aulie point. Si le [)oint B esl à droite du point A, le point G à droite du point B, on peut afiirmer que G est à droite de A. De même pour la gauche. Des points distincts, sur la droite, en nombre fini, peuvent toujours être rangés dans un ordre tel que chacun d'eux scit à droite de ceux qui le précèdent, à gauche de ceux qui le suivent. Relativement aux segments (-), portés par la droite, limités par deux points, on sait ce que c'est que deux segments égaux, qu'un segment plus grand ou plus 'petit qu'un nuire. Si le point B est entre le point A el le point G, le segment /VG esl plus grand que les segments AB, BG, dont, par définition, il esl la somme. Tout segment plus grand ([u'un segment donné peut être regardé comme égal à la somme, au sens précédent de ce segment et d'un autre segment. Etant donnés, d'une part, deux segments et, d'autre part, deux autres segments ; si les deux premiers segments sont respectivement égaux aux deux seconds. la somme des deux premiers est égale à la somme des deux seconds; si les deux premiers segments sont respectiven)ent plus grands que les deux seconds, leur somme est plus grande que celle des deux seconds.

En plaçant bout à bout sur une même droite des segments égaux à un segment donné, on arrive toujours, après un nombre fini d'op{''ralions, à former im segment j)lus grand ([ue tel segment donné à l'avance (|ue l'on voudra. On peut di\iser un segment

(') On peut, sur ce point, consulter) les Griiii(llar)cii ilrr Géométrie de M. IIitiiEHT.

(2) Le mot segment n'est pas pris et ne sera pas [)ris dans le sens de vecteur : un segment dcvit-iil un vecleur rpiainj on distingue lequel des points qui le liinilent est son oriyinr, lc(picl est son extrémité.

donné en autant de parties égales que l'on voudra. On peut le diviser en assez de jiarties égales pour que l'une d'elles soit plus l'etilo que tel segment donné à l'avance (juc l'on voudra.

5. — l]tanl donnés, dune part, une unité d(^ longueur et, d'autre part, sur la droite indéfinie X'X, un point Oque l'on prendra pour orujine et, sur cette même droite, un sens (de gaucho à droite),, pour le sens positif, on sait quc^ à chaque nomhre rationnel a, positif ou négatif, correspond un point A de la droite et un seul.

Si, en désignant par y< et q deux nombres entiers positifs, - est la

valeur absolue de a. on obtient ce point en divisant l'unité de longueurs en (^parties égales et en portant bouta bout, à partir de l'origine 0, p de ces parties vers la droite ou vers la gauche,, suivant que a est positif ou négatif; si ([ était égal à i, lesy> segments qu'il faudrait placer bout à bout pour obtenir le point A devraient être égaux à l'unité de longueur : a s'appelle l'abscisse du point A ; à deux valeurs distinctes du nombre a correspondent deux positions distinctes du point A.

Pour tout point A qti'on peut obtenir par la conslrurtion précédente, la longueur OA est commcnsurnble k l'unité de longueur; c'est-à-dire qu'il y a un certain segment qui est contenu un nombre exact de fois fj dans l'unité et un nombre exact de fois j> dans OA ; réciproquement si la longueur OA est commensurable à l'unité de longueur, et si la commune mesure est contenue (/ fois dans l'unité, p fois dans OA, il est clair qu'il y a un nombre

rationnel a, dont la valeur absolue est et dont le si<<ne est -f-

ou — suivant que le ])olnt A est à droite ou à gauche de l'origine,

qui peut être regardé comme l'abscisse du point A.

Si deux points A. Bout des abscisses rationnelles a, h, Best à droite

ou à gauche de A suivant que h est plus grand ou plus petit que a.

6. — Entre deux points quelconques R, S de la droite, il y a des points dont l'aliscisse est rationnelle.

On peut en elTet diviser l'unité de longueur en q [)arties égales, plus petites que le segment RS; portant l'une de ces i)arties sur la droite X'X à partir du point 0, vers la droite et vers la gauche.

CIIVI'ITRE I. NOMlîUKS luuvr io:«iM:LS 7

nous obtiendrons une suile de points (ind»''linie dans les deux sens).

dont les abscisses seront respectivement

Pour fixer le langage, supposons, comme dans la ligure, queR soit entre O et S et à droite de 0. On (inira par trouver dans la suile des points 0, A,, A,, A.,,... un point qui sera au delà <'^) de l\ ; soit A„ . , le premier de ces points, en sorte que A„ soit en 1\ ou en

A, a; 0 A, X, A,. K A„,iS Vig. I.

derà di' W ; A„ ... j, dont l'abscisse est le nombre rationnel — - — , est

entre K et S, car s'il était en S ou au delà de S, le segmertt A„A„, serait, contrairement à l'inpothèse, égal ou supérieur au segment RS. Il résulte de là que, étant donné un point quelconque R de la droite \'X, il existe sur cette droite des points d'abscisse rationnelle aussi rapprocbés de R qu'on le voudra, soitau delà, soit en deçà.

7. — Etant donné sur la droite un point A, uu bien la longueur OA est commensurable à l'unité de longueur, ou bien elle est incommensurable à cette unité, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun segment qui soit contenu un nombre exact de fois dans cette unité de Jongueur et dans OA. Dans le premier cas, on a \u que le [xiinl A correspondait à une abscisse rationnelle. Supposons qu'on suit dans le second cas.

Fig. a.

A chaque nombre rationnel correspondra, comme on Ta expliqué plus liaut. im point de la droite \'X, autre que le point A, un

(•) J'emploierai les expressions « au deUi, en dci.à " dans le niciiie scn^ <jue « ? droite, à gauche ».

iNTuonrcnoN a la. Tiii:oniK des io\CTro>s

point qui sera par- (x^nséquenl à droite on à ^^auche de \ ; les nombres rationnels se sépareront donc en deux classes; à la première classe ou classe inférieure, appartiendront tons les nombres rationnels <i auxquels correspondent des points 7. situés en deçà de A; à la seconde classe, ou classe supérieure, appartiendront tous les nombres rationnels a' auxquels correspondent des points a' situés à droite de A (').

Ce mode de séparation des nombres ratioiuiels en deux classes satisfait évidemment aux conditions suivantes :

1° Tout noudne rationnel appartient à l'une ou à l'autre des deux classes.

2" Tout nombre qui appartient à la classe inférieure est plus petit que tout nombre qui appartient à la classe supérieure.

