CHAPITRE III. SÉRIES A ENTRÉE MULTIPLE l3ç

tives sont w\, w'.^, ..., «•„, : ou aura donc

A ^ w\ -+- w'.^ -h ... ^ ir',n el, a forliori^ pour n ^ m,

A ^ ?t'', H- lu'., -t- . . . -f- iv'„ et, par conséquent

sous la seule condition n >• nj. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Maintenant, en reprenant les notations relatives au cas général (n" 105), il est clair que l'on a

I w, 1 ^ n'\, I u-, 1 g ?/-;. .... 1 7/'„ I g 7ii, I w„ 1 ^ w;.

et il est bien prouvé que la série

est absolument convergente et a pour somme V.

107. — La série h», -+- î<'^ -f- . . . étant absolument convergente, on

peut sans changer la somme, intervertir comme on veut l'ordre de

ses termes ; cette simple remarque permet de généraliser encore un

peu la forme du théorème qui vient d'être démontré, ce qui sera

commode pour les applications. I\eprenons l'ensemble dénombrable

(E) auquel est attachée la série absolument convergente ^ v^^ ; on

P l'a décomposé en une inflnité dénombrable d'ensembles partiels,

dont on a représenté l'un quelconque par (E^), l'indice a pouvant prendre toutes les valeurs i, 2, ... qui constituent l'ensemble des nombres naturels. Cette dernière supposition a été introduite pour la commodité de la démonstration, mais n'a rien d'essentiel. On peut tout aussi bien imaginer que a représente un élément quelconque d'un ensemble dénombrable (A) d'objets distincts, en regardant toujours H'^ connue la somme de la série ai)Solument convergente ^ r, attachée à l'ensemble (E^). De cette façon, à chaque

p élément a de l'ensemble (A) correspond un nombre déterminé tr^,

et il sera permis de parler de la série absolument convergente

l4o INTaODUCTION A LA TIIÉORIF, DES FONCTIONS

^ ir^ attachée à l 'ensemble (A.), série qui ne dilVércra que par

l'oitlre des termes de la série u\ -+- u\, -h ... sur lariuelle ont roulé les raisonnements antérieurs. — On est ainsi amené à la forme générale que voici tle la proposition qui a lait l'objet des numéros précédents.

Soit (E) un ensemble tlénombrable d'objets distintes o, auquel

est attachée une série absolument convergente '^ l'o ; soit (A) un

p autre ensemble dénombrable d'objets distincts a ; supposons que l'en, semble (E) soit décomposé en une infinité dénombrable d'ensembles partiels (Ey.\ sans élément commun, dont chacun corresponde à un élément a de l'ensemble (A) : on entend par là que chaque élément de (E) figure dans l'un des ensembles partiels (Ea) et dans un seul, et que tout élément de l'un quelconque (Ea) des ensembles partiels figure dans l'ensemble (E). A chacun de ces ensembles (Ea) est attachée une série absolument convergente ^ l'o, où il est entendu

que la sommation est étendue à tous les éléments de l'ensemble (E^) ; soit H'a la somme de cette série ; à chaque élément a de l'ensemble (A) correspond un nombre rv^ ; la série 7 w^ attachée

ainsi à l'ensemble (A), où la sommation est étendue à tous les éléments de (A), est absolument convergente et sa somme est égale à la somme de la série ^ i\ attachée à l'ensemble (E).

Dans le cas où tous les termes i\ de la série ^ y^, attachée à (E)

sont positifs ou nuls, lors même qu'on ne sait rien sur la convergence de la série attachée à (E), si l'on reconnaît sur chaque série attachée à un ensemble partiel (Ea) qu'elle est convergente, sa somme iv^ est alors un nombre positif ou nul; si l'on reconnaît

enfin que la série > u\, attachée à l'ensemble (A) est convergente,

on peut affirmer la convergence de la série ^ v^ attachée à (E) ; en

efTet si l'on prend autant de termes que l'on veut dans celte dernière série, chacun de ces termes figure dans quelqu'une des séries