CHAPITRE III. SÉRIES A ENTRÉE MULTIPLE l

tance : si les deux séries écrites sont convergentes il en est de même, par exemple, des deux séries

V,, -h IV-l + Vj,., -+- ... -+- l'o -I- l'i -+- V 2 -H ....

dont les sommes respectives peuvent s'écrire

> l'o H- ^ vo, 7 ^'o — 7 »'o :

la somme de leurs sommes est encore

0^+00 p = + oo p = + oo

V l'p H- '^ fp = V vp .

Toujours sous la supposition de la convergence des deux séries partielles, il est clair que la somme

fo

peut être regardée comme la limite pour \i infini de la somme de 2/) -f- I termes,

mais cette limite pourrait très bien exister sans que les deux séries partielles fussent convergentes ; c'est ce qui arriverait, par exemple, si, quel que fût le nombre naturel/), on avait v y ■= — i\, : la somme précédente serait toujours égale à v^ ; elle aurait v^ pour limite, et cependant, la série y, -^ v^-\- v^ -\- ... pourrait très bien être divergente. Si, au contraire les deux séries partielles sont convergentes, il est clair que, en désignant par />, q deux nombres naturels quelconques, la somme