Ces deux premières conditions impliquent la conclusion suivante :

Si un nombre a appartient à la classe inférieure, il en est de même de tout nombre rationnel^ qui est plus petit que lui; en effet, si b n'appartenait ])as à la classe inférieure, il appartiendrait à la classe supérieure, donc il serait plus grand que n, contrairement à riiypollièse. Si un nombre a' appartient à la classe supérieure, il en est de même de tout nombre rationnel b' plus grand que lui.

3° Il n'y a pas dans la classe inférieure de nombre qui soit plus grand que tous les autres. Soit, en effet, a un nombre de la classe inférieure et soit 7. le point correspondant : 7. est à gaucbe de A ; entre a et A, il y a des points dont l'abscisse est un nombre rationnel ; or, un tel point étant en deçà de A, son abscisse appartient à la classe inférieure, et elle est plus grande que a. U est donc impossible que d soit plus grand que tous les nombres de la classe inférieure. De même, dans la classe supérieure, il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de la même classe.

Remarquons encore qu'on peut trouver dans la classe inférieure

(') Les mois k classe inférieure, classe stipcricurc » seront continuellement •employc's dans ce chapitre; il doit être ]>icn entendu que ces classes ne contiennent que des nombres rationnels ; en sorte que si l'on dit d'un nombre qu'il appartient soit à une classe inférieure, soit à iwic classe supérieure, il sera inutile de dire que ce nombre est rationnel.

CMAPiriti: I. — NoMimr.s iiuiv iionnkf.s i)

et clans la classe sii[)ôrieur(' doiiv nornhres qui dillficnl aussi [)cu (|uV»n le vcul. En clVel, si, en clcsij,Miant par i un nonibi»' lalionnel [)ositif (|iiolr()iu|uc, on considère les ])oinls dont les abscisses sont les ternies de la progression arilluiKiiijnc, indrlinie dans les deux sens,

.... "JE, £, G, £, -it

le point A londjera nécessairement entre deux consécutifs de ces points dont je désignerai les abscisses par m, (n -H- i) î ; le nombre m appartient à la classe inférioure. le n()nd)re (// -H i) £ à la classe supérieure" or, leur diilérencc i peut èhc supposée aussi jielile qu'on le veut.

.le dirai que toute décom[)osition des nombres rationnels en deux classes qui salislonl aii\ condilions i", 2", 3" détcriulne un nombre irrationnel.

8. — A un n()iid)re irrationnel donné, c'est-à-dire, encore une fois, à un mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes qui satisfont aux conditions 1°, 2", 'A", correspond-il sur la droite \X, un point A qui [)crmctte inversement de retrouver, conmie on vient de rex[)li(picr, le mèiuc mode de séparatir»n des nombres rationnels en deux classes ?

Concevons, pour avoir une image plus sensible, de colorer en bleu tout point a dont l'abscisse a appartient à la classe inférieure du mode de décomposition donné et tout point qui est à gaucbe de lui, de colorer en rouge tout point a' dont l'abscisse a' appartient à la classe supérieure, et tout ])oint qui est à droite de lui, enfin d'appeler [)oint blanc tout [)iiint qui n'est ni rouge ni bleu.

Par livpotlicsc, tous les points d'abscisse rationnelle sont colorés.

Il résulte des conditions imposées au mode de décomposition que tout point rouge est au-delà de tout point bleu, que, par suite, la partie bleue et la partie rouge de la droite n'empiètent pas l'une sur l'autre ; on >oit en outre (pi'un [loint blanc ne [)eut se trouver ni à l'intérieur de la partie rouge ([)uisque, ayant alors des [)oinls rouges à sa gaucbe, il devrait lui-même être rouge), ni à l'intérieur

lO IMIlOnrCTION A TA THÉORIE DES FONCTIONS

de la ivirion hlcuo : on voit aussi qu'il ne peut } avoir deux points blancs. puisipTil y aurait entre ces jioinls blancs des points d'abscisse rationnelle, c'est-à-dire des points colorés, des points bleus, par exemple, et que, alors, celui des deux points blancs qui est le plus à gauclie devrait être bleu. Il ne peut donc y avoir qu'un seul point blanc A qui sépare la {larlie bleue et la partie rouge..

L'existence d'un tel point est un [)ostulat conforme à notre intuition de la ligne droite. II n'y a aucun inconAénicnl à l'affirmer puisque l'existence de la droite est purement idéale (•).

En l'adoptant, on peut dire qu'à cbaque point de la droite X'\ correspond un nombre rationnel ou irrationnel, son abscisse, et que à cbaque nombre irrationnel (à cbaque mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes satisfaisant aux conditions énumérées plus baut) correspond un point de la droite dont ce nombre est l'abscisse. Il est naturel de regarder un nombre irrationnel comme plus grand que tous les nombres rationnels qui figurent dans la classe inférieure qui sert à le définir, comme, plus petit que tous les nombres rationnels qui sont dans la classe supérieure ; de regarder un nombre irrationnel comme plus grand qu'un autre nombre irrationnel si le premier est l'abscisse d'un point situé à droite du second, etc.

La correspondance entre les points de la droite X'X et les nombres rationnels ou irrationnels est parfaite : les points peuvent être regardés comme les images des nombres, les nombres comme les signes des points. En raison de cette parfaite correspondance, il est permis de confondre l'image et le signe. C'est *ce qui arrivera dans le cours de ce livre.

Pour le moment, laissons toute image de côté, et considérons à titre d'exemple un problème purement numérique.

9. — On montre, en arithmétique, qu'il n'existe pas de nombre

(') It est bien clair que les considérations précédentes ne peinent s'appliquer à une droite réelle. La subdivision d'un segment de droite réalisé d'une façon' quelconque, ne peut èlre poussée bien loin. La longueur d'un tel segment n'est «léfinie qu'entre certaines limites. L'unité de mesure elle-même, le centimètre, par exemple, ne peut être absolument définie. D'autre part, est-il besoin de dire qu'il est presque déraisonnable de parler d'un point, sans dimensions, qui serait rouge, blanc ou bleu?

ClIAPITUi: I. \OMimES llUtMlONNELS II

ralionnol dont le carré soil ('«rai à .), mais rju'il existe des nombres rationnels, positifs, dont le rarré approche de A autant qu'on le \ent ; c'est-à-dire que, quelque |)olit que soit le nombre rationnel positif c, il V a des nombres rationnels tels que la dilTérencc enire leur carré et .'> soit moindre, en \aleur absolue, que i. Il cxisie de tels nombies dont le carré est infi'iicur à .) ; il en existe dont le carré est siqiérieur à o.

