I-jS INTIUHUCTION A l.V TIIKOUIE DES FONCTIONS

K élantiin nombre plus polit que un, puisc|ue, alors, la progression gconiclricpio est une série convergente. Le reste de la série [v),

bornée an terme r„ est alors au plus éiral à r- .

"• ^ I — iv

Au contraire si l'on a, pour toutes les valeurs de n, à jjartir d'un certain rang

K étant un nombre égal ou supérieur à un, la série ((.') est divergente, puisque, alors, la progression géométrique est une série divergente ; dailleurs dans ce cas r„ ne tend pas vers o.

Il n'est pas inutile de remarquer, pour l'application de ce critère de convergence, d'une part, qu'il ne suppose nullement qu'on ait supprimé de la série les termes nuls, s'il y en a, d'autre part que,

au lieu de considérer \ c,„ on pourrait, tout aussi bien, en désignant par p un nombre naturel fixe, considérer l'expression

x/^n OU \/ ""

en effet, en plaçant p termes quelconques avant le premier terme de la série {o\ on aura une seconde série qui sera convergente en même temps que la première et dans laquelle v,i est le terme de rang n ^ p\ si l'on applique le critère à celte seconde série,

c'est l'expression * / i„ que l'on a à considérer. De même on

pourrait, sans cbanger la convergence ou la divergence de la série proposée, supprimer/) termes au commencement.

La règle précédente s'applique en particidier lorque yVn tend vers une limite / pour n infini ; si celte limite est un nombre plus peti t que I, les valeurs de v^i'u finissent par rester au-dessous de tel nombre K que l'on voudra, compris entre /et i, et par conséquent la série est convergente ; si / est plus grand que i, la série est divergente ; il y a doute si / = i, sauf dans le cas où ^t'n reste, à partir d'une certaine valeur de n, égale ou supérieure à i, auquel cas la série (y) est divergente.

Soit, par exemple, ai, a,, ..., a,,, ... une suite de nombres tous différents de zéro, tels que l'on ait lim. | a„| =^ -h oo , la série

cn.vririuî m. — rkcles de conveiioence l'y

est absolument convcrg^cnte quel que soit x ; en eflet la racine n" do In valeur absolue du n" terme est — , dont la limite pour

n inliai est évidemment zéro.

Considérons encore la série dont le n" terme est q»-z'^", en désignant par (] un nombre positif, plus petit que i, et par z un nombre quelconque : la racine n" de ce terme est (f^z^ ; elle tend vers o quand n augmente indéfiniment : la série est convergente quel que soit *.

Il en est évidemment de même, pour toutes les valeurs de z autres que o, de la série

V rjn'l,2n __ j , V <!>'-( -in u I- j, n = — 00 n = I

qui joue un rôle important dans la tbéorie des fonctions elliptiques.

428. — La règle précédente fournit un résultat intéressant concernant la convergence ou la divergence des séries de la forme

sur lesquelles nous aurons à revenir : je suppose, pour le moment, que Oy, cil, ..,, a„, ... soient des nombres positifs ('), ainsi que x, qu'on regardera dans ce qui suit comme un nombre fixe. En laissant de côté, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, le terme C(,, on est amené à étudier l'expression 7««-ï" = x 7««- Si l'on a

im. v/a,, = /,

n = oo

on auia

hm. V a,jrc" = Ix, n = 00

et, par suite, la série (a) sera convergente pour les valeurs de x moindres que 7 , divergente pour les valeurs de x plus grandes que -, : il y aura doute pour .r = j.

{') Rien n'empùclic clans les raisonnements qui suivent de supposer que quelques uns de ces nombres, en nombre fini ou infini, soient nuls.

l80 INTROin CTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

Ce résultat toutefois, suppose rcxistcncc d'une limite pour y/^

Supposons seulement que la suite dont le n" terme est y/a^ soit bornée en haut et désignons par L la plus grande de ses limites [n° 64). La série (a) est convergente pour les valeurs de x inférieures à 7- , divergente pour les valeurs de .r supérieures à r- •

En elTct, si z est un nombre [)ositif quelconque, on sait que, parmi les nombres de la forme \/a,„ il n'y en a qu'un nombre fini qui soient supérieurs ou égaux à L -i- 3 ; pour les valeurs de n supérieures à un nombre positif y> suffisamment grand, on aura

Si donc on prend .c inférieur à ■ ^, \' n„x" sera, pour les valeurs

de n plus grandes que/), moindre que j- ^ — : << i, et, par suite la

série (a) sera convergente. Si maintenant on suppose seulement

X <^ T-, il sullira de prendre ^ <C. — , pour être assure que

X est moindre que -, — — , la convergence est encore assurée.

Au contraire si s est un nombre positif plus petit que L, il y aura une infinité de nombres de la forme \/a„ qui seront plus grands

que L — £ ; si donc on prend x plus grand que . . , il y aura

une infinité de nombres de la forme \'a„.r" qui seront plus grands que I ; il y aura donc dans la série (a) une infinité de termes plus grands que i ; elle sera divergente. Il en est de même, pourvu que

X soit plus grand que t- . Pour x =z y , on ne sait pas si la série

est convergente ou divergente.

