I I INTRODUCTION A I..V TIIKOIUK IH-S FONCTIONS

tond vers

p = 4-oc p ^ — co

pourvu (|ue y) et q grandissent indéllninienl.

109. — Comme second exemple, je vais considérer le cas oii lensemble (E) est soit l'ensemble des systèmes (a, jS) de deux nombres entiers a, ^3, soit une partie de cet ensemble, d'oii l'on aurait exclu certains systèmes (y., fj) en nombre fini ou infini. Le signe 0, qui désigne un élément quelconque de l'ensemble (E) peut alors être remplacé par le système (a, |'B) : On suppose toujours établie une correspondance parfaite entre l'ensemble (E) et l'ensemble des nombres naturels n ; à cbaque élément "(a, fj) de (E) est attacbé un nombre v^ g et Ton suppose encore u,, = l\^ 3 toutes les fois que l'élément (a, -î) de (E) et le nombre naturel n se correspondent ; enfin on suppose absolument convergente la série

^ u„ OU >* l'o, que l'on représente aussi par le symbole

On peut s'aider de la représentation géométrique expliquée au n" 75 ; qu'on se représente le plan décomposé en carrés au moyen de deux systèmes de droites parallèles ; les droites d'un système étant perpendiculaires aux droites de l'autre ; cbaque file horizontale est numérotée au moyen d'un nombre entier ce (positif, nul, ou négatif) ; chaque file verticale au moyen d'un nombre entier ^3 ; chaque carré porte ainsi deux numéros a, fi,.

On imaginera que chaque nombre i\ 3 est inscrit dans la case qui porte les deux numéros a, f>. Si l'ensemble (E) ne contient pas tous les systèmes a, ^v, certaines cases resteront vides ; des files entières, soit horizontales soit verticales peuvent rester vides : la file horizontale, numérotée 7.^ serait vide si tous les systèmes (a, jS) dont le premier nombre est a^ devaient être exclus. Lucas fréquent est celui on l'ensemble (E) ne contient que les systèmes {a, f,) formés de deux nombres naturels ; alors on peut, au lieu du tableau à

ciiAiMTRK m. — si;itii:s A kmiuck Ml i.Tin.i: i ],)

double entrée, à extension indéfinie dans tous les sens, se liy;iircr un lahlcauà double entrée liniilé en bas et à gauche, s'ctendant indélininient vers le haut et vers la droite : tout cela a été explique au n° 75. Enfin on peut supposer que les cases pleines soient numérotées au moyen d'un seul numéro et employer pour cela les nombres naturels i, 2, ... : ce double mode de numérotage permet de réaliser la rorres[)ondance parfaite entre l'cnscndjle (K) et l'ensemble des nombres naturels.

Tout ceci rap[)elé, considérons une valeur particulière de a et désignons par (l^^a) l'ensemble des systèmes (a, fb) 011 le premier indice a celle valeur particulière (') ; l'ensemble (E») est contenu dans (E). L'ensemble (E) peut être ainsi regardé comme étant décompose en une infinité dénombrable d'ensembles partiels (Ea), que l'on obtient en donnant à l'indice a toutes les valeurs entières possibles, ou au moins toutes celles qui ne servent pas à numéroter une iile horizontale entièrement vide. Les nombres i',,^ qui sont contenus dans la file horizontale numérotée a, sont tous afieclés du même premier indice a, ils se distinguent par le second indice jj, dont les valeurs diverses forment un ensemble fini ou dénombrable. (Ea) désigne l'ensemble des systèmes (a, fj) où le premier indice a une valeur fixe a, tandis que le second indice prend toutes les valeurs possibles non exclues : L'ensemble dénombrable des ensembles partiels (Ea) reproduit évidemment l'ensemble primitif (E), qui est donc bien composé des ensembles (Ea) ; à chacun de ces ensembles (Ea) est attachée une série, dont les termes sont les nombres l'a.p placés dans les cases de la file horizontale qui porte le numéro a, série qui est absolument convergente, puisqu'elle ne contient qu'une partie des termes de la série absolument

convergente \ i'a,;2 ; soit iCz la somme de la série attachée à l'en-

semble (Ea). Le nombre u'a est ainsi attaché à l'indice a ; les \aleurs non exclues de cet indice forment un ensemble dénombrable (A) auquel est attachée la série absolument convergente ^ u'a, dont

la sonmic est égale à celle de la série ^ i'a,;iallachée à (E).

('1 Si tous CCS syslômes devaient cire cvclu;, l'ensemble (Ea) n'existerait pas. Ta:ijikiiv I. — IiitrO'iuction ù la 11 éorie de* foiictions 10

INTUODICTION A L.V TIir.OniE DES FONCTIONS

On se représente les choses d'une façon commode, malgré son incorrcdion.en imaginant que pour ftûre la sommcde tous les nombres j'a.a du tableau à double entrée, on a fait d'abord la somme Wx de tous les termes contenus dans une même fde horizontale, puis la somme de tontes les sommes partielles îCa.

Il est clair qu'on aurait pu tout aussi bien faire les sommes des termes contenus dans chaque file verticale, puis la somme de toutes les sommes pailiclles ; on aurait obtenu le môme résultat, la somme de la série absolument convergente ^ t'^ o .

Plaçons-nous dans le cas où aucun des systèmes (a, ^i) n'est exclu, oïl les lettres a, j's doivent prendre séparément toutes les valeurs entières, et où, ainsi, aucune case du tableau à double entrée n'est vide : on peut toujours, d'ailleurs, se mettre dans ce cas, quitte à mettre des zéros dans les cases vides.

On pourra alors écrire, en adoptant les notations expliquées dans le n' 108.

= + oo V y,

* = -(-oo /|j = -f-oo

a= — co \4 = — X

le dernier membre a, par définition, la même signification que ^ H'a. En supposant toujours que la série proposée est abso-

lument convergente, on peut écrire, d'après les explications qui précèdent

Si l'ensemble (E) au lieu d'être formé de tous les systèmes {(/., fî,) où a, [j sont deux nombres entiers, était formé de tous les systèmes (a, /5) où Oi, [j sont deux nombres naturels, et si la série attachée à (Ej était toujours absolument convergente, on écrirait de même