Pui>-fpie le carré d'un nr)mbre lationnel positif n'est jamais égal à o, il est plus grand que 3 ou plus petit que 3. Rangeons dans une première classe, ou classe inférieure, tous les nombres rationnels négatifs, le nombre o, et tous les nombres rationnels positifs dont le carré est moindre que 3 ; rangeons dans la seconde classe, ou classe supérieure, tous les nombres positifs dont le carré est plus grand que 3. Chaque nombre rationnel a sa place dans l'une ou l'autre des deux classes ; tout nombre de la classe inn-rieure est plus petit que tout nombre de la classe siq)érieure. C'est les conditions i"ct 2" du n° 7; dans la classe inférieure, il n'y a pas de nombre a plus grand que tous les autres ; en ell'et, dire que le nombre positif a appartient à la classe inférieure, c'est dire que aesl plus petitque 3 et il y a dans la même classe un nombre positif a' tel que 3 — a- soit moindre que 3 — a-, ce quisu[)posc a' > «i ; de même, il n"v a pas dans la classe supérieure de nombre rpii soit plus petit que tous les autres. C'est la condition 3" du même numéro.

On a ainsi défini un mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes satisfaisant aux conditions i", 2", 3', on a défini le nombre irrationnel /S. Remarquons qu'on n*a en aucune façon le droit de dire actuellement que le carré de ce nombre est égal à 3 ; les mots « carré d'un nombre irrationnel » n'ont actuellement aucun sens.

10. — Concevons un mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes tel que tout nondire rationnel ligure nécessairement dans une des classes et dans une seule, tel en outre que tout nombre de la première classe, ou classe intérieure, soit plus petit que tout nombre de la seconde classe ou classe supérieure. Logiquement, quatre cas send)lcnt possibles.

( )ii bien il n'v a pas dans la classe inférieure de nombre plus grand que tous les autres et il n'\ a pas, dans la classe supérieure

I^ . INTRODUCTION A LA TIIKOIUE DES lONCTIONS

Je iitjnibro pins polit que Ions les autres ; c'est ce qui est arrive dans l'exemiilo [>récctlcnt.

Ou bien, il \ a, clans la classe inférieure, un nombre plusf^rand que tous les autres et il n'y a pas, dans la classe supérieure, de nombre plus petit que Ions les autres. C'est ce qui arriverait si, par exemple, on plaçait dans la classe inférieure le nombre ."> et tous les nombres rationnels plus petits que ."), dans la classe supérieure tous les nombres rationnels plus ^rrands que 3.

( )u bien il n'v a pas. dans la classe inférieure, un nombre [)lus grand (pie tous les autres et il y a dans la classe supérieure un nombre plus petit que tous les autres. Par exemple, la classe inférieure est formée des nombres rationnels plus petits que 5, la classe supérieure du nombre 3 et des nombres rationnels plus grands.

Ou bien il y a dans la classe inférieure un nombre a plus grand que tous les autres (de la même classe) et dans la classe supérieure un nondire b plus petit que tous les autres; mais cette dernière sup[)osition doit être rejeti'e ; en elVet, le nombre rationnel a, appartenant à la classe inférieure, serait plus petit que le nombre h do la classe supérieure; les nombres rationnels compris entre a et // n'auraient été rangés dans aucune des deux classes, puisque, étant plus grands que a, ils ne peuvent appartenir à la classe inférieure et que, étant plus petits que b, ils ne peuvent appartenir à la classe supérieure.

Dans le premier cas le mode de décomposition considéré définit un nombre irrationnel A ; ce nombre est dit plus grond que les nondjres de la classe inférieure, plus petit que les nombres de la classe supérieure. Il serait légitime, dès à présent, d'appeler les nombres de la classe inférieure « les nombres rationnels plus petits que A » et les nombres de la classe supérieure (( les nombres rationnels plus grands que A » . Je continuerai, pendant quelque temps, de dire un nombre de la classe inférieure relative à A ou un nombre de la classe supérieure relative à A, au lieu de dire un nombre rationnel plus grand, ou plus petit que A, afin que le lecteur se rappelle bien que ce n'est pas le nombre irrationnel A qui sert à définir les nombres rationnels plus petits ou plus grands que lui, que c'est au contraire ces nombres rationnels, ou plutôt la façon dont ils sont rangés dans les deux classes, qui définissent le nombre irrationnel A.

ciiAi'irui: I. — >OMi!UKS innvTi(;»NNEr.s lo

Dans \o second cl dans I(> lr(ii>irmr cas, jo diiai que le modo do df'coinposition coiisidÔK' dclinil le nond)ie ralioiinc/ \ (jiii, dans le second cas. appailient à la classe inréiiciirc et est plus ;^iand que tous les autres nombres de cette classe, qui, dans le troisième cas, a[)j)artienl à la classe supérieure et est plus pdil <pie tous les autres nombres de celte classe. Poiu' i'uuiloruiilé du lan^rn/i-e, je rcuqtlarerai ces deux modes de décom[)()silion par un mode uui(|ii(' (|ni cruisistcra à séparer tous les nombres ratioiuicls cil (rois classes dont l'une contiendra le seul nombre rationnel A, dont les deux autres seront formées, l'une, la classe inférieure relative au nombre A, par les nombres rationnels plus petits que \^ lautro, la classe supérieure relative au nombre A, [)ar les nombres rationnels plus grands que A ; dans la classe inférieure aucun nondjre nest plus grand que tous les autres nondires de cette classe; dans la classe supérieure aucim nombre n'est plus petit (pic tous les autres noud)res de cette classe.

En délinilive, on se bornera à considérer deux modes de décomposition des nombres rationnels, l'un en deux classes, qui définit un nombre irrationnel, l'autre en trois classes, qui définit le nondjre rationnel imique qui constitue l'une des classes. Ces deux modes de décomposition seront dits respectivement le premier et le second mode. Dans les deux modes, la classe inférieure ne comporte pas de nondjre plus grand que les autres, et la classe supérieure de nombre plus petit que les autres. Dans le second mode, on sait déjà {n° 3) qu'il est possible de trouver dans la classe inférieure et dans la classe supérieure des nombres (rationnels; dont la différence est aussi petite qu'on le veut; on va voir qu'il en est de même pour la décomposition du premier mode.

