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inaii\, a r)res ou a - près; on culculo les termes, insfiu au terme

".I + 1 q"'. calculé avec cette même approxiniiilioii, ne fournil plus (pio des zéros. Désignons alors la ^alenr absolue du reste i)ar ; si l'on a une éva-

^ '■ loi' -t '

Un premier procédé, celui d'où dérivent presque tous les autres consiste à comparer la série proposée

à une série

(u) «1 H- «2 -h ... + Un -+■■.-

dont on connaît le caractère.

Je suppose les deux séries à termes positifs : si la série (u) est convergente et que les termes de la série (v) ne dépassent pas les termes correspondants de la série («), il est clair que la série {v) est convergente ; de même si la série («) est divergente et si les termes delà série {v) sont égaux ou supérieurs aux termes correspondants de la série (ii). la série (r) est divergente. Ces conclusions subsistent pourvu que les circonstances que l'on a décrites se présentent à partir d'un certain terme, puisque pour ce qui concerne la con-

luation de ce reste, on pourra calculer grossièrement une valeur approchée de a par excès.

La somme des valeurs approcliées de u,, uo, ..., ii» représentera la somme de la série avec une erreur moindre que

, - + a n -\- a 2 — rr-„ ou 5

suivant qu'on a dirigé le calcul d'une façon ou d'une autre ; pour cjue, dans le

premier cas, par exemple, l'erreur soit moindre que — - , il suffira cjue « + n

soit moindre cpie 10' ; on voit cjue, si l'on ne cherche pas une très grande approximation, en sorte qu'on ne soit ])as obligé de calculer un grand nombre de termes, il suffira bien souvent de prendre q = 2 ; il faudrait en effet pour que

l'erreur commise fui plus grande que - , que n -\- a fût supérieur à 100. Il

est, en tout cas, assez naturel de commencer les calculs ainsi, sans même se préoccuper du reste, quitte, si l'on a quelques doutes sur la valeur de T'approximation, à s'assurer, par l'étude de ce reste, rju'on a atteint le degré d'approximation que l'on désire.

Supposons par exemple c|u'on veuille calculer avec une erreur moindre que

— la somme de la série.

Calculons les termes de manière à commettre sur chacun d'eux une erreur

cii.vi'iriu; 111. — UKCJLKs ni: convergence \n-j

vcrg(Mic{î ou la diver^'oncc, ou peiil l'aiie aljstraclioii des picinicrs Icrinos.

Si. par exemple, on prend [)oiir la série [a) la progression géomé- (ricpie

K + K- -h ... 4- Iv" -(-...,

la série [v] esl convergente si l'on a [)()iir tontes les valeurs de n, à partir d'un certain rang

moindre que - . ; on trouvera, en réunissant les trois premiers, qui se cala 10' i ' 1

culeiit exactement

0,1666667 o,o4 16667 0, 0083333 0,0013889 0,0001984 o,oooo2.'i8 0,0000028 o,oooooo3

2,7182819 Le terme (jui suit le Jeniicr calculé serait

Il n'y a (jue huit termes entachés d'erreur : l'erreur qui provient de ce fait est moindre que -^ ^ , l'erreur nrovenant du reste est vraisembla])lemcnt du

même ordre ciuc — ■ ; on verra r.ar la rèplc donnée au n" 95, que le reste est

moindre i . — «c' — . ; l'erreur commise est sûrement moindre

(lue -■— : le nombre cherché est compris entre 2,7i8:>.8i4 et 2,718282 'j : si l'on

prend la valeur 2,71828. on est certain, par la façon même dont les calculs ont été conduits, d'une part (jue l'erreur commise est non seulement moindre que

— î- mais même que — ^—, et, d'autre part, cpie tous les chitl'res conservés ap- 10' * 2.10»

particnnent à la représentation décimale de la somme de la série.

Lorsqu'on veut avoir une très grande approximation, ou que l'on a afl'aire à une série [leu convergente, il peut être avantageux de commencer par l'cxanjcn préalable du reste, si l'on en a quelque expression facile à calculer grossièrement, et la détermination du nombre n de termes qu'il convient do calculer, comme du nombre de chiffres décimaux qu'il convient de conserver dans ces ternies.

TiSSEFiY I — Intio!uclion i la lliùorie des Tonctions 12