H =00 II

on peut affirmer la convergence de la série [v), quand la série (a) est convergente : enfin si l'on a

on peut affirmer la divergence do la série {v) quand la série (ii) est divergente.

Prenons par exemple pour la série ((,') une série dans le if terme soit une fonction rationnelle o (n) de/i. Ce n" terme ne peut tendre vers o, quand ii croît indéfiniment que si le dénominateur de la fraction est de degré supérieur au numérateur : supposons que la différence des deux degrés soit y;. On sait que l'on a

lim. ?^",!

n — 'r, II''

en désignant [)ar A le quotient des coenicients des termes du plus haut degré dans le numérateur et le dénominateur de C/ (n).

On conclut de là que la série dont le n° terme est o (n), série dont les termes finissent par être tous du même signe, est convergente ou divergente en même temps que la série dont le n" terme est n — r ; elle converge si p est plus grand que i, diverge si p est égal à I .

On doit toutefois supposer que le numérateur de o (n) ne s'annule pour aucune valeur entière et positive de n.

En supposant que p soit plus grand que i et en désignant par a,, ., a^, ..., a„, ... dos nombres dont la valeur absolue reste inférieure à un nombre positif fixe, on voit que la série

a,o(i) -h x/f (3) -t ... -h 'J-nO [n) -+- ...

est absolument convergente.

CIIAl'irilF. m. llioGLES DL CONVEIIGENCE l8j

Il Y a lieu de remarquer que, si les termes de la série (v) vont en décroissant, la série (/') ne peut être convergente que si nr„ a pour limite o, quand n croît indéfiniment ('). Pour le voir il reste à démontrer f|uc la série (r) est divergente lorsque ni\, n'a pas de limite poiu- // infini. De la supposition que l'un n'a pas lim ni\ = o,

résulte l'existence dun nombre positif a, tel que l'on ait ni\, > a, pour une valeur convenablement clioisie de n, plus grande que tel nombre positif/) que l'on voudra (n' 53).

Ainsi, partant d'un nombre naturel a tel que l'on ait a v^ >>a. on peut en trouver un ^3 plus grand que a et que tel autre nombre qu'on voudra, pour lequel on aura fiVo >> a, puis un autre y plus grand que .3, et que tel autre nombre qu'on voudra, pour lequel on aura ycy >o, etc. On ne sera jamais arrêté; or la somme des termes consécutifs de la série v qui commencera à i\ et dont le dernier serait t"v i est supérieure (n° 97) à

et par conséquent au produit par a de

or ce dernier nombre peut être supposé aussi grand qu'on le veut : si l'on suppose par exemple ^'5 >> 2 a, y >• 2 jj, . . . , v >• 2 a, cbaque

terme est plus grand que -, et il y a autant de termes qu'on veut. Le fait que les deux séries à termes positifs

OÙ l'on suppose «„ = «, h- «, -i- ... h- ii,„ étaient convergentes ou divergentes en même temps, a été établi au n° 126 (-). On peut

(1) E. liouEi.. — Lei-ons sur les fondions entirres, p. 17.

Il r^ M

(^) La seconde série dans le n" 126, était ^ — ^ ; mais la modification

l86 INTRODUCTION A. h\ THÉOUIE DES FONCTIONS

évidenmienl le rattacher aux propositions précédentes, lorsque la première série, que je désignerai sous le nom de série (u) est convergente; il est clair en elTct que le rapport du n° terme de la

seconde série an n" terme de la série [a) a pour limite -, en désignant par A' la somme de la série [n) ; la seconde série est donc convergente ; au reste, il suffirait de remarquer que les termes de la seconde série sont plus petits que les termes de la première divisés par u, .

Dans le cas où la série (u) est divergente, la divergence de la seconde série apparaît directement comme il suit : puisque les sommes s„, Sn+ i, SnA-2, •■■ vont en augmentant, il est clair que la somme des p termes qui, dans la seconde série, suivent le n", à savoir

est supérieure à

Un ^ 1 H- »» 4- :

or, la première série étant divergente, on peut, lorsque l'on se donne n, choisir/) assez grand pour que — — soit plus petit que tel

Sn 4- l^

nomhre positif que l'on voudra, que - par exemple ; on peut donc trouver dans la seconde série, après un terme quelconque, des termes dont la somme dépasse - , après le dernier de ces termes,

des termes dont la somme dépasse -, etc..

àbel, à qui sont dues ces remarques si simples, a montré en outre, en supposant divergente la série (u), que la série

i-\-7. "+" 14-a "'"■••"'"„ i-fa ~^

oij 7. est nombre positif, est convergente.

est évidemment insinnifiantc, puisque le rapport — " — do deux termes de

même rang a une limite positive, soit que .,\ tende vers une limite, soit que l'on ait lim .Sa :^ -j- ^ •

CIIAPITIŒ III. UÈGLES DE CONVERGENCE 187

Celle proposilion résulte aisénicnl, comme on va le voir, il»-' 'inégalilc

où m désigne un nombre posilif c|nelconqnc et x un nombre positif plus petit quel : celte inégalité sera établie plus lard (n"'133, 188). Elle entraine les suivantes

I I ^^^ I aH„

d'oii l'on conclut

Un ^ I / I I

et celte dernière inégalité met en évidence la convergence de la série proposée.