Considérons une telle décomposition, ou. si l'on veut, un nondjre irrationnel A. Soit i un nombre rationnel positif quelconque et. considérons, comme au n° 3, la progression arilbmétique de raison 4, indéfinie dans les deux sens,

(1 .... -il, l, O, t. 9.1,...

(Iliaque terme de cette progression a|)parti<'Ml, s(jit à la classe inféiicure, soit à la classe supérieiue ; il y a ilailleurs, dans cette suite, des termes qui appartiennent à chacune des classes, à la, classe supérieure, par exemple. [)uis(piil y a dans cette suite des

lii INTUODLGTK»- A L\ TUKOUIE DES lONC.TIO'S

termes qui dépassent Ici nombre (ralionncl) de la classe supérieure que l'on voudra.

D'autre part, entre deux termes de celte suite qui appartiennent, le [)remier à la classe inférieure, le second à la classe supérieure, il n'y a (|u'uii nond)ie limité de termes; soit /?£ le plus grand tic ceuv qui appartiennent à la classe inférieure, n étant un nombre entier, positif, nul ou négatif; {n -t- i)- sera évidemment 1(> [tins petit des termes qui appartiennent à la classe supérieure; on ilira, comme au n** 3, que ni et (n -t- i)i sont les valeurs approcbées de A, à î près, par défaut, et par excès. La seule dilTérence avec ce qui a été dit au n'^ 3 est que, ici, le nombre A. ne peut coïncider avec sa valeur approcliée })ar défaut. La différence ■ entre les nombres lu et [n h- 1)1 pouvant être supposée aussi petite qu'on le veut, la proposition est démontrée.

11. — Relativement h cette notion de la valeur approchée d'un nombre A à î près, par défaut ou par excès, il convient de faire la remarque suivante. Soit, en désignant par p un

nombre naturel quelconque, s' = ' ; considérons la progression

arithmétique, indéfmie dans les deux sens,

(II) ..., — 2S', — .', o. e', 2e',...;

elle permettra, comme tout à l'heure, de déterminer les valeurs approchées n'z'. {n' -f- i)i' , par défaut et par excès, de A; je tlis que l'on a

n'z' ^ ni, (n H- i.z ^ (n -+- \)t.

En effet, tous les termes de la suite (I; figurent dans la suite (II) ; donc le plus grand terme de la suite (I) qui appartienne à la classe inférieure ne peut pas être supérieur au plus grand terme de la suite (11 1 qui appartient à cette même classe; on a donc bien AiV à m ; la seconde inégalité se démontre de même. Puisque n'c' est certainement plus petit que (n -+- i) s. ni' s'obtient en ajoutant à nz un nombre rationnel, positif ou nul, moindre que c. Ces • conclusions valent évidemment que le nombre A soit irrationnel ou rationnel.

CnVriTHE 1. MJMI'.UI.S IHUMMNMCLS 1.)

Ceci s'applique en piuliciilicT aux valeurs approchées par délaut et par excès d un iioniljro A a — » -^ ,..., ,...

* lO lOO lOOO lO''

près. Con\enons d'écrire toujours un nombre décimal donné, ainsi qu'on fait d'ordinaire dans les tables numériques, de façon que la mantisse, (la partie qui suit la virgule) de ce nombre soit positive. La partie entière sera négative si le nombre est négatif. Alors les valeurs approchées de A, [>ar défaut, à o, i ; (),oi ; o.ooi ;... formeront, d'après ce qu'on vient de dire, une s^uite délerminée ( ') de nombres décimaux, dont la mantisse comprendra un, deu\, trois,... chilTres, et dont chacun s'obtiendra en plaçant un chiffre décimal (qui peut être un zéro) à la droite du précédent ; les termes de cette suite ne vont jamais en décroissant. En ajoutant une unité au dernier chitïre de chaque terme de celte suite, on forme la suite des valeurs approchées de A. par excès, à o,i ; o,oi ; o,ooi ;... près. Les termes de cette suite, dont chacun est certainement plus grand que n'importe fpiol ternie de la première suite, ne vont jamais en croissant.

On parvient ainsi à la représentation décimale d'un nombre quelconque A, formée au mo\en d'une partie entière (positive, nulle ou négative), et d'une inlinité de chitTres décimaux, dont chacun est déterminé, tlès qu'on se donne le mode de décomposition des nombres rationnels qui définit A; en s'arrêtant au //

chiffre, on obtient la valeur approchée de A, à — - près, par défaut; en augmentant ce chiffre d'une unité, on obtient la \aleur approchée de A, à — - près, par excès. Un a erra plus tard que,

inversement, cette suite de chiffres décimaux, si elle est déterminée, détermine à son tour le nombre A.

12. — ( )n ne s'est occupé, jusqu'à présent, que d'un seul nombre irrationnel à la fois : il importe de savoir comparer deux nombres A, B irrationnels ou non.

Deux nombres A. B sf)nt dits égaux (et l'on écrit A = B) si les deux décompositions qui les définissent sont les mêmes. Cette façon de parler est évidemment légitime si les deux nombres A,

(') C'esl-à-dirc que, à chaque rang, se Irouxc un nombre «léterminc.

l6 INTKODUCTION A LA TllÉOUli: DES FONCTIONS

B sont ralioiuicls ; elle n'csl rien nuire chose (|n"iino diTinilion si les deux nombres sonl rationnels ; en verlu de celte délinition, un nomlire est égal à lui-même et deux nombres éfraux à un troisième ïiont éiraux entn^ eux.

Pour èlic certain que deux nombres A et li sont c;^aux. il sullit de savoir c|ue les ileux classes inférieures relatives à ces nondorcs sont identiques (que tout nondjre qui appartient à la première appartient à la seconde, et que tout nombre qui appartient à la seconde apjiarlicnt à la première).

Supposons en elTet que ces deux classes inférieures coïncident.

Tout d'abord il est impossible que, des deux nombres A et B, l'un soit irrationnel et l'autre rationnel, c'est-à-dire que l'une des décomjiosilions, celle qui définit A, par exemple, soit du premier mode, et l'autre des décompositions, celle qui définit B, soit du second mode. S'il en était ainsi, en effet, le nombre rationnel B ne pourrait appartenir à la classe inférieure relative à A, qui est la même que la classe inférieure relative à B, formée de nombres rationnels plus petits que B ; il ne pourrait non plus appartenir à la classe supérieure relative à A, sans quoi il y aurait dans cette classe supérieure un nombre a' plus petit que B, et qui, pour cette raison, devrait appartenir à la classe inférieure commune à B et à A.

