La comparaison d'une sc'rio à termes positifs
dont on \ent reconnaître la convergence ou la divergence à une autre série à termes positifs
(") n^ -+- II., -h ... -T- u„ -H ....
dont on connaît le caractère, [)eul se faire en considérant le rapport — de deux termes de même rang.
Un
Supposons que ce rapport reste, à partir d'une certaine valeur de n, compris entre deux nombres positifs (non nuls) a et b (a <C b\. On peut affirmer alors que les deux séries sont, en môme temps, convergentes ou divergentes. Il suffit, pour s'en convaincre, de comparer la série (y) aux deux séries obtenues en multipliant tous les termes de la série (h) soit par a, soit par h ; les termes de la série (y), à partir d'un certain rang sont inférieurs aux termes de la série («) multipliés par b ; si la série (ii) est convergente, la série (v) l'est aussi. Dans ce cas le reste de la série (y) est inférieur au reste de la série (u), multii)lié par b, pourvu qu'on s'arrête à un terme à partir duquel l'hypothèse relative au rapport se trouve vérifiée. Les termes de la série (v) sont supérieurs aux termes de la série (u), multipliés par a : si la série (a) est divergente, il on est de même delà série (y).
On peut encore affirmer la convergence de la série (y) quand la
Vn
série (u) est convergente et que le ra[)port — , à partir d'un certam
Un
rang, reste infi'iieur à un nond)ie fixe, ou la divergence de la série (y) cpiand la série (u) est divergente, et que le ra[)port
— a paitu- d un ccriam rang, reste supérieur a un nouinrc lixe, ''il
positif (non nul j.
(,-es remarques s ap[)liquenl en [)arluuner lorsqua le rapport —
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INTRODUCTION A I.V TIIIi:OUIE IIKS FONCTIONS
a une limite / pour n infini : si / en dilTérent de zéro, et si on désigne par ; un nombre positif pins polit que /, on peut lui faire
correspondre un nom])ro nalurel /^ à partir duquel le rapport —
reste compris entre les deux nombres positifs, non nuls, / — £ et / -t- £ : dans ce cas les deux séries sont convergentes et divergentes en mémo temps ; si l'on a
