CHAPITRE III. HKGLES HE CONVERGENCE lyS

la série à termes positifs ou nuls formés par les valeurs absolues de ses termes est convergente. Le problème revient donc à distinguer la convergence ou la divergence d'une série à termes positifs ou nuls; un peut dire aussi bien « d'une série à termes positifs », car il est clair qu'on peut supprimer les termes nuls. Il a pu être avantageux, dans ce qui précède, de ne pas exclure la possibilité de termes nuls ; mais cette possibilité, comme le lecteur le reconnaîtra lui-même, compliquerait l'énoncé de plusieurs des règles relatives à la convergence ou à la divergence : il est entendu que dans les numéri:)s consacrés à l'étude de ces règles, quand on parlera de séries à termes positifs, ces séries n'adiuetlront pas de termes nuls.

Il cofi\i(>nt encore de remarquer que lorsqu'on a la valeur ou ime limite supérieure (au sens de la théorie des erreurs) de la valeur d'une série à termes positifs, on a, par cela même, une limite supérieure de la valeur absolue de toute série formée de termes dont les valeurs absolues seraient respectivement égales, ou inférieures, aux termes de la série considérée. Cette remarque s'aj)plique en particulier au re&tc d'une série absolument convergente. L'évaluation même grossière, du reste d'une série renseigne sur la façon plus ou moins rapide dont il tend vers o, quand on prend de plus en plus de termes, c'est-à-dire de la façon plus ou moins rapide dont la série converge : d'un autre coté, cette évaluation est très utile pour les calculs numériques, puisqu'elle fournit une limite de l'erreur que l'on commet lorsqu'on prend pour valeur de la série la somme des n premiers termes (').

(') Le calcul d'il» iKjiuljrc, au nio\en <rnnr s('ric convergente dont la somme est épHlo à ce nombre, est une opération très fréquente, sur laquelle il convient de dire (|uelqucs mots, l^ans les séries qu'on emploie pour cet usage, le reste est liabituelleiucnt du même ordre de petitesse que le premier terme ni'gligé et les termes de la série vont en décroissant assez rapidement.

Dans ces conditions, le procédé (juc l'on rcconunande habituellement pour calculer, par exemple, la somme de la série u, + u,-\- Uj -\- ... avec p chillrcs décimaux, consiste à calculer les valeurs des termes Ui, uy, «:i, ... avec p + 7 cliillrcsdéci-