Si le nombre A est irrationnel, il en est donc de même du jiumbre B, et les deux classes supérieures, formées de tous les nombres rationnels qui ne figurent pas dans la classe inférieure commune à A el à B sont ideiitiques : les deux décompositions sont les mêmes ; les deux nombres A et B sont égaux.

Si les deux nombres A et B sont rationnels, on voit comme tout à l'heure que li ne peut appailcnir ni à la classe inférieure relative à A, ni à la classe supérieure : il reste la supposition que B soit égal à A. Dans tous les cas les deux modes de décomposition qui définissent A et B sont identiques.

Il est à peine utile de dire que l'on pourrait encore affirmer l'égalité des nombres A et B si Ion savait que les deux classes supérieures relatives à ces deux nombres sont identiques.

Enfin on peut encore affirmer cette égalité si l'on sait que tout nombre appartenant à la classe inférieure relative à A se trouve dans la classe inférieure relative à B, et que tout nombre apparte-

CHAIMTUE I. >OMI!Ki:s lUnATIONNELS l"

nant à la classe sinx-ricnro relative à A se trouve dans la classe supérieure relative à H. Car si l'on considère un nonijjie de la classe inférieure relative à B, il ne peut être dans la classe supérieure relative à A, sans quoi il serait aussi dans la classe supérieure relative à B ; il ne peut »Hre égal à A, car alors un nombre b delà classe inférieure relative à B, mais plusj.nand que A, appartiendrait à la classe supérieure relative à A, donc encore à la classe supérieure relative à B. Ainsi tout nombre de; la classe inlV'iicurc relative à B se trouve dans la classe infé-rieure relative à A ; mais, par bypotlièse, tout nombre de la classe inférieure relative à A se trouve dans la classe inférieure relative à B : les deux classes inférieures sont identiques.

13. — Les notions relalixes à l'inégalité <\q> nombres rationnels ou irrationnels jjourraient être renvoyées après la tliéorie de l'addition ; elles se présentent trop nalurellcincnt pour qu'on en retarde l'explication. Observons d'abord que ces notions sont acquises lorsque l'un des deux nombres que Ton veut comparer est rationnel. Les inégalités a < A (ou A > a), \<.b (ou h > A), où l'on suppose que a et b sont rationnels, veulent dire simplement : (' a appartient à la classe inférieure, b appartient à la classe supérieure relative au nombre A )) : elles inijjliquent la conclusion rt <. b. On peut donc les réunir en écrivant a < A <^ b. Elles impliquent aussi l'existence de nombres rationnels a, b' tels que l'on ait a < a' < A < 6' < 6.

Soient A et B deux nombres quelconques, non égaux. C'est donc fpie leurs classes inférieures ne sont pas identiques. Il v a un nombre qui figure dans l'une et non dans l'autre ; par exemple un nombre a qui figure dans la classe inférieure relative à A (a <; A) et qui ne ligure pas dans la classe inférieure relative à B, qui est donc soit B, soit un nombre de la classe supérieure relative à 13 ; en remplaçant au besoin a par un nombre rationnel plus grand que lui, mais appartenant toujours à la classe inférieure relative à A, on peut se borner à examiner la seconde hypothèse (a >> B;.

Toutes les fois qu'il y aura un nombre rationnel a figiuant dans la classe inférieure relative à A (a < A) et dans la classe supérieure relative à B (a >• B), je dirai que A est pins grand que B, ou rjne B est plus petit que A, et j'écrirai A >- B, ou B ■< A. Inversement

Tannirï I. — Inlroilui'.lion à la iLcorie des fonctions 2

l8 l?iTRODUCTIO> A LA THÉOUIE DES FO>CTIO>'S

ces dernières façons de parler ou d'écrire revienncnl à affirmer lexislence d'un nombre rationnel a appartenant à la fois à la classe inférieure relative à A [a <C A) cl à la classe supérieure relative àB(a> B).

Cette alTirmation exclut la supposition A = l>. puisque les deux classes inférieures relatives à A et à B ne sont pas identiques. Elle exclut aussi la supposition B >> A, c'est-à-dire l'existence d'un nombre rationnel h tel que l'on ait B >> 6, /> >> A, car les inégalités b ^ A., A > a, où /), a sont rationnels, impliquent h^a, et les inéjralités a > B, B >• 6 impliquent a'^ b.

Il est maintenant bien aisé de voir que, si A, B, C sont des nombres quelconques, les deux inégalités A >■ li, B>>G entraînent l'inégalité A >> C. En effet, les deux inégalités A >■ B, li >■ C impliquent l'existence de nombres rationnels a, b tels que l'on ait

Les inégalités a > B, lî >» b, où a et 6 sont rationnels, entraînent fl ]> 6 ; l'inégalité 6 >> C exigera donc que a, plus grand que b qui appartient à la classe supérieure relative à G, appartienne aussi à cette classe ; en d'autres termes, on a a > C ; enfin les inégalités A > a, a>C entraînent A >C, d'ajTcs la définition même.

Si le lecteur veut bien se reporter un instant à ce qui a été dit sur la correspondance entre les points d'une droite et les nombres, il apercevra de suite que les notions de « plus grand, plus petit » qui ont été indiquées au n" 8 coïncident avec celles qu'on vient de développer.

Un nombre A est dit positif si l'on a A > o. Si A est irrationnel? cela veut dire que le nombre rationnel o appartient à la classe inférieure relative à A. Ln nombre A est dit négatif si l'on a A<[o. Dans la classe inférieure relative à un nombre positif, il y a des nombres positifs. Dans la classe supérieure relative à un nombre négatif, il y a des nombres négatifs.

