Il 1.2... (71 1) I I.2...(/( — 2j 1.2 1.2... Il
ou à
(g -+- ty
l. 2 ... Il'
en sorte rpie le produit des sommes des deux séries s'obtient sous une forme pareille à cliacune d'elles, à savoir
H6. — Les exemples qui [uécL-dcnl sulïlsent pour que l'on comprenne le rùle que les séries absolument convergentes jouent dans l'analyse, à cause de la façon dont on peut les manier et les transformer: il en est tout autrement des séries qui sont convergentes sans l'être absolument ; leur somme dépend alors essentiellement de Tordre des termes.
Soit (S) une telle série ; puisqu'elle n'est pas absolument convergente, on peut prendre assez de termes parmi les termes positifs pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra ; de même, on peut prendre assez de termes négatifs pour que leur somme soit moindre algébriquement que tel nombre négatif que l'on voudra ; ceci posé, soit a un nombre quelconque, écrivons d'abord les premiers termes positifs de (S), dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que leur somme dépasse n ; écrivons à la suite les premiers termes négatifs de (S), sans cbanger leur ordre, et arrêtons-nous dès que la somme de tous les termes écrits est inférieure à a; écrivons à la suite des termes positifs de (S), en commençant par le premier de ceux qui ont été négligés, et arrêtons-nous dès que la somme de tous les termes écrits est supérieure à a; recourons ensuite aux termes négatifs, etc.. En continuant ainsi indéfiniment, on formera une nouvelle série, composée des mêmes termes que (S) et dans laquelle la somme des n premiers termes est tantôt plus petite, tantôt plus grande que a ; on voit sans peine que cette somme, lorsque n augmente indéfiniment, a a pour limite.
Si, en eflet, \e p" terme de la série ainsi formée est, par exemple, un terme positif, suivi de q termes négatifs, suivis eux-mêmes de termes positifs, on aura en désignant comme d'habitude par S„ la somme des n premiers termes de la série (S).
La première inégalité montre que la différence entre S^, et a est au plus égale à S^ ■ — '^p — i, c'est-à-dire au p^ terme de (S), il en est de même, en vertu des secondes inégalités des différences entre a et S/, + 1, S/, 4- 2, ..., Sp -i-,i ; quant à la différence entre a et S^j^, elle est au plus égale au (p -h (j)" terme ; comme les termes de la
ClIAPITUi: m. l'UODLlTS INFINIS
série (S) décroissent inJéfinimeiil, (jikurI leur rang augmente indé- Jiniiiicnt, on a lini {S„ — a) = o.
m. — PRODUITS INFINIS
117. — L'inlérèt qui s'atlaclie aux séries à termes positifs se retrouve dans les produits infinis
pour lesquels tous les termes «,, 11.^, ..., ii,„ ... sont positifs. Il est aisé tout d'abord d'avoir la condition de convergence d'un tel produit ; le produit p„ = (i H- ",) (i + u.^) ... (i H- ii„) de n premiers facteurs va eu augmentant avec n ; il faut et suffit, pour la convergence, que ce produit n'augmente pas indéfiniment avec n; or ce produit est évidemment supérieur à i H- ai -h «^ -h ... 4- «„. Il faut donc que la somme s,, des n premiers termes de la série à termes positifs (S) u, H- u, -h ... -+- u„ -h ...
ne croisse pas indéfiniment quand n augmente indéfiniment, ce qui revient à dire que la série (S) doit être convergente. Réciproquement, il est aisé de voir que, s'il en est ainsi, le produit (P) est convergent; en effet si l'on se donne un nombre positif £ <C i, il existe alors un nombre naturel n tel que, quel que soit le nombre naturel r, on ait
on a d'ailleurs
mais il est clair que l'on a
(l -+- U„ 4-1) (l -i- Un ^->) ■•■ (l -+- ",, + '■)
donc i>n f ,• <C Pn ;
lors donc que r augmente indéfiniment, pn + r reste au-dessous d'une limite fixe et, par suite, le produit P est convergent.
l[;8 IM'UOni'CTION A LA TIMCOniE HES FONCTIONS
On pourrait encore, d'une f\içon plus directe, remarquer que l'on a, en di-signant [)ar s,, la somme des n premiers termes de (S),
oi!i K désigne un nombre quelconque supérieur à la somme de la série (S) : la série qui figure dans le second membre est toujours convergente, comme on l'a vu au n" 95.
Les produits convergents à termes tous positifs tels que (P) jouissent de la propriété suivante, analogue à celle qui a été signalée pour les séries à termes positifs :
L'ensemble des nombres distincts obtenus en faisant le produit d'autant de facteurs que l'on voudra, pris dans (P), est borné en haut et la borne supérieure de cet ensemble est la valeur du produit infini.
