Dire que la série ^ ii,, est absolument convergente

'1=1 c'est dire, en désignant par u,,. l'p, les valeurs absolues de ii,,,

Vç, que la série à termes positifs ou nuls 2, "« ^^^ convergente

OU encore que si l'on considère l'ensemble (S ) dont chaque élément est la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans la

suite ii[y u'^, u'„, ... ou, ce qui est la même chose, la somme

d'autant de termes qu'on voudra pris (chacun une fois) parmi les nombres i\ qui correspondent aux éléments de (E), cet ensemble est borné en haut. La borne supérieure de cet ensemble (S') est la

somme de la série 2, "» "^^ ^^ ^^^ veut, la valeur de la série

2^ l'o. attachée à l'ensemble (E) (n° 95) ; il apparaît clairement

CIIAI'ITIU- III. — SKHIES A F.NTUKE MULTIPLE l35

que celle valeur ne dépend pas de l'ordre des Icrrnes de la série, de la correspondance entre les élcmenls o de l'ensemble ( K) et les nombres naturels.

Si aux ('léiiienls o de l'ensemble (E) correspondent des nombres positifs ou nuls (ip, si la série ^ Op est convergente, et si l'on a^

quel que soit l'élément o, l'ô ^ rtp, la série 7 l'p, attachée à (E), est

P absolument convergente, et la valeur absolue de sa somme ne peut

dépasser ^ ap(n''100).

104. — Supposons toujours que la série 2, '^'p' ^Hachée à (E),

soit absolument convergente, et soit V sa somme. On suppose, comme plus haut, qu'il y ait une correspondance parfaite entre les éléments 0 de (E) et les nombres naturels/?, ou, si l'on veut, qu'on ait assigné un rang n à chaque élément ^ de (E), et Ion désigne par u„ le nombre l'p qui correspond au n^ élément û de (Ej ; V n'est

autre chose que la somme de la série £, ^^"■•

Soit 'Ea) un ensemble contenu dans E ; il est forcément fini ou

dénombrable. Le symbole ^ l'p, où la sommation est étendue, non

P plus aux nombres t'p qui correspondent aux éléments de (E) mais

seulement à ceux de ces nombres qui correspondent aux éléments de (Ea) représente encore (n° 100) une série absolument convergente, attachée, ainsi que sa somme u'a, à l'ensemble (Ea). Puisque (Ea) est dénombrable, on peut en faire correspondre les éléments aux nombres naturels i, 2, ..., ou, si l'on veut, les ranger dans un cerlain ordre. Si l'on désigne par \i ^^ le même nombre que v lorsque 'j est le m" élément de (E ), on aura évidemment

Ceci posé, imaginons qu'on décompose l'ensemble (E) en un nombre fini /-d'ensembles partiels (E,), (E^), ..., (Er) sans élément commun, en sorte que tout élément de (E) figure dans l'un de ces

1,'>6 I>TI\ODLCTI().\- A L.V TUKORIE DKS FONCTIONS

ensembles partiels et clans un seul, qnc tout clément qui fij:nre dans un de ces ensembles partiels ligure aussi dans (E) ; on peut dire encore que l'un quelconque des ensembles partiels est formé des éléments de (E) qui ne figurent pas dans les autres.

Le symbole (E^) représente l'un quelconque des ensembles partiels (E,), (E;), ... (E,), en supposant que a prenne les valeurs I, 2. ..., /". En conservant les notations précédemment expliquées, c'est-à-dire en désignant par iv^ la somme de la série ^ i\^ at-

P tachée à l'ensemble (E^). on a

(1) V = 10 ^ H- ii<^ -f- ... -i- it\.

Cette proposition ne diiïère pas au l'ond, de celle du n° 93 qui se rapporte à la somme de plusieurs séries; on aura, en effet, pour les valeurs i, 2, ..., /• de a

et par conséquent (n° 93)

-r- («1.2 -f- «2,2 H- ... -^ ",-,2) -(-••• -t- ("l.m -I- "2.m -i- ... -T- ll,;m) -^ • • , '■,

mais la série qui figure dans le second membre, dont le m" terme est (a, „, -+- «2, m ~i- ••• Ur,mj Tcste convergente quand on supprime les

parenthèses et qu'on y regarde»^ o (a = i, 2, ... ;■ : .'i = 1,2, )

comme y occupant le rang (^'i — i /• -+- a ; cette série, après la suppression des parenthèses, n'est autre en effet que la série