14. — Aux nombres rationnels a, b,... correspondent des nombres rationnels symétriques (^j — a, — b,... ; et si les premiers sont

(') L'expression lie « nomJjrcs svmétrlrjues » employée par quelques malhématicicns me paraît préférbale à celle de « nombres égaux cl de signes contraires ».

ciiAiMTHK I. — NOMimi;- iuuatio:h>els

rangés par ordre de «rrandeiir croissanlc, les seconds sont rangés par ordre de grandeur décroissante. D'après cela, à charpie nombre irrationnel A. on peut faire corresj)ondrc un noiiibrc irrationnel A' de la façon suivante :

La classe inférieure relative à A' est formée des nombres de la classe supi'ricure relative à A changés tous de signe; la classe supérieure relative à A' est formée des nombres de la classe inférieure relative à A tous changés de signe. Il est clair que les deux classes ainsi délinies comprennent tous les nombres rationnels; sauf ce dernier point, ce cpi'on vient de dire s'applirpierait aussi bien à un nombre rationnel. Les deux nombres A. A , dont chacun se déduit de l'autre de la même façon, sont dits symctrirjiies (ou égaux et de signes contraires.. Si o figure dans la classe inférieure relative à l'un d'eux, o figure évidenmient dans la classe supérieure relative à l'autre; si l'un est positif, l'autre est négatif; la valeur absolue des deux nombres est celui des deux qui est positif; on la désigne par le symbole |A|. Deux nombres symétriques ne peuvent être égaux que s'ils sont nuls ; leur valeur absolue est alors o. On convient de représenter par -h A le même nond^re que A et par — A le nombre symélricpie de A ou de -t- A.

15. — Pour définir un nombre irrationnel A. il n'est pas nécessaire de faire intervenir tous les nombres rationnels; si. par exemple, on a un mode de décomposition de tous les nombres rationnels compris entre les deux nombres rationnels a, h (a <i b) en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, qu'il n'y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que tous les autres et qu'il n'v ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres, il suffira d'adjoindre à la première classe ainsi formée net tous les nombres rationnels plus [)etits que a, à la seconde classe l> et tous les nombres rationnels plus grands que b pour avoir défini un nombre irrationnel au sens du n" 10. Plus généralement, on conçoit que ce qui importe c'est les nombres rationnels très voisins qui enserrent en quelque sorte le nombre à définir. La généralisation que j'ai en vue exige quelques explications relatives aux ensembles de nombres, dont il sera souvent question.

•20 INTnODUCTIOX A LA TllKOlllK DKS FONCTIONS

16. — La notion (renscinble est de celles que le lecteur possède ■déjà. On dit une chose très claire en parlant de l'ensemble des nombres entiers, de l'ensemble des nombres premiers, de l'ensemble des nombres rationnels, de l'ensemble dos nombres positifs qui peuvent être représentés par des fractions irréductibles dont le dénominateur est lo ou une puissance de lo, etc.

Tous les ensembles que je viens d'énumérer comprennent un nombre inlini d'éléments; à ce litre, on les appelle des ensembles infinis. C'est surtout à ceux-là que nous aurons ail'aire. Un ensemble (léicrminé est caractérisé par ceci : si on considère un nombre quel conque, ce nombre a{)partient ou n'appartient pas à l'ensendjle. Soit par exemple l'ensemble des nombres premiers (positifs) ; un nombre a appartiendra à l'ensemble s'il est entier, positif et premier ; dans le cas contraire, il n'appartiendra pas à l'ensemble. Celle détermination résulte souvent d'un caractère commun à tous les nombres de l'ensemble et à ceux-là seulement. On peut aussi bien considérer des ensembles de nombres irrationnels que de nombres rationnels ; c'est, pour le moment, de ces derniers seuls qu'il va être question.

On a défini plus haut un nombre quelconque, rationnel ou non. par l'ensemble des nombres rationnels plus petits que lui, et l'ensemble des nombres rationnels plus grands que lui. A ces deux ensembles, on peut en substituer d'autres analogues.

17. — Soient (E), (E') deux ensembles de nombres rationnels jouissant des propriétés suivantes :

Tout nombre de l'ensemble (E) est phis petit que tout nombre de l'ensemble (E ) ; dans l'ensemble (E) il n'y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres ; dans l'ensemble ( E ) il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres. Enfin, si petit que soit le nombre rationnel positif i, on peut trouver un nombre a dans l'ensemble (E) et un nombre a dans l'ensemble (E') dont la différence soit moindre que £, les propriétés appartenaient aux ensembles qui ont servi au n" 10 à définir im nombre irrationnel ; on va montrer qu elles suffisent pour tléfinir un nombre, qui peut d'ailleurs être rationnel ou irrationnel.

Les classes inférieure et supérieure de ce nombre seront définies par la condition de contenir l'une tous les nombres de (E) et, par

CIIAPITIIK I. NOMHHF.S IIUVATIONNKI.S 2 1

siiilo. tout nomhro ralionncl qui est plus jxlit c|u'iin nonibro de [\i), raiilro tous les nombres de (F/) cl, par siiile, tout nombre rationnel plus grand qu'un nombre de (K') ; puisqu'il n'y a pas dans (!•]) de nondjrc j)lns ^rand ([iic tous les autres, on peut dire encore que clia(|ue nnudire de la (•las>e iid'éricurc est caractérisé parce lait qu'il \ a dans (!•]) un nombre })lus g-rand que lui; de même cliaquc nombre de la classe supérieure est caractérisé par ce fait qu'il y a dans (K') un nombre plus petit que lui. Si aucun nombre rationnel n'échappe à ce classement, en d'autres termes, si tout nombre rationnel est, soit égal ou inférieur à un nombre de [K), soit égal ou supérieur à un nombre de (E), on a alîaire au. j)remicr mode de déc()uq)<)silion : on définit un nondjre irrationnel. S'il V a un nombre rationnel qui échappe au classement, c'esl qu'il est à la l'ois plus grand que tous les nombres de (E) et plus petit que tous les nombres de (E'), il est donc seul de son espèce, car s'il v avait deux tels nombres rationnels A, 13 et si l'on avait A > B, la dilïérence entre un nombre de (E') (plus grand que A) cl un nombre de (E) plus petit que 13) serait toujours supérieure à A — B, contrairement à la dernière condition imposée aux ensembles (E), (E'j.

18, — Par exemple, on enseigne, en arithmétique, à trouver les nombres de la forme — ';, , où a„ est un entier positif, qui satisfont aux conditions

l'ensendjle • E) des nombres de la lurme —, et l'ensemble (E) des

nombres de la forme — — — , jouissent évidemment des propriétés

requises ; ils peuvent servir à défmirlc nombre irrationnel y •^•

Considérons un symbole comme 3,i/i i59->65... ou 7,2(Si7 iSi — formé d'un nond^re entier [)Ositif, nul ou négatif (') suivi d'une suite indéfinie de chilTres décimaux ; cette suite est supposée déterminée^

(') 3 on — 7 dans les exemples moisis; le si},Mie — est placé, suivant l'usageadopté pour les Tables nuniérifjues, au-dessus du nomlirc entier ~, pour indiquer (juc, seul, il doit être rcf^ardé couiuic négalil.

