II. — SERIES A ENTREE MULTIPLE

101. — Jusquici on a alTeclé chaque terme d'une série d'un indice égal au rang de ce terme, cette façon d'écrire n'a rien de nécessaire ; les symboles

l'— i -+- l'o -+- '•'i H- l'a ^l'i + 1-3 H- V.. -f- l'- -h sont aussi clairs que le symbole

ja somme des n premiers termes de la première, de la seconde, de la troisième, de la quatrième série seront respectivement v^-^v^-^...-\-Vn — ^,V—^-\-v^^... -t- y„2, i'i -t-i'—o-i- ... -+-y„, v, -H i', H- ... -+- vjn— i; les séries seront convergentes ou divergentes suivant que cette somme tendra, ou ne tendra pas. vers une

102 INTRODUCTION A I.V TllKORIE DES FONCTIONS

limite. <|ii;iiul n augnicnlc indéfiniment. Quand il s'agit de séries absolunicnl con\crg:onles, on peut aller plus loin et ne tenir aucun coniplo de l'ordre des termes ; il y a un intérêt évident à présenter les choses de fjiçon que l'idée d'ordre n'intervienne plus, au moins sous la l'ornic particulière qu'on lui a donnée jusqu'ici.

102. — Dans le chapitre II, on n'a considéré que des ensembles dont tous les éléments étaient distincts : Remarquons qu'il n'y aurait aucune diflicullé à concevoir des ensembles où plusieurs éléments seraient identiques ; pour éviter toute confusion, je n'emploierai pas le mot ensemble dans ce cas, je le remplacerai par le mot agrégat : un agrégat sera défini, si l'on définit les éléments distincts qui y figurent, et si l'on dit de chacun de ces éléments combien de fois il y figure : cette notion est aussi claire que celle d'ensemble ; elle suppose que chaque élément ne figure dans l'agrégat qu'un nombre fini de fois.

Remarquons, en passant, que si une série est convergente, un terme (non nul) ne peut y figurer qu'un nombre fini de fois, puisque le if terme doit tendre vers o quand n augmente indéfiniment. Quant aux termes nuls, il est loisible de n'en pas tenir compte. Dès lors, il est certainement permis de parler de l'agrégat des termes d'une série convergente ; fait partie de cet agrégat chaque nombre qui figure comme terme dans la série ; il figure dans l'agrégat autant de fois que dans la série. Toute idée d'ordre a disparu. Ce n'est pas toutefois à ce point de vue que je veux me placer, mais bien à celui d'où l'on a considéré les suites. Une suite^ a-t-on dit, est définie quand le terme qui se trouve à un rang n est défini, quel que soit le nombre naturel n ; cela revient à dire que pour définir une suite, il faut faire correspondre à chaque numéro i, 2^ 3, ..,, (à chaque élément de l'ensemble des nombres naturels), un nombre déterminé, le terme de la suite dont le rang est précisément ce numéro. La généralisation est immédiate. Au lieu de l'ensemble des nombres naturels, concevons un ensemble quelconque (E) d'éléments distincts et imaginons qu'à chaque élément de cet ensemble on fasse correspondre un nombre : Si l'on veut réunir tous ces nombres par la pensée, on pourra encore donner le nom d'agrégat à leur réunion : un élément de l'agrégat ne sera dé-

<:iiAiMTnr. iif. — SKHIES \ enthl;f, multipli: i.i.)

lini que si l'on ilil quelle est sa valeur et à quel élément de rcnsemblc (H) il corres[)ontl. L'idée d'ordre est remplacée par l'idée de correspondance avec un ensemble quelconque ('j. L'aji régal de nombres auquel on [);uvient ainsi [)cul contenir une inlinité de termes identiques : chacun de ces termes se dislingue des autres par l'élément de-'(E) auquel il correspond, élément que l'on peut, si l'on veut, regarder comme un indice qui aiïecle le terme de l'agrégat cpii lui correspond.

Dans les applications de celle idée qui vont suivre, applications qui concernent les séries, je siq)poserai toujours que l'ensemble (E), dont je désignerai par o un élément quelconque, est dcnomhrahle. A part cela, l'ensemble (E) peut être quelconque : ce peut être lensemble des nondjres naturels, ou l'ensemble des nombres entiers, ou l'ensemble des nombres pairs, ou l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers, ou l'ensemble des systèmes de p nombres naturels, etc.. ; à chaque élément o de (E) correspond un nond^re ou terme que je désigne par Wp. Puisque (E) est dénombrable, on peut imaginer mie correspondance parfaite entre cet ensend)le et l'ensemble des nombres naturels ; en supposant que l'élément ode (E) et le nombre naturel n se correspondent, je désignerai par «„ le même nombre que i\^ : On peut dire alors que les termes v sont rangés dans l'ordre «,, u.,^ ii.^, ... Si l'on adopte un autre mode de correspondance entre les éléments o de (E) et les nombres naturels, on range par là-mcme les termes t'^ dans une autre suite L,, Uo, U;,, ..., qui peut se déduire de la suite «i, Ui, u^, ..., en intervertissant les termes (n" 74), puisque si l'on désigne par n et 'j> {n) les nombres naturels qui correspondent au même élément o de (E) dans l'un et l'autre mode de correspondance, la suite C'(i), o (2), o (3), ..., ne diffère de la suite i, 2,3,. ., que par l'ordre des termes et que l'on a

Si la série u, -h 11.^ -~ ... est absolument convergente, sa sonmie, (pii ne dépend point de l'ordie de ses termes, est égale à la somme de la série U, H- Lj -i- ..., ou de toute autre série formée de la

(i) Cî'cst rcUc mc-me idée de correspondance qni. comme on le verra au chapitre IV, est le fond de l'idée de fonction.

IJ4 INTRODLCTIC» A LA TUÉOIXIE DES 1 ONCTIONS

même laçon, et il est naturel de regarder celle somme comme étant la valeur du symbole

auquel je conserverai le nom de série ''absolument convergente) : on dit de ce symbole que la sommation y est étendue h tous les termes v^, qui correspondent aux divers éléments o de (E), parce que l'on se représente grossièrement sa valeur comme étant la somme de tous ces termes ; on dit aussi, par ellipse, que la sommation est étendue à tous les éléments o de (E), en entendant qu'on fait la somme, non de ces éléments, mais des nombres i\^ qui leur correspondent. Je dirai de cette série, et de sa sonmie, qu'elles

sont atlachees à l'ensemble (E). Si la série > u„, formée comme

on l'a expliqué au moyen des nombres v , n'était pas absolument convergente, il n'y aurait pas lieu d'attribuer au symbole > Vp une

p signification indépendante de la correspondance établie entre les

éléments de (E) et les nombres naturels.