Il en résulte que la valeur du produit (P) est indépendante de l'ordre des facteurs.
Considérons maintenant un produit infini de la forme
où tous les nombres «,, n,, ..., «„, ... sont positifs et différents de T. Je vais montrer que la c-onvergencc de la série
(S) «1 -^- II, -+■ ... + Un -+- ...
est encore la condition nécessaire et suffisante pour que le produit infini (P') soit convergent.
Je supposerai, dans la démonstration, que les nombres h,, u.^, ..., ii„, ... sont tous plus petits qu'un nombre a < i; cette restriction sera levée plus lard.
En désignant par />,, le produit des n premiers facteurs de (P') on aura
I>n \ I — «,/ \ I — Uj \
comme tous les nombres
CIIM'ITIU: m. l'UODLITS INFINIS K)(J
sont posilHs, Il laiil cl il siiflit, pour que , lendo vers une limite
quand n augmente indélininient^ (jue la série à termes positifs
soit convergente ; or les termes de cette série sont compris entre les
termes de même rang des deux séries
qui sont convergentes ou divergentes en même temps que la .série (S ), puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra pris dans cette série est inférieure à la somme de la première série supposée convergente et supérieure à la somme des termes correspondants de la
seconde. Donc, pour que — tende vers une limite, ou pour que y>',
tende vers une limite différente de zéro, quand n augmente indéfiniment, il faut et il suffit que la série (S) soit convergente : si celle série était divergente, p'^ aurait pour limite zéro. La valeur du produit infini
supposé convergent, étant indépendante de l'ordre de ses facteurs, il en est de même pour le produit
(l — U,)(l — U2) ... (l — Un) ■■•■
Soit enfin un produit
(Q) (n-i.,)(n-ig...(i +.„)...,
pour lequel les nombres l'i, v.^ v,,, ... peuvent être positifs ou
négatifs, mais sont tels que la série
soit absolument convergente ; je suppose de plus que tous ces nombres soient, en valeurs absolues, [)lus petits qu'un nombre positif
i6o iMuonrcTiox a l.v théouie dks ionctions
a <C I ; si l'on désigne par u,. n.,, ...» lU, ... ceux des nombres y,, v^, ..., i'„, ... qui sont positifs et paru,, u[^, ..., Uj, ... ceux qui sont négatifs; les deux produits
(l H- «,) (l -+- H^) ... (l -\- Ui) ....
sont convergents et le seconda une limite dilTércnle de zéro; un raisonnement pareil à celui qui a été employé (n° 98) pour les séries montrera que le produit des n premiers facteurs du produit infmi Q, lorsque n augmente indéfiniment, a ime limite égale au produit des valeurs des deux produits infinis qui précèdent.
Enfin, on peut s'alTranchir de la restriction imposée aux termes de la série
i', H- Wo -h .. H- v,t -h ...,
d'être, en valeur absolue, plus petits que i, pourvu que cette série soit absolument convergente. A partir d'un certain rang n, en effet, les termes satisferont certainement à cette condition, on est donc assuré que le produit infini
est convergent et a une limite difTérente de zéro ; soit T cette limite ; le produit des m premiers facteurs du produit infini
lorsque m grandira indéfiniment, aura pour limite
Cette limite sera dilîérente dezéro, si aucun des facteurs i + y,, 1 H- y,, ..., I + l'/i n'est égale à zéro.
118. — On peut maintenant énoncer les définitions et les propriétés q\)i suivent : Un produit iufini
où les nombres iii, u^. ..., u,,, ... peuvent être positifs ou négatifs, est dit absolument convergent si la série
u, H- «2 + ••• + "/i -1- ••• est absolument convergente.
CHAriTRE m. PRODUITS INFINIS l6l
Lcprodi il tics n premiers laclouis tl'iin [)rodiiit absolument convergent tend, l(3rsquc n augmente indélinimcnt, vers une limite; celle limite est la valeur du produit ; elle est indépendante de l'ordre des lacleurs du produit infini ; elle est nulle si l'un de ces facteurs est nul, et seulement dans ce cas.
On voit cpie les produits absolument convergents sont maniables au même degré que les séries absolument convergentes.
