Considérons, comme exemples, les séries

, . m m(in — i] .,

où, pour la seconde, m est un nombre quelconque, le rapport du

, , , X , . , m — n -H I (n -f- i)" terme au précèdent est - pour la première, -^ x

CHAl'ITUE III. UKGLES DE CONVERGENCE I f) 1

pour la sccoiulc ; quel que soit x, - a pour liinilc zrro ([uaml n

augmente indéliniment ; le rapport delà valeur absolue tl'iui Icrme delà série (i) à la valeur absolue du terme précédent, a donc aussi pour limite zéro; la série (i) est absolument convergente, quelle que soit la valeur de x. C'est ce ([ue l'on a déjà vu au n" 95 où l'on a donné aussi l'expression du reste. Lorsque «augmente indéfiniment, le rapport des valeurs absolues de deux termes consécutifs de la série (2) a pour limite j j: | et par conséquent, lorsque x est compris entre — i et -h i, la série (2) est absolument convergente ; lorsque la valeur absolue de x est supérieure à un. la série est divergente, puisque les termes ne tendent pas vers zéro, sauf toutelois quand m est un nombre entier positif, car alors la série est limitée ; lorsque l'on ax = ± i, la série est divergente si m -h I est négatif ou nul, il y a doute si m -t- i est positif.

Une règle que l'on va donner tout à l'iieure montre que dans ce cas(x' = d= I, w -H I > o) la série est absolument convergente si m est positif, divergente si m est négatif et six est égal à — i ; enfin la règle du n° 137 permettra de reconnaître que dans le cas où l'on a a;= I, o >- m >■ i, la série est convergente sans l'être absolument.

On verra plus tard que la somme de cette série, quand elle est convergente, est égale h {i -t- x)'".

133. — En admettant celte dernière proposition, on voit que, si l'on remplace x par — ,/■ et m par — m dans l'égalité

clle devient

m(m — i) , mdn — i^ (m — 2) ,

■' X^ H rj X^

. m m (m -ht) ., m(in -4- i) (m H- 1) ,

II X)-'"=il H X-\ ^ X

en supposant x et m positifs, tous les termes de la série qui figurent au second nombre sont positifs, il est clair que l'on a bien

]> I -h inx.

INTUOIH'CTION A LA TIllCOUIE Di:s lONCTIONS

quand /// est posilif et que x est compris entre o et i, ainsi qu'on l'a dit au n" 131. La même proposition fournit une autre relation du même genre, dont je vais avoir besoin : elle se rapporte au cas où X est très petit en valeur absolue.

Si on limite la série (2) au second terme, on voit que son reste sera de la l'orme A.c^ en désignant par A la somme de la série

m{m — i"! m (m — i)('« — 2) m {in — i)(»i — 2) (m — 3) ,

convergente, comme la proposée, si l'on a ] x | << i ; en supposant 1 x I <C <i <! I et en désignant par p, la valeur absolue de m, il est clair que A sera moindre en valeur absolue que la somme 13 de la série

Kt^+ i)(ta + 2) ([^+3) ^^, I. 2. 3. 4

puisque, pour obtenir la série B, on a remplacé chaque terme de la série A par un terme positif, plus grand en valeur absolue. On peut donc poser

(i -*- ce)'" = I -h mx H- kx'^,

en étant certain que si x est moindre en valeur absolue que a, la quantité A, qui dépend de x, sera moindre en valeur absolue que B.

On peut encore écrire

en désignant par ^j = m h- kx, un nombre dont on sait qu'il est aussi voisin de m qu'on le veut, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue. C'est la relation que je voulais établir.

134. — On a vu que l'application à la série à termes positifs

du critère fourni par la limite du rapport " ^ ^ laissait un doute

quand cette limite était i et que le rapport finissait par être toujours inférieur à i.

CIIAl'lTUt; m. ULGLES DE CONVEUGENCE Iq3

Il est aK»rs natiuel de comparer la série (r) à une autre série ù termes positifs

où la même circonstance se présente^ et dont on sache si elle est convergente ou divergente.

Prenons, par exemple, pour la série (u) la série dont le n" terme

est —, en désignant par /' un nombre positif. On a alors

en désignant par a„ un nombre dont on sait, par le numéro précédent, qu'il est aussi voisin de r que l'on veut, pourvu que n soit

assez grand.

En mettant le rapport ' sous la forme analogue

on est conduit à la règle suivante.

Si, pour les valeurs de n suffisamment grandes jS,, reste plus grand qu'un nombre h plus grand que i, la série (f) est convergente, si au contraire, pour les valeurs de n suffisamment grandes ,'5„ reste plus pelil que i, la série (r) est divergente.

Je me borne au premier cas. On choisira r compris entre i et /< ; la série (u) est convergente ; puisque 7.,, est aussi voisin de /' qu'on le veut, a„, pour des valeurs sulhsamment grandes de n, est compris aussi entre i ci h, en sorte que l'on a jj,, >> y.„ et par suite

Vn+l ^ }l

la série {v) est convergente comme la série {u).

Cette règle est connue sous le nom de Raabe el Duhamel ; elle

Tavxert I — lotrodactioD k la tliéorie des fonctions 13

igi

INTnODUCTlON A L.\ THEOUIE DES FO^iCTIONS

s'applique en particulier lorsque fz,, a, pour n infini, une limite di lié renie de i.

135. — Restant toujours dans le cas où l'on a pour les séries (ii), (r).

lim i'" -^-i ; lini. 'J'i^ti =: j

en sorte qu'on puisse poser

H^-ti =-. I ll„

Vn+l

avec les conditions lim. -a = lim. r,,, = o, je vais montrer que les

n = ao n = X

deux séries (u), (i') sont convergentes ou divergentes en même temps, lorsque la série dont le n® terme est c« — "/;« est absolument convergente.

En effet, les égalités (i) donnent

d'où

La quantité ' ^" ayante pour limite finit, a partir dune cer-

taine valeur de /?, par devenir moindre que i en valeur absolue; rien n'empêche de supposer qu'il en est toujours ainsi, puisque, dans l'étude de la convergence d'une série, on peut faire commencer celte série au terme que l'on veut. Dès lors la théorie des produits infinis montre que le second membre, a pour n infini, une limite

différente de o, si la série ^ " est absolument convergente;

le caractère de cette série est le même que celui de la série ^ {in — ■/;«) puisquele rapport de deux termes correspondants, dans

les deux séries, a pour limite l'unité. Si la série ^ Jî

r,„ I est

convergente, le rapport " a, pour n infmi, une limite, différente