III I
est convergente si y. est positif, divergente si a est nul ou négatif(').
Considérons en effet les termes de cette série qui correspondent à ceux des nombres entiers qui admettent un même nombre de chiffres, ji par exemple; il v a lo'' — lo'' =^9 X 10' tels nombres; chacun d'eux est supérieur ou égal à 10'' et plus petit que 10''; chacun des termes correspondants de la série est donc
inférieur ou égal à — ^^,wt ^^. et plus grand que — ji^j— -5-;» et
leur somme est comprise entre
0 X 10^' "~^ 9 . 9 X To^~^ 9
10'^ " 10 ^ loC
Ceci posé, désignons par s„ la somme des n premiers termes de la série (i), on pourra prendre dans la série
assez de termes pour que leur somme dépasse s„ : or, si a est positif, les termes de la série (2) sont les termes d'une progression
géométrique décroissante dont la raison est — ; ; la somme d'autant
de termes que l'on veut est inférieure à
On a donc, quel que soit n,
(') Oa doit supposer ici a rationnel, mais celte restriction se lèvera d'ellemême dès que l'on aura déCni le sens qu'il convient d attribuer aux exposants irrationnels. La même observation s'appliquera d'ailleurs plusieurs fois dans ce chapitre.
CIIAI'ITIU: m. OEFHïlTIONS. CONVERGE?JCE AnSOI.LF, I27
La séné (i) est conver-^^enle.
De inèine, quel que soit le nombre tle termes que l'on prenne <lans la série
•on peut preiuhe n assez grand pour ([uc s„ dépasse la somme de ces termes : or, si a est nul ou négatif, les termes de cette suite
sont égaux ou supérieurs a-~^; on peut prendre assez de ces
termes pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra; dans ce cas la série (i) est divergente ; si y. est positif, on voit que i'on pourra toujours supposer n assez grand pour que l'on ait
Sn è — rzri, '
en sorte que, dans ce cas, la somme de la série (i) est comprise
€ntre
n q. 10* ■-! pf -^ ;
on aurait pu faire le môme raisonnement en stipposant que la base de la numération fût un nombre entier j)ositif quelconque a, autre que I, et l'on aurait trouvé pour les deux nombres entre lesquels la somme de la série doit être comprise.
(a— i] a' et —75 7-
97. — La proposition précédente est un cas particulier d'un théorèuK' dû à Gaucliy, el dont la démonstration est, au fond, denlique à celle qu'on vient de lire. Voici ce théorème ('). Soit
<") a, -h u^ -H ... + Un H- ...,
une série à termes positifs, pour laquelle je suppose qu'on ait
(*) Dans les Lerons sur les séries à termes posilijs de M. BorcI, on pourra en voir toute la portée.
laS INTRODUCTION A LA. THÉORIE DKS l'ONCTIOS
M,i-f i ^ Un, pour toutes les valeurs de n. Si, en désignant par a un entier quelconque plus grand que i , on pose en général
t'„ = a" lia",
la série [u] sera convergente ou divergenlc en même temps que la série
Si l'on suppose q ^p, la somme des rj — p ternies consécutifs de la série (u), dont le premier est Up et le dernier u,j i est comprise entre (</ — p) Uq et {rj — p) a,,, ou bien égale à l'une de ces quantités, à cause de la supposition «„^ , ^ «„. Ceci posé, soient a, 1^, ..., IX, V des nombres naturels croissants : appliquons la remarque précédente aux groupes de termes de la série (u) formés par les a — i premiers termes, les ^j — a termes suivants, les Y — jj suivants, ..., les v — ij. suivants ; on en conclura que la somme Sv — i des v — i premiers termes de la série («) est comprise entre les deux quantités
ou bien égale à l'une ou à l'autre.
Si maintenant on suppose que les nombres a, jS, y, ... forment une progression géométrique de /• -h 1 termes, dont la raison et le premier terme soient égaux au nombre entier a, plus grand que i, on aura
P — 7. = a(a — I ), Y — p = (7- (a — i ), . . . , v — jj. :=: rt"" (a — i ) ;
si l'on se reporte à la définition de la série (y) et si l'on désigne par T„ la somme des n premiers termes de cette série, on voit qu'on a établi les inégalités
^i^^ T, + 1 ^ Sv-i g (a - i) (il, + ï,.).
qui contiennent la démonstration de la proposition énoncée ; en effet si la série (i') est convergente, IV reste inférieur à un nombre fixe, donc aussi Sv— i, quel que soit r ; comme v — i = a''+ ^ — i
CIIAI'lTRn III. l)i:i-IMTIONS. COWKIKil'.NCE AHSOI.LE l'iû
peut dépassser Ici nonihrc qu'ini Noudra. la soiimic d'aiilanl de termes qu'on voudra, dans la série (u), est inférieure à un nondjre fixe : celle série est convergente. Au contraire, si la série (y) est divergente, T^^., et par suite S.— ,, peut dépasser tel nombre qu'on voudra : la série (ii) est divergente. En jncnant
on a
la série (v) est une progression géométrique dont la raison est a—^, convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif : on retrouve le ihèorcmc du numéro précédent.
