CO

sont convergentes.

2" En désignant par tt'a la somme de la série 7 w^^^, on suppose que la série

est convergente : la somme de cette série est la valeur de la somme double

a = -\-oo p = -|- 00

a=' — oc p = — 00

Msàs lorsqu'on n'a pas atTaire à des séries absolument convergentes, l'égalité

a ^= -\- ^ ^ = -\- 00 3=z-|--o a = 4-oo

a^ — 00 p = — -co ?=^ — coa = — ce

OÙ le second membre doit être défini comme on a fait le premier, n'est pas toujours vraie ; il peut même arriver que le second membre n'ait plus de signification ; on ne peut plus affirmer non plus que l'un

ou l'autre membre soit égal à la somme ^ «« de la série dont

1 = 1 les termes sont les nombres Ua, p, rangés dans une suite linéaire, et cette dernière série peut n'être pas convergente.

On donne souvent le nom de séries à double, triple, ... entrée,

CIIAPITIU: m. SÉUIES a entrée Mt'I.TIPLE l'|Q

de sommes doubles, triples, ... à des expressions telles que celles que l'on vient de considérer.

111. — Considérons la série 7 x^ "^ '^, où l'on suppose que les

systèmes (a, ^j) sont formés de deux entiers positifs ou nuls, d'ailleurs quelconques. Cette série est absolument convergente quand on a 1 ,/■ I <! 1, ainsi qu'il résultera du calcul même qui fournit sa somme, en regardant ./; comme positif. On a

^ ^ I — x " I — a- — ^ {i — xf

En rangeant les termes de la série dans le tableau

I H- j -h ar^ + a;' + ...

et en faisant les sommations par lignes verticales on trouve la série

qui, ainsi, est absolument convergente, sous la supposition \x\<ii,

et qui a pour somme .

(I— ./•)' On peut observer que l'ordre adopté dans le tableau, revient à

faire correspondre à l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers positifs ou nuls (a, ^'5) l'ensemble des systèmes de deux nombres positifs ou nuls (p, rj), pour lesquels on a/) ^ q, par les conditions p = 7., (j ^= ry^ -}- 1^ ou a = p, [j = ({ — />, on a alors

q = co p ^ q 7 = co

lOO

On arrive au même résultat en transformant la série à double entrée dans une série simple, d'après cette convention que le terme .t' "^ ^ précédera le terme s^ + ^ si l'on a a h- j^i > a' -i- j3', et en groupant ensemble les n -f- i termes égaux pour lesquels

{'j a la valeur n.

112. — Considérons la série ^ x^ oii les systèmes (a, jj) sont

formés de deux nombres naturels : cette série est encore absolument convergente quand on suppose | x ] < i, ainsi qu'il résultera du calcul suivant en supposant x positif. On a

Si l'on groupe ensemble les termes égaux pour lesquels a^S est égal à un nombre naturel n, on voit de suite que le nombre de ces termes est le nombre o\, de diviseurs de n, en sorte que l'on a

d'après la démonstration même, on est assuré que la série qui figure dans le second membre est convergente, sous la condition \x \<^\. ^s. doit être pris égal à i ; si /i est un nombre premier, (?„ est égal à 2.

Considérons encore la série ^ ( — i)? — i js-^C^? — i ', où les sys-

tèmes ''a.'B) sont formés de deux nombres naturels : elle est absolument convergente sous la supposition | x ] >< i, puisque si l'on réduit les termes à leurs valeurs absolues, elle ne comportera qu'une partie des termes de la série précédente. On a

CHAl'lTHE III. — SKKIKS A KMTKKE Mll.Tll'Li;

L'itlcnlilé

est celle (|uc j'avais en vue. Ici encore, 11 serait iiatuiel de grouper ensemble les termes pour lesquels a [n fb — i) est égal à // ; le

n ^ oc

coefTicient y„ de .r" dans la série ^ y,, .r" que l'on obtient ainsi

apparaît comme l'excès du nombre de diviseurs impairs de n qui sont de la forme ^ p -^ i sur le non)bre de ces diviseurs qui sont de la forme '\ p — i. Kn particulier si n est un nombre premier de la forme \ p — i, dont les deux seuls diviseurs impairs sont i et 4 p — I , y,! est nul ; si n est un nombre premier de la forme 4 /> -l- i » y„ est égal à 2. On démontre que y„ représente en général le nombre de systèmes distincts d'entiers positifs ou nuls [a, v) qui vérifient l'égalité a- H- v'^ = n, ce nombre étant toutefois diminué d'une unité quand n est carré parfait. Celle propriété tlu coellicient y„, résuite très facilement d'une identité de la théorie des fonctions elliptiques ('). Mon seul but en l'énonçant est d'indiquer au lecteur l'un des points où la théorie des nombres et les théories analytiques se rencontrent.

113. — On peut ranger tous les nombres naturels autres que un, dans un tableau à double entrée, que le lecteur s'imaginera très facilement s'il veut bien se reporter à la façon dont on- apprend, en arithmétique, à former une table de nombres premiers. Dans chaque ligne horizontale, les nond)res se suivront par ordre de grandeur croissante. La première ligne horizontale