II. G

(i) Voir, par exemple, dans les Éléments de la Ibcorie des fonctions elliptiques •le MM. T.v>NEnY et Molk (Paris, (laulliicr-Viliars) les furmuios CX;, LWl), XXXVIi et, même ouvrage, t. IV, p. 2O0.

IJ'J IMUODl CTION A LA IIIICOUIE DES FONCTIONS

conlionl tous les noml)res pairs; 11 n'\ aura plus de nombres pairs clans les lignes sviivanles. La seconde ligne

contienl tous les nombres impairs divisibles par 3 ; de tels nombres ne figurent pas dans les lignes suivantes. La troisième

contient tous les nondjres qui sont divisibles par 5 sans l'être par 2 ou par 3. La if ligne

commence par le n" nombre premier p (') et contient tous les nombres naturels divisibles par p. qui ne sont pas divisibles par un nombre plus petit que p : en sorte que, si l'on divise par^j les termes de cette n" ligne, on obtiendra comme quotients tous les

termes de la suite i, a, 3, \, qui ne figurent dans aucune des

n — I lignes précédentes.

Ceci posé, soit /• un nombre positif plus grand que i, affectons de l'exposant — /■ tous les termes de la suite a, 3, 4» .•• ou, ce qui est la même chose, tous les éléments du tableau à double entrée précédemment défini ; Soit enfin

le second membre est, comme on sait, une série convergente et l'on a défini, dans ce qui précède, un mode particulier de transformation en série à double entrée de la série

Faisons les sommes des séries partielles répondant à chaque ligne horizontale du tableau, et désignons en général par s,, la somme des éléments de la ligne qui commence par le nombre premier/) : soit encore y/ le nombre premier immédiatement inférieur

(i) On ne considère pas i comme nn nombre premier.

CItMMTRR III. SÉRIKS A ENTRKK Mtl.TII'M: l53

l\ p', la loi cro|)rès laquelle on a formé le tableau Otuniil imniédiatement les égalités suivantes.

Sp = -,. (*■ — So — S3

Lorsque/) augmente indéfiniment la sommes^ -+-53 -+- ... -\- s^,

a pour Imiite la somme s — i de la senc — : -i- ^^ -^ 77 + ... ;

la quanlil(''

a donc pour limite l'unité; par conséquent le produit infini

oii figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres premiers, a pour valeur l'inverse de la série

où figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres naturels. 114. — Supposons que les deux séries \ an, y, b„.

dont je désignerai les sommes respectives par .\ et B soient absolument convergentes, la série

^^ ^ Pz= I. 2, 3. ....

l5'j INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

est absolument convergente, comme il résulte immédiatement, clans le cas où les nombres a^, 63 sont tous positifs ou nuls, des égalités

Si maintenant on écrit la série ^^ a h^ sous forme d'une série simple, en convenant de mettre le terme a^hr, avant le terme a^. 6,, si la somme y.-^-Çli est plus petite que la somme a' H- ^j et en réunissant ensemble les termes pour lesquels a -H jj a la même valeur, on arrive à la conclusion suivante.

Si les deux séries

sont absolument convergentes, il en est de même de la série

OÙ Ion suppose

C„ = «,6„ -f- 0,6„i + ... -H Qnh^.

et la somme de cette dernière série est le produit des sommes des deux séries proposées.

La première application qui a été faite des séries à double entrée, n" 111, n'est évidemment qu'un cas particulier de la proposition qui vient d'être démontrée.

Il est bien clair d'ailleurs que l'on pourra adopter pour transformer la série 2, ^a^a tel autre groupement de termes que l'on voudra.

Par exemple si on désigne par a, b deux nombres naturels, les deux séries

N aj. \ 63

CHAPITUK 111. SERIES A ENTUEE MULTIPLE I aj

sont ahsolinncnl convcrgonlcs si ron suppose | ic | << i ol lcuv.s sommes respectives sont

On aura Jonc

et l'on voit que le second membre est égal à

en désignant par A„ le nombre de systèmes distincts {y., |3) formés de nombres entiers positifs ou nuls, tels que l'on ait

ax -\- b^^ = n.