CHAPITRE m. SKUII.S A KMHKK MLI.TIPLE I |I

ayant pour somme l'un des nombres ii\, et la somme de ses termes ne dépasse ni la somme de ces nombres n\, ni, a fortiori

la somme ^ u\. L'ensemble dont les éléments sont des sommes de

termes pris dans la série attachée à l'ensemble (E) est donc borné en haut.CcHt^sé

la série ^ "'

haut.CcHt? série est convergente et sa somme est égale à la somme de

Mais, si les nombres v^ n'élaienl pas tous de même signe,

on ne pourrait conclure la convergence absolue de la série

> l'o attachée à l'ensemble (E) ni de la convergence absolue des

séries partielles attachées au\ ensembles (l'^a)? ni de la convergence absolue de la série ^^ ii\ allachée à l'ensemble (A).

Dans ce cas on se reportera à la série ^ v'p formée par les va-

P leurs absolues des termes de la série ^ i'^. Si l'on parvient, par

un procédé quelconque à démontrer la convergence de la série 2, vl attachée à (E), par exemple en constatant d'abord la converp gence des séries 2, ^'p attachées aux ensembles partiels (Ea), puis la

convergence de la série > xr^ attachée à (A), dont les termes sont

respectivement les sommes des séries précédentes, on sera bien certain que la série ^ Cp attachée à (E) est absolument conver-

p génie. Cette remarque sera appliquée dans les n"^ lH et 112.

108. — Supposons, comme premier exemple, quel'ensendjle (E) soit l'ensemble des nombres entiers (négatifs, nuls ou positifs). Le signe 0 désignera alors un quelconque de ces nombres entiers, l'o est, par hypothèse, déterminé pour chaque valeur entière de o : on peut établir la correspondance entre chaque nombre o et chaque nombre naturel n comme on l'a expliqué au n" 70, en supposant les nombres o rangés dans la suite o. i, — 1,2, 0 — 2, ... et en

I 'j2 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

faisant correspondre à chaque nombre a le rang n qu'il occupe dans

fl = 00

cette suite ; la série ^ n„ peut alors s'écrire

Si on la suppose absolument convergente, elle est, d'après le théorème précédent, ou tout simplement en vertu des n"" 93 et 90, la somme des deux séries

qui sont elles-mêmes absolument convergentes. Cette somme se représente par le symbole

p = CO

Tl importe de remarquer que ce symbole s'emploie lors même que la série

n'est pas absolument convergente. Toutes les fois que les deux séries partielles 2, ^'?^ ^ ^'p ^^^^ convergentes, même sans l'être

pz^O p^ I

absolument, mais seulement lorsque ces deux séries sont convergentes, on emploiera le symbole

p=:-|-ao

'V Vo 0= — co

pour représenter la somme de leurs sommes. Le terme auquel on fait commencer les deux séries partielles n'a d'ailleurs pas d'impor-