2» IMUODLCTION A L.V THliOUlE DES FONCTIONS

e'csl-à-clirc que IccliillVe qui occupe un ranj^' clétcrmlnécsl délerininé. En s'arrètant quelque pari dans la suite, au qualrièmcchilTrc décimal si l'on veut, on formera un nombre décimal déterminé, ce sera dans le premier exemple le nombre positif, 3,1^10, dans le second exemple, le nombre négatif 7,2817 = 0,2817 — 7 =-- — (J.7183. Les nombres décimaux que Ion obtient en limitant la suite quelque part forment un ensemble (E), et les nombres c(ui se déduisent des précédents en ajoutant une unité à leur dernier chitTre décimal constituent im ensemble (E) ; ces deux ensembles satisfont aux conditions requises, sauf dans le cas où, à partir d'un certain rang, les cliiiTres se trouvent être tous des o, et celui où, à partir d'im certain rang, les cliilTres se trouvent tous être des 9 : dans le premier de ces cas, il y a dans (E) un nombre plus grand que t«us les autres, et dans le second, il y a, dans (E), un nombre plus jtetit que tous les autres. J'observe en passant que, dans le premier cas, l'ensemble (E), dans le second cas, l'ensemble (E ) ne contient qu'un nombre fini de termes distincts. En écartant ces deux cas, les deux ensembles (E), (E'), définissent un nombre A, dont la suite considérée est la représentation décimale, au sens du n° 11. c'est-à-dire que, si on limite la suite au y>^ cbifTre décimal, le nombre décimal ainsi obtenu est la valeur approchée de A, par défaut, à - -7 près. La représentation décimale d'un nombre irrationnel A ne peut se trouver ni dans l'un ni dans l'autre des cas d'exception : bornons-nous, en effet, à considérer le premier et supposons que, dans la représentation décimale du nombre irrationnel A tous les chiffres qui suivent le // chiffre décimal soient des zéros. Désignons par a le nombre (rationnel) obtenu en

s'arrètant à ce /)" chiffre ; c'est la valeur approchée de A à — -

près, par défaut; ce serait aussi, dans la supposition, la valeur

approchée de A à — - près, y étant un nombre entier quelconque

plus grand que p. Or, soit a un nombre rationnel tel que l'on ait a <C a' •< A : il existe un entier /i, que l'on peut supposer plus grand que p, pour lequel on aura

CHAl'lTUr. I. VOMHllKS lUUVTlONMOLS 23

le nombre a élaiil plus potil que \, il en csl do nirnic tlu noinbie plus pclil ^? H- — - : il t-l (l('s lors impossible que '/ soil la valeur

approchée tic A, par délaul, à — - près.

Quant aux nombres rationnels, on sait, par les éléments de raritbmétif]ue, que leur représentation décimale, définie comme au n" 11, peut très l)ien être limitée, ou, si l'on veut, continuée par un nombre illimité de zéros, mais (|uo, lorsqu'on réduit une fraction ordinaire en fraction décimale, il ne peut arriver que tous les chilTres qui suivent un cbitlVe déterminé soient des 9.

Excluons donc des symboles que nous avons considérés au début de ce numéro ceux oi!i tous les cbilTres qui suivent un cliilïrc déterminé seraient des 9. On peut dire alors qu'un symbole de l'espèce considérée définit un nombre rationnel ou irrationnel A ; c'est la représentation décimale de ce nombre A.

Les re[)réscntations décimales de deux nombres A et B ne peuvent coïncider que si les deux nombres sont égaux ; si, en limitant ces deux représentations décimales au /)° chiflre décimal, la première fournit un nombre plus grand que la seconde, on voit de suite que A est plus grand que B.

J'arrive aux opérations sur les nombres irrationnels.

19. — Soient A et B deux nombres rationnels ou irrationnels. Leur somme A -+- B est, par définition, un nombre plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus petits que A et B, et plus petit que la sonmic de deux nombres rationnels (|uelconques respectivement plus grands que A et B. On va montrer que cette double condition définit un nombre cl un nombre unique.

Considérons en elTet l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on peut obtenir en ajoutant deux nombres a. h, appartenant respectivement aux classes inférieures relatives à A, B, et l'ensemble (E') des nombres distincts, que l'on peut obtenir en ajoutant deux nondjrcs rationnels a , h' respectivement [)lus grands que A, B.

Tous l(>s nombres de (K) el de (1']') sont rationnels. Si le nond^re cherché existe, sa classe inférieure doit contenir tous les nondnes de (E), sa classe supérieure tous les nombres de (E') : D'ailleurs

2'| INTRODUCTION A L/V TIItOUIK DES FONCTIONS

loul nombre de (E) est éYidcmiiicnl plus pclil que tout nombre de []■]') : dans (E) il n'y a pas de nombre phis grand que lous les autres, puisqu'il y a dans les classes inférieures relatives à A et lî des nombres respectivement plus grands que a, b, et qu'il y a donc des nombres dont la somme est plus grande que a -f- b. De même, il n'y a pas dans ' E) de nombre [)lus petit que tous les autres. Enfin,, il y a dans (l^j et dans [E') des nombres dont la dillérencc est aussi petite qu'on le veut, moindre, par exemple, que le nombre rationnel positif z ; on peut en ell'et supposer a — a et // — b moindres

que ■" ; on aura alors n' + b' — (o -+- b) <; i.

Les deux ensembles (E), (E) satisfont donc aux conditions que l'on a spécifiées au n" 17 ; ils définissent un nombre irrationnel ou rationnel plus grand que tous les nombres de (E), plus petit que tous les nombres de (E') ; c'est le nombre A H- B. Cette définition s'accorde évidemment avec la définition ordinaire quand A et B sont rationnels.

Les ensembles (E), (E) ne sont autres d'ailleurs que les classes inférieure et supérieure relatives à A -+- B. Considérons en effet l'ensemble (E) et la classe inférieure; tout nombre de (E) fait partie de cette classe ; je dis que tout nombre m de cette classe est un nombre de (E) ; en effet, par définition, ou il est égal à un nombre de ^^E), ou il est inférieur à un tel nombre, c'est-à-dire à la somme de deux nombres a, b, qui appartiennent aux classes inférieures relatives à A, B : on a alors m <C a -{- b, et le nombre m est la somme des deux nombres a et m — a <C b qui appartiennent aux classes inférieures relatives à A, B ; donc m est un nombre de (E). La démonstration est la même pour la classe supérieure.