Si L était nul, la série [a] serait convergente pour toutes les

valeurs dex : c'est ce qui arrive pour la série 7 q"^x^'', étudiée

plus haut, lorsque le nombre positif q est plus petit que i.

Si enfin L n'existe pas, c'est-à-dire si l'ensemble des nombres distincts de la forme l^a,i n'est pas borné en haut, le même mode de raisonnement montre que la série (a) est divergente quel que soit

cnAPiTur: m. — niV:i.ES de convergence i8i

le nombre posilif .;•. En elTol si A est un nombre positif quelconque, il y a alors une inlinitc de nombres de la l'orme i'/«„ qui sont plus grands que A, et par suite une infinité de nombres de la forme \^a„x" qui sont i)his ^aaiuls que A./; ; si donc on prend A [)lus grand que - , on voit (pi'il y a dans la série (a) une inlinilé de termes plus grands que i : la série est divergente.

On voit donc qu'à la suite des nombres positifs a^, a,, ..., a,,^ ... est attaché un nombre R qu'on prendra égal à o, dans le cas oîi la suite dont le n" terme est '^a„ n'est pas bornée en haut, (ju'on prendra é^'al à j-quand cette suite admet une plus grande limite dilïercnte de o, qu'on regardera comme infini quand cette plus grande limite est nulle et qui jouit de la propriété suivante : la série a^ -f- a,.c H- ... H- a„x" -+-... est divergente pour x > R et convergente pour X <C R. Naturellement il faut entendre, quand R est infini, que la série est toujours convergente ; quand R est nul, qu'elle n'est convergente pour aucune valeur positive de x.

La détermination précise du nombre R que l'on vient de donner est due à Caucliy (') ; mais son existence apparaît immédiatement en observant que si la série (a) est convergente pour une valeur de x^ elle reste convergente quand on remplace x par un nombre (positif) plus petit, puisque chaque terme est remplacé par un terme plus petit ; de même si elle est divergente pour une valeur de x elle est divergente pour les valeurs plus grandes ; des lors si l'on écarte le cas où la série n'est convergente pour aucune valeur positive de x, et celui où elle est convergente pour toutes les valeurs positives de x, il faut qu'il y ait des valeurs positives de X pour lesquelles elle est convergente, et des valeurs pour lesquelles elle est divergente : soit (E) l'ensemble des premières valeurs, (E') l'ensemble des secondes. Un nombre positif quelconque appartient nécessairement à l'un ou à l'autre ensemble, chaque nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second. Ces deux ensembles définissent un nondjre R qui est la borne supérieure de (E), la borne inférieure de (E'). Toul nombre positif x, plus petit que R a[)[)artient au premier

(i) Elle est restée longtemps oubliée ; M. IIadamari), qui l'a retrouvée de son çôtc, en a montré riniportaticc et en a tiré de nombreuses conséquences.

182 I>TRODUCTION A LA, TIIÉOUIE DES FONCTIONS

ensemble, tout nombre plus grand que R , appartient au second. Pour .1; =r \\, la série est convergente ou divergente suivant que R appartient au premier ou au second ensemble.

129. — Ce raisonnement toutefois ne met pas en évidence, comme le précédent, ce fait que pour une valeur de x supérieure à R, il y a dans la série (a) une infinité de termes plus grands que i . Ce point, dont on va voir l'importance, résulte au contraire d'une remarque très simple due à Abel, qui a montré le premier le caractère des séries qui nous occupent : voici cette remarque. Admettons qu'il y ait un nombre positif X pour lequel l'ensemble des nombres a„X" soit borné en baut ; la série (a) est convergente pour toute valeur positive de x moindre que X ; en effet pour une telle valeur de x, la série

^ ^ X -^ (xj -^ - -^ (x

en convergente ; elle reste convergente, si on multiplie le (n -h i)"" terme par le nombre positif a„X" qui, par hypothèse, est moindre qu'un nombre positif fixe ; or, on reproduit ainsi la série (a).

Le nombre R apparaît alors comme la borne supérieure de l'ensemble des nombres positifs X tels que l'ensemble des nombres a„X" soit borné en haut. Pour une valeur de X supérieure à R, l'ensemble des nombres a„X" n'est pas borné en haut : il y a donc une infinité de termes de la série (a) qui dépassent tel nombre positif que l'on voudra.

Si, maintenant, on ne suppose plus que les nombres a^, a,, a^

a„, ... soient positifs, non plus que x, et si l'on désigne par R le nombre, dont on vient de prouver l'existence, pour la série à termes positifs (ou nuls)

oîi a^, a\j ...,a,i, ..., ic' sous les valeurs absolues de «o- f^i» ••> an, ..., X, on voit de suite que, pour les nombres x tels que l'on ait I 0: I < R, la série

(«) % -^- ayx -^ ... -^ fi„x" -+-,..

est absolument convergente, qu'elle n'est pas convergente absolument ou non) pour les valeurs de x, telles que l'on ait j x | >> R,

CHAiTrni-: m. — nrr^r.F.s de coNVEncENcn i8.'^

pnisf|iril V a alors dans la si'ric (d), uiio inlinitc do termes plus grands que i en valeur absolue. Pour x =^ W la série (a) peut être diverironlo ou convergente (absolument ou non).