Un produit infini absolument convergent

peut de diverses façons être transformé en série.

Soit P„ le produit des n premiers facteurs de P. Si l'on considère la série à entrée /-"p'"

Otj, Oiy, ..., C(r

où la sommation est étendue à l'ensemble (E) des systèmes de /'

lyO INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FON'CTIONS

nombres naturels dilTérenls (a,, a., ..,. y.,) tels que l'on ait «i <; a^<C ••• <i V-r, cette série est absolument convergente et l'on a

la série qui figure dans le second membre étant elle-même absolument convergente.

Etablissons d'abord cette proposition pour le produit infini obtenu en remplaçant Un par u), r= | u,, \ ; désignons par S,'., V„, P' les séries ou produits formés au moyen de h',, u^, ..., comme S,- Pn, P sont formés au moyen de «, ii^, ... Si l'on développe P,',, on trouvera

en désignant par c^ la somme des produits /' à /' des quantités a',. Wj, •••» "îi : on peut supposer que, dans cbacun de ces produits les facteurs soient rangés de façon que les indices aillent en croissant; tous les termes de a',- figurent dans S|. ; d'ailleurs 7^ dépend de n, que r ne peut dépasser. Mais si l'on considère dans S',, un nombre fini de termes, on pourra prendre n assez grand pour que tous ces termes figurent dans c^ et comme o",'. est moindre que P'„, et par suite que P', on voit que la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans S|. est inférieure à P' ; la série S,' est donc convergente ; sa somme, que je désignerai aussi par S', est supérieure ou égale à a',, (quel que soit n) ; mais, comme, d'un autre côté, n peut être pris assez grand pour que c^ surpasse la somme de tels termes que Ion voudra pris dans S| , il faut que c-^ait pour limite S' quand n grandit indéfiniment.

Si dans l'inégalité

qui résulte de la formule f i). on fait croître n indéfiniment, on obtient

et cette dernière inégalité montre que la série ^ S',., où l'on sup-

ClIAPITUF III. l'UOntlTS INFINIS lyl

pose S[^ = I, est convergente. D'autre [).u'l la même égalité (i) montre c[ue l'on a

l*„ — 1 — !j', — c\ - - ... — !T,'. = a,'. + 1 -4- (!,'. .j. j -H . . . + cr^

< s;.^., -hS,' + ., -f- ... -h s;,

Or. le reste d'une série convergente, bornée au (/* -4- i)" terme, peut être supposé plus petit que tel nombre i que l'on voudra, pourvu que l'on prenne /' assez grand; on aura dans ces conditions

et en faisant croître n indéfiniment

on voit bien que l'on a

La série S^ étant convergente, il est clair que la série S,- est absolument convergente, que l'on a S|. à | S,- 1 et que, par suite, la série I -H S, -H Sj -i- ... est absolument convergente. Tous les termes qui figurent dans la somme 7,- des produits /• à r des quantités u^, 11-2, ... u„, figurent dans S,- ; ils disparaissent donc dans la dilîérence Sr — Cr et l'on a

I S, — cr, j < s; — a,'. ;

cette inégalité montre que c,. a pour limite S,- quand n augmente indéfiniment, puisque, alors, le second membre tend vers zéro. Enfin, on a, toujours pour une raison de la même nature

1 P„ — I — a, — cr, — ... — cr, I ^ P; — I — g[ — n'^ — ... — c^;..

d'où, en faisant croitre n indéfiniment

lya INTRODUCTION A LA. THKORIE DES FONCTIONS

et par suite

125. — On peut encore, pour transformer en série convergente le produit infini

employer la méthode expliquée au n° 89 pour déduire d'une suite

P,, Pj, P„, ... une série dans laquelle la somme des n premiers

ternies soit P„ : on partira de l'identité

P. + i - Pi +(P. - PJ + (P3 - P2) + - + (P«+. -- P»).

où l'on regardera P„ comme le produit des n premiers facteurs du produit P, et, par conséquent, P, comme égal à i -h Ui, P„^i comme égal à P„ (i 4- u„) ; on en déduit

Pn + i = I -H «1 + Pa"^ 4- Pa'Js -h ... -h P„U;„

et l'on voit que P„^ i a, ou non, une limite pour n infini, suivant que la série

est, ou non, convergente. La somme de la série, si elle est convergente, est égale à P.

126. — L'identité précédente, si simple qu'elle soit, mérite de nous arrêter un instant : si Ion y change, pour la commodité de ce qui va suivre, u,, u,, ..., iin en j'i,,, [jn—\, ..., [ji et si l'on divise par le produit (i 4- j^i) (i 4- [j^ ... (i -f- [jn)> il vient :

^'^ I -^ p. -+- (I -H ;i,)(i -+- pj ^ - ^ il 4- p.) (1 4- [ij ... (I + p„)

Cette identité met en évidence le théorème suivant ; la série

(I -t-p.Hi -i-Pi)- l> -1- W

ciiAPiTur: in. — produits infinis 17.3

où l'on suppose ^în ^ o. quel que soit n, est toujours convergente ; elle a pour somme

quand la série ^ j3,i est convergente ; Quand celte dernière série

Il = I est divergente, la série (^j) a pour somme l'unité, puisque, alors, le produit

augmente indéfiniment avec n.

Quand on se donne une série convergente «, ■+- «^ "+" •••' à termes positifs, dont la somme est inférieure à i , on peut toujours la mettre sous la forme (j3j ; il suffira en effet de poser

L'identité (i) donne de suite d'oîi l'on conclut

et il est clair que l'on aura |'5„ > o.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la même identité (1) fournit la solution de cette question, dont on voit de suite qu'elle ne peut admettre qu'une solution : former une série à termes positifs, dont la somme est donnée, et dans laquelle le ra[)port du n" terme Un, au reste \\n de la série limitée à ce terme soit un nombre donné positif j^„ ; lorsque la somme donnée est i , ce que l'on peut toujours supposer, quitte à diviser chaque terme par la somme de la série, on voit de suite que la solution de la question posée est fournie par la série (j'5), quand la série dont le n" terme est |j„esl

l-\ INXnOPUCTION A LA THEORIE DES FO>'CTIO>"S

divergente. Le problèaie n'est d'ailleurs possible que dans ce cas. Il en résulte que, si la série (à termes positifs) dont le n" terme est u„

est convergente, la série dont le if terme est t^ est divergente.

L'identité (i\ quand on y change ^S,, en — a,., prend la forme

^l— a, Il — ît,) (I — ^J ■ (I — a,) 1— a,)...ii— x„)

^l aj(i — aj ... (I — a,.)

Bornons-nous au cas où l'on a, quelque soit /i, o <C a„ < i ; on voit, d'après cette identité, que la série

est convergente ou divergente en même temps que le produit in-

lini I I (i — y-;i). ou que la série à termes positifs ^ a„.

Les termes de cette dernière série sont respectivement plus petits que ceux de la série (a) : il est d'ailleurs bien clair que, si l'on se donne les termes de l'une des séries, les termes de l'autre sont déterminés par là même ; au reste si l'on désigne par lu le Tf termes de la série (ai, l'identité (II) fournit, comme tout à l'heure, la relation

I H- «i H- ti^ -r ... -1- Un

Ainsi les deux séries à termes positifs

V „ V 'lu

sont en même temps convergentes ou divergentes.