119. — Soit JJ[ (i -Haa)r=(i +a,) (i -\- a,) ... (i -h «a) ...
un produit infini, tel que la série 7 ax soit absolument conver-
gente ; la [)roposition importante à laquelle on vient de parvenir, à
savoir que le produit des n facteurs A„ = T T (i -H «a) a pour n
infini, une limite qui ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont rangés les facteurs du produit infini, peut s'obtenir d'une autre manière qu'il sera plus tard facile de généraliser, et que, pour cette raison, il y a lieu de faire connaître ('). Cette proposition, comme on en a déjà fait l'observation^ est immédiate lorsque les termes ax sont tous positifs ou nuls. Admettons la dans ce cas et en désignant par a'x la valeur absolue de ax, posons
A;.= TT(i -+-a'a). A' = Iim. A,:;
l'existence de la limite A' résulte de ce que la série 2, ^'x ^^t con-
vergcnte par liypotlièse.
Si c est un nombre positif quelconque, on peut lui faire corres-
(') Le lecteur trouvera ce mode de raisonnement s^stémaliqucmetit cmplové pour établir les propriétés principales des séries et produits infinis à termes imaginaires dans l'Introduction des Eléments de la théorie des fonctions elliptifjiies de MM. Tasneuy et .Molk, (t. I). Les n<" 119, 124 et la fin du n" 120 suffisent pour en saisir l'esprit.
Ta^neut I. — Iniro ludion à la lliéoiie des fonctions II
pondre un nombre naturel /• assez grand pour que l'on ait, sous les conditions m >/?>/•
Considérons maintenant la difTérence A„, — A„ ; si l'on développe les produits.
A,„ = I -h flj -h rï, -h ... -f- a,n -+- rtjflj -+- a^a^ -+- ..., A„ = I -i- a, H- o, -h ... -H fl„ -i- ...,
on voit que tous les termes qui figurent dans le second, figurent dans le premier, en sorte que la diflerencc A,„ — A„ est une somme de termes j.'ris dans Oj, a.,, .... «,„, de produits de deux, trois, ... de ces termes; quant à la différence A^^^ — A,,, elle est, lorsqu'on l'a développée, composée de la même façon, si ce n'est que a\, a'.^, ... a',„ y remplacent a^, a.,, ..., a,„. Il suffit de se rappeler que la valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues de ses facteurs et que la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses parties pour en conclure que l'on a
|a„.-aj^a;,.-a;,
sous la seule condition m > n, et par conséquent, si m et n sont plus grands que /",
Ceci suffit à prouver que An a une limite pour m infini. Considérons maintenant les deux produits infinis
formés avec les mêmes facteurs, rangés dans des ordres différents :
on suppose que la série ^ a^, et par conséquent la série ^ 60, est
absolument convergente ; désignons par A,,,, B„ les produits de m, n facteurs pris respectivement au commencement du premier et du second produit infini, par a'^, b'„ les valeurs absolues
CIIAIMTUK III. l'ItOnilTS I^il'lMS 1 63
de a^, /'., par .\'„,, \i„ ce que deviennent A,„, H„ quand on y remplace a^, a.,, ..., a„, ou bi, b.^, ..., 6„ par a\, a',, ..., a'„,, ou b[, b'.,, ..., />',. Lorsqu'on se donne n, on peut [)rendre m assez grand pour (pie tous les facteurs qui figurent dans B„ figurent aussi dans A„, : dans ces conditions, on aura, comme tout à
l'heure,
|A„. -B„|âA',. -B;.;
or, lorsque n grandit indéfiniment, il en est de niènic de m ; dans ces coudilions A',, et ]\„ tendent vers la même limite; il laut donc que l'on ait aussi
lim. Â,„ = iini. H,,.
Il est à peine besoin de dire que le même mode de raisonnement aurait pu être employé pour établir les propositions analogues relatives aux séries convergentes.
Faisons encore, en conservant les mêmes notations, les remarques suivantes, relatives aux produits infinis
supposés convergents ; considérons les produits infinis
qui jouent, par rapport aux précédents, un r(')le analogue à celui du reste dans une série ; on aura
et les raisonnements antérieurs montrent que l'on a | R„ | ^ R,',. La convergence du produit A', dont tous les facteurs sont supérieurs ou égaux à i, exige que l'on ait lim. RJ, r:= o ; on peut donc faire
correspondre à chaque nombre positif s un nombre naturel y>, tel que l'on ail, sous la condition ii > p,
I Kn I S K < B ;
l64 ITSTHODUCTION A LA TIIKORIE DES FONCTIONS
si l'on a choisi £ > i . i H- R„ ne pourra être nul si l'on suppose /i > D ; A ne pourra donc être nul que si A„, et par suite un de ses facteurs, est nul. On voit ainsi qu'un produit infini, absolument convergent ne peut être nul sans qu'un de ses facteurs soit nul. Il peut être utile d'avoir observé que si l'on fait
et si l'on suppose £„ << i , on a
comme il résulte sans peine de ce que l'on a dit au n" 117.