Si l'on supposait a négatif, il est clair que la série considérée serait divergente, puisque ses termes seraient plus grands que ceux

delà série dont le n" terme est-", série dont on sait qu'elle est

divergente.

En appliquant ces résultats au cas où l'on aurait a„ := i, on retrouve les propositions établies au n° 96. En les appliquant au

cas où l'on aurait iin = • , on voit que la série dont le n" lerme

est ■ I a. a , ou Ion suppose n,s,i

est convergente si a est positif, di\crgenle si a est nul ou négatif; en parlant de la série divergente donc le n' terme est -,', o^i

i:»lTRODUCTION A LA TIIKORIE DES FOXCTIO?{S

pouvra obtenir par le même procédé une série dont le n" terme sera

où 5|, sera la somme des n premiers termes de la première série, et qui convergera si a est positif, qui divergera si a est négatif. Ce procédé peut être continué indéliniment, et les séries successives auxquelles il donne naissance sont précieuses comme types de comparaison ; mais j'aurai plus tard l'occasion de mettre sous une forme plus simple les résultats auxquels il conduit.

131. — Revenons à la comparaison de la série à termes positifs

à la série, à termes aussi positifs

et dont le caractère (de convergence ou de divergence) est supposé connu.

Si la série (u) est convergente et si l'on a, à partir d'un certain rang/),

'^n 4- 1 > "n4- 1 Vn = «;. '

la série (v) est aussi convergente. Si la série («) est divergente et si l'on a, à partir d'un certain rang />,

^» 4- 1 ^ tl,i 4, 1 î'« "^ "« '

la série (y) est aussi divergente.

Ces propositions sont une conséquence immédiate de celles qu'on a établies au début du n" 130, en effet, dans le premier cas, par exemple, on doit avoir, pour n >/>,

i!ii > ^" + 1 > lV i 2 > . . > !J!

et l'inégalité -- < ~ , on le second membre est un nombre fixe.

Un tti,

CHAPiTui: m. — nîcGi.ES de co>'vf.r(;ence 189

siiHit à [utiuver la convergence de la série (v) ; on vtjit aussi que le reste de celte série, quand on la limiloau Uimc t';,, est au [)lus

égal à -- H;,,, en désignant [)ar K,,i. le reste de la série («),

limi'ée au ternie »;, .. ,.

Le raisonnement est le niènic dans le second cas, si ce n'est qu'il n'y a pas lieu de parler du reste.

Si l'on prend pour la série (u) la série

où a est nombre positif, série convergente pour a <:^ i, divergente pour a> I, on obtient les conclusions suivantes.

Si pour n > /) le rapport " J' ' reste constainnient inférieur ou

égal à un nond:)re lixc a, plus petit que i, la série (r) est convergente ; son reste quand on la limite au terme r„ (/i > p) est au plus égal à

"« 4- 1 rt" + ' V„ 4- 1

si, pour n > p, le rapport -'-'-A est constamment supérieur ou égal

à I, la série (r) est divergente. Gela est d'ailleurs évident, puisque, alors, les termes ne diminuent pas quand leur rang augmente.

Cette règle s'applique en particulier quand le rapport -^^-^-

admet, pour n infini, une limite / ; quelque petit que soit le nombre positif £, ce rapport, pour des valeurs suffisamment grandes de n, sera toujours compris entre / — s et/-t-c ; si / est dilîérent de i, on prendra z moindre que la valeur absolue de la différence 1 — /. Lorsque la limite est inférieure à i , les inégalités

qui auront lieu à partir d'un certain rang, montrent que la série (v) est convergente. Si la limite est su{)éricureà i, les inégalités

Vn 4- 1

Vn ^

igo

INTRODUCTION A L.V TIIKORIE DES F0:XCT10>'S

prouvent que la série est divergente. Il y a doute si la limite en i, sauf dans le cas où le rapport est constamment supérieur ou égal à I, auquel cas la divergence est certaine. Si l'on appliquait cette règle à la série

Oq H- Oi œ + ... -+- a„x" + ..

où l'on suppose qiie les coefficients a^, a,, ..,a„, ... sont positifs, ainsi que le nombre x, on serait amené à considérer le rapport

supposons que l'on ait

liin. ^n -- 1 __ j^

on voit que la série (a) est convergente pour les valeurs de x qui sont positives et plus petites que h, divergentes pour les valeurs de X qui sont plus grandes que h ; ces résultats sont conformes à ceux que l'on a obtenus au n" 129 ; mais il faut remarquer que,

ici, le raisonnement suppose l'existence d'une limite pour ""^^ •

Comme la série (a) ne peut pas être à la fois convergente et divergente, pour une même valeur de x, il est clair que si les deux

quantités î'/~, ""^ ^ ont des limites, ces deux limites sont égales.

Il n'est pas bien difficile d'ailleurs de montrer que l'existence de la seconde limite entraîne celle de la première.