Par exemple, o est la somme de deux nombres symétriques quelconques A, A' ; car o est plus grand que la somme de deux nombres appartenant aux classes inférieures relatives à A, A', somme qui est évidemment négative, de même o est plus petit que la somme de deux nombres appartenant aux classes supérieures relativesà A, A', somme qui est évidemment positive ; o satisfait à la définition de la somme des nombres A, A'.

20. — En ^ertu dos propriétés des nombres rationnels, les ensembles (E), (E') ne dépendent pas de l'ordre des nombres A, B,.

ciiAPrmr. i, — nomuues iimA.TiONNi;F.s 2Î>

on a donc

La soniiiip de (rois nombres A, H, C s'obtient par définition en faisant la somme S dos den\ premiers nombres A, B, pnis lasonune S -i- C. La classe inférieure relalivc à ce nombre est formée des nombres obtenus en ajonlaiit un nombre appailcnani à liY classe inférieure relative à C et un nombre a[)partcnant à la classe inférieure relative à S ; ce dernier nombre esl la somme do deu\ nombres cpii appartiennent respectivement aux classes inférieures relatives à A et à B ; la classe inférieure relative à S -h G ou à (A -+- B) -t- G est donc formée des nombres qui sont la somme de trois nombres appartenant respcclivement aux classes inférieures relatives à A, B, G. De môme la classe supérieure relative ib (A -i- B) -+- G esl formée des nombres qui sont la sonune de trois nombres qui ai)partiennent respectivement aux classes supérieures relatives à A, lî, G. Ge raisonnement s'étendrait sans peine aux sommes de quatre, cinq,... nombres, formées en ajoutant successivement ces nombres, dans l'ordre oi^i ils sont donnés. La démonstration relative à la sonmie de trois nombres suffit à montrer que l'on a

puisque les modes de décomposition qui définissent les deux membres sont les mêmes. Les égalités (i) et (2) sufiisent, comme on sail, à montrer que dans une somme, on peut intervertir l'ordre des termes, et remplacer tels termes que l'on veut par leur somme elTectuée. Au reste, ces propositions résultent directement des propositions analogues relatives à l'addition des nombres rationnels et de ce que la classe inférieure relative à une somme quelconque est formée de nombres qui sont la somme de nombres appartenant respectivement aux classes inférieures relatives à ses ternies.

On a (3) A -h o = A.

l]n elTel, tout nombre qui appartient à la classe inférieure relative à A -i- 0 étant la somme d'un nombre a appartenant à la classe in-

aC I>TllODUCTIO> A LA THLOUIE DES FONCTIONS

fcrieure rclalive à A et diin nonibic rationnel négatif, est moindre que a el par suile ap[)artient à la classe inférieure à A ; de même tout nondjre apjiarteiianl à la classe supérieure à A -h o ap[»artient à la classe supérieure à A ; les nombres A -t- o el A sont égaux (n"" 12,.

Lc^ égalités (i), (2), (3) expriment les propriétés fondamenlales de l'addition.

On a A -t- 13 >■ A ou A -i- B <C A suivant que B est positif ou négatif.

Supposons en eiïet B >. o et soient, en employant de petites lettres pour désigner les nombres rationnels

o < 6 < B, « < A < a, a' — a<Cb;

on peut, d après ce qui précède, affirmer l'existence de tels nombres rationnels i, a, a : le nombre a étant plus petit que a -r- h est plus petit (pie A -h B et les inégalités a <C A -h B, a > A entraînent A -H B >■ A.

21. — La définition de la soustraction est la même que celle qui est liabituellcraent donnée au début de l'algèbre.

La dilTérence entre les deux nombres A, B est un nombre tel qu'en lui ajoutant B on trouve A. Supposons qu'il existe un tel nombre .r, on aura se H- B = A ; par suite, x h- B -t- B' est égal à A -+- B', en désignant par B le symétri({ue de B ; mais la somme .r -h B H- B' est égale à x -h (B -+- B') = j? H- o = x.

Le nombre cbercbé, s'il existe, est donc xinique et égal à A +- B'; réciproquement la somme de A + B elde Best égale à A -+-(B'-!-B), ou à A -1-0 = A. Le nombre cbercbé existe, il est unique, on l'obtient en ajoutant à A le symétrique B' ou — B de B ; conformément aux conventions de l'algèbre on écrit celte somme A — B.

On a

suivant que B est positif, négatif ou nul, puisque, suivant les cas, — B est négatif, positif ou nul.

Si A est plus grand que B, G := A — B est positif; car si C était négatif ou nul, B -i- C ou A serait plus petit que B, ou égal à B, ce qui contredit l'bypothèse.

rn.\i>rrui: i. — nomiîues ikuatu)Nm;l.s 27

Kécipio(jii('mciil si C = A — 15 csl |)osilil. A, qui est la scmiiuic. •de H el d'un noiubre positif G. est [)lus grand que li.

Dès lors, on n'a, comme on sait, aucune peine à élahlir les propositions concernant les inég'alilés et les combinaisons des inégalités qui ne dépendent que de l'addition ou de la soustraction. Par exemple, si les deux nombres A et B sont compris entre les nombres A', \V, la dillérence entre les nombres A, B est moindre en vah'ur absolue que la dillérence entre les nombres A', B'. Si, en particulier, en sait que. quelque [)elit que soit le nombre positif £, il existe deux nombres A', B', qui co!iq)renn('iil entre eux les nombres A, B, et dont la ililVérence est, eu valeur absolue, moindre <{ue H, on peut allirmer que les nombres A, li sont égaux. Cette proposition, qui est souvent commode pour démontrer l'égalité de deux nombres irrationnels, aurait [)u être facilement établie dès Je n" 13. en se bornant au cas où A', B', i s(tnt rationnels.

22. — Soient, sur une droite trois points P, Q, Il ; je suppose <jue Q soit entre P et R. Quand on a pris une unité de longueur, les longueurs des segments PQ, QR, l'R sont représentées par des

Fig. 3.

nombres ([)ositifs|, rationnels ou non, que je désignerai par [PQ], [QR], [PR] ; quand les trois segments sont commensurables à l'unité, on sait que l'on a