/^ Vp OU \^ Un attachée à (Ei, dans laquelle on a rangé les ternies

dans un certain ordre; le terme de rang [^î, — i) /• -h a occupait

dans ^ Un le rang qu'occupe dans (E) l'élément 0 qui se trouve

être le ^i" du a^ ensemble partiel (E^). La série > Un étant absolument convergente, il en est de même de celle qu'on en déduit par

CIIAIMIUE III. SIÎIUES A E>TKi';K Mn.TIl'J.f; l'A-j

l'inlcrvcrsion tics termes cl, en pailiculicr, de celle qui fifi:ure dans le second nicndjre de l'égalité (2) quand on a supprimé les parenthèses ; dans ces conditions, la suppression des parenthèses est

légitime (n° 90) : le second nienihre de l'égalité (i) est égal à V u^^

ou à V et l'égalité (ij est hien démontrée.

Observons en passant qu'on retomberait sur la proposition du n° 98 si l'on prenait r = a et si l'on conslituait rcnscmble (E,) avec les cléments 0 de (E) auxquels correspondent des termes l'o positifs, l'ensemble (E^) avec les éléments 0 de (E) auxquels correspondent des fermes négatifs ou nuls.

105. — Mon but est maintenant d'arriver à la pro[)Osition suivante.

Supposons qu'on décompose l'ensemble (E) en une infinité dénombrable d'ensend)les [)arliels sans éléments communs (E,), (E^;, ..., (E,,), ... : il faut entendre par là que si l'on considère un élément quelconque 0 de (E), cet élément figurera dans un des ensembles partiels Œ,), (E^), .,., (E,,),... et dans un seul, et que, d'autre part, tout élément figurant dans un ensemble partiel figure dans (E) ; la série

où iL\ désigne toujours la somme de la série ^ r, attachée à l'ensemble (Ea) est convergente et a pour somme Y.

Il est bien aisé de se rendre compte de ce qu'il reste à démontrer pour établir cette proposition ; soit (8„) l'ensemble des éléments de (E) qui ne figurent ni dans (Ei), ni dans (E^), ..., ni dans (E„) et

soit W„ la somme de la série ^ i\^ attachée à l'ensemble (6„; ; on aura par le théorème précédent

il reste à démontrei que n grandissant indéfiniment, AN „ tend vers o.

Cela, connue on va le voir, résultera de l'étude du cas où tous

l38 INTRODDCTIOM A LA THEORIE DES FOIÏGTIONS

les nombres i\ sont positifs ou nuls : du même coup, on aura prouvé que la série n\ -t- us -+-.,. est absolument convergente.

106. — Au lieu de raisonner sur le cas où les nombres v^ sont positifs ou nuls, je conserverai aux symboles v leur signification,

en supposant toujours que la série ^ v, attachée à l'ensemble to-

p tal (E) soit absolument convergente, et je raisonnerai sur les valeurs absolues y' des nombres y, : la série > vL, attachée au même

p ensemble (E), est convergente ; soit V sa somme. Soient de même

U'g[ la somme de la série partielle ^ i\ attachée à l'ensemble (Ea),

et V\'n la somme de la série partielle > v^ attachée à l'ensemble

p (8„), on aura comme précédemment, par le théorème du n° 104

V = w[ -H 7l>'^ -h ... -f- IU'„ -4- W„,

d'où il résulte déjà que la série w -+■ iv'., -h . . . -+- w'„ -+-..., dont les termes sont positifs ou nuls est convergente et que sa somme est au plus égale à Y'. Il reste à prouver que l'on a lim. AVJi = o.

V est la borne supérieure de l'ensemble (S) dont les éléments sont les diverses sommes que l'on obtient en ajoutant des nombres u'g qui correspondent à des éléments différents o de l'ensemble (E).

Quelque petit que soit le nombre positif 3, il y a dans (S') un élément A qui est plus grand que V — £ : A est la somme d'un nombre fini de termes vl^ correspondant à différents éléments o de (E), lesquels figurent dans certains des ensembles partiels (E,), (E,),...

Soit m le plus grand des indices de ceux des ensembles (E,). (Eg), ... qui contiennent quelqu'un des éléments o de (E) auxquels correspond un de ces termes i\ dont la somme forme A : chacun

de ces termes figurera dans quelqu'une des séries 7 y|.attachées aux ensembles (E,), (E^), ..., (E,„), séries dont les sommes respec-