120. — Les considérations et propositions relatives aux séries qui ont été développées dans les n°' 102, 103, 110 s'étendent, avec les changements convenables aux produits infinis.
Considérons, comme au n" 102, un ensemble dénombrable (E) d'objets distincts, dont on désignera l'un quelconque par la lettre o et supposons qu'à chaque objet o de cet ensemble corresponde un
nombre Vo tel que la série ^ Vp, attachée à l'ensemble (E) ^soit
p absolument convetgente, il sera permis de parler du produit infini
\- Vo) attaché à ce même ensemble.
La valeur de ce produit infini sera celle de
fi
en supposant qu'on ait établi une correspondance parfaite entre l'ensemble (E) et l'ensemble des nombres naturels et que l'on désij^ne par u„ le même nombre que Vp lorsque l'élément o et le nombre naturel n se correspondent : cette valeur ne dépend pas du mode de correspondance établi entre (E) et l'ensemble des nombres naturels. Soil maintenant (A) un autre ensemble dénombrable d'objets distincts a ; supposons que l'ensemble (E) soit décomposé
CIIAPITIU: III. l'UODLlTS INFINIS I G3
en une infinité dénombrablc d'ensembles [)artiels (E^), sans élément commun, dont chacun corresponde à un élément a de (A). A chacun de ces ensembles paili(>ls est attaché un produit infini
T^r ^i ^ fipj où le produit est étendu à tous les éléments de l'ensemble partiel (Ea). Désignons par i + Yj la valeur de ce produit infini. Le produit infini TJ (i -+- X^), où le produit est étendu à
tous les éléments a de l'ensemble (A) est, absolument convergent et sa valeur est égale à celle du produit infini j [ (i -+- ^'p) ^^^^^ché
àE.
La démonstration suit pas à pas celle qui concerne les séries, et je crois très inutile d'en infliger l'ennui au lecteur ; je m'arrêterai toutefois un instant sur un petit détail, qui poiu'rait échapper au premier abord.
Afin d établir la proposition analogue à celle du n" 104, on a à considérer un produit dont les facteurs sont des produits Infinis en nombre fini. Je me contenterai de considérer le produit de deux produits infinis (absolument convergents)
le raisonnement étant le même dans le cas d'un nombre quelconque r de produits infinis.
Considérons le produit infini W = TT (i -+- w„) dans lequel le
/j« facteur i -4- w„ est égal à [(i -H u„) (i -h v,,)] : il est nécessaire de prouver que ce produit infini W est absolument convergent et a pour valeur UV ; les mêmes choses doivent être prouvées du produit qui se déduit de ^^ en y supprimant les crochets, c'est-à-dire du produit Infiai dont i -i- «„ est le {'in — i)" et I -+- /'„ le an" facteur.
D'après la définition de i -+- h'„, on a ir,, = Ui -^ v,i -h ii„Vn ;
i66 iNmonucTinx a i.\ tihcouie des fonctions
drsiirnons [);ir L „, V„, \V„ les produits des n premiers (acteurs dans les trois produits inlinis U, V, W ; on aura W„ = U„V„ et par suite lim. Wn = UV. Toutefois l'existence d'une limite de W„,
pour n inQni, no suffit pas à prouver la convergence absolue du produit infini dont le n" facteur est i -+- ii\,, à moins que tous les nombres jr„ ne soient positifs ou nuls (n° 117). Cette convergence absolue étant ainsi assurée quand les nombres u,,, Vn sont eux-mêmes positifs ou nuls, posons dans le cas général
on aura \ ic \ g «'',. Le produit infmi dont le if facteur est i -!- to est convergent; il en est de même de la série à termes positifs
\^ u'^,; la série ^ jc,, étant absolument convergente, le pro-
duit infini 1 1 (i "+" ^^n) est aussi absolument convergent. Sa va-
leur est U\ .
Maintenant, le produit infini qui se déduit de W en supprimant les crochets, et dont i h- u„ et i -i- v„ sont respectivement le (2/1 — i)" et le [^n-Y facteur, est absolument convergent, puisque la série
«1 + l'i -i- II2 -h V^ -]-... -\- ll„ -h V„ -t- ...
est absolument convergente. Le produit des 2n premiers facteurs de ce produit est encore U„Y„ ; la valeur du produit infini est UV comme celle de W.
121. — Si, par exemple, l'ensemble (E) est l'ensemble des couples (a, f^) de nombres naturels, sous la condition que la série
\^ ti , a = 1 , 3, 3, ...,
soit absolument convergente, la valeur du produit infini