98. On dit qu'une série est absolument convergenle, lorsque la série obtenue en y remplaçant chaque terme par sa valeur absolue est convergente. Qu'une série absolument convergente, en ce sens, soit convergenle au sens qui a été donné à ce mot au début de ce chapitre, c'est ce qui a été déjà démontré n" 94. Au surplus, on va le prouver directement et démontrer en même temps que la 5on(//u' d'une série absolument convergenle est la différence entre les sommes de deux séries formées, l'une avec les termes positifs, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs de la série proposée.
Soit (S) une série absolument convergente, contenant une infinité de termes positifs et de termes négatifs ; soient (S) et (S) les deux séries formées, l'une avec les termes positifs de (S) rangés dans l'ordre où ils se présentent dans (S), rautrcavccles valeurs absolues des lermrs négatifs de (S) rangés aussi dans Tordre oi"i ils se présentent. Soit 2i la sonune de la série formée avec les valeurs absolues des termes de (S) ; soil enfin .s„ la somme des n premiers tenues de (S), s'„ la somme des n termes positifs compris parmi ces n termes et s"„ la somme des valeurs absolues des n" termes négatifs contenus dans s„. Un a :
Ta:(nerv I. — Introduction à la tliéorie des fonctions 9
l3o IMUODUCTION A LA ÏIIEOHIE IIES FONCTIO?ïS
Quand /) augmenle, s'„ et s,', ne diminuent jamais ; quand n augmente indcMininient, ces mêmes sommes 5,', ets,'^, toujours infériem-es à i. tendent vers des limites S', S" et, par suite, Sn = ■'^,', — s"^ tend vers la limite S' — S"; il est d'ailleurs bien aisé de voir que S', S" sont les sommes des séries (S'), (S") ; d'abord ces séries sont convergentes, puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans l'une ou dans l'autre, ne peut dépasser 2ii ; puis, quand n augmente indéfiniment, il en est de même de n' et de n", sans quoi il n'y aurait dans i S) qu'un nombre limité de termes positifs ou négatifs ; donc, lorsque n augmente indéfiniment, 5,' et s'n, c'est-à-dire les sommes des n' premiers termes de la série (S') d'une part, des n" premiers termes de la série (S") de l'autre, ne peuvent tendre vers d'autres limites que les sommes respectives S', S" de ces séries. C'est ce qu'il fallait élablir.
S'il n'v avait, dans la série absolument convergente donnée, qu'un nombre limité de termes négatifs, par exemple, la somme de la série serait encore S' — S", en conservant à S' sa signification et en désignant par S" la somme des valeurs absolues des termes négatifs.
99. — Dans une série absolument convergente, on peut, sans changer la somme de la série, changer l'ordre des termes.
La signification qu'il faut attribuer à cette expression a changer l'ordre des termes » a été précisée au n" 74, à propos des suites.
La proposition énoncée a été établie au n" 95 pour ce qui concerne les séries à termes positifs.
Il suffit de se rappeler qu'une série absolument convergente est égale à la différence entre les sommes de deux séries à termes positifs formées, l'une avec les termes positifs de la série proposée, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs, et d'observer que, en vertu du précédent raisonnement, les sommes de ces deux séries restent invariables quand on modifie l'ordre de leurs termes pour être bien assuré qu'on peut, sans changer la somme d'une série absolument convergente, changer l'ordre de ses termes.
On verra plus loin qu'il n'en est pas de même pour les séries qui ne sont pas absolument convergentes. Toutefois, même pour celleslà, il est clair que Ton peut changer l'ordre d'un nombre fini de
CIIAPITUE m. SÉRIES A E-STHÉE MLLTIPLF l3l
termes, car alors, à partir d'un certain rang, les sommes des n premiers termes ne sont pas modiliées.
100. — Les conclusions énoncées à la fin du n" 95 entraînent évidemment celles-ci :
Toute série dont les termes sont respectivement égaux ou inférieurs, en valeur absolue, aux termes de même rang d'une série convergente, à termes positifs ou nuls, est absolument convergente. La somme de la première série est au plus égale, en valeur absolue, à la somme de la seconde.
Une série absolument convergente reste absolument convergente quand on supprime une partie de ses termes.
La série obtenue en ajoutant terme à terme (n" 93) deux séries absolument convergentes est de même absolument convergente.
