CHAPITRE III. nivGLES DE CONVERGENCE

de o. Les deux séries {u), (/-) sont en même temps convergentes

ou divergentes.

Ceci pose, prenons comme tout à l'heure, pour la série (u), la série dont le terme général est n~' ; on aura alors

n„ \ 11/ n II'

A„ étant un nombre qui, comme on l'a vu au n" 133, reste inférieur en valeur absolue à un nombre fixe. La série ^ ' est par

conséquent absolument convergente, comme la série ^ ii~^. On est maintenant en mesure d'établir le théorème suivant :

Si l'on [leut mettre, dans la série (r), le rapport d'un terme au précédent sous la l'orme

/'étant un nombre fixe et ^„ une quantité telle que la série ^ lOn] soit convergente, la série {r) est convergente si l'on a r >> i , divergente si l'on a /• ^ i (^).

En effet, il est clair que la série ^ ?« — '-" est alors convergente : par conséquent les deux séries (ttj, (r) ont le même caractère. C'est ce qui arrive en particulier si l'on peut poser o„ = —^ ,

.s étant un nombre fixe plus grand que i et B„ un nombre qui reste en valeur absolue, pour toutes les valeurs de n, inférieur à un nombre positif fixe.

En vertu de l'hypothèse faite sur le rapport -^^-; — , ce rapport

finit nécessairement par être positif; tous les termes de la série (i') finissent par avoir le même signe, et il est inutile de spécifiei- que cette série est une série à termes positifs.

(•) Le lecteur pourra comparer cette règle à celle de Raahe : dans dos cas assez larges, mais non Icjiijonrs, les denx règles sdhI c([iiivalcnlcs. On j)cut appliquer le mémo mode de raisonnement, en cni[)lovant comme terme de coniparaisf)n des séries plus lenlemcnl convergentes que la série ^ "~ , par exemj)Ic la

série dont le n' terme est

1()G INTROniCTION A LA TllÉOniE DES FONCTIONS

En vorlii tic la supposilion iclalivc au rapport " ^' ' , on a

.v=..ni-,i-?")"ri(-;,)xn '";':

le produit infini

est absolument convergent, à cause de la convergence de la série /, I On I ^ le produit

augmente indéfiniment avec/), reste égal à i, ou tond vers o, suivant que r est négatif, nul, ou positif : on voit que, p croissant indénuiment. v,, croit indéfininicnl. tend vers une limite différente de o, ou tend vers o suivant que /• est négatif, nul, ou positif. La règle précédente s'applique en particulier dans le cas où le

rapport " ^" ' peut se mettre sous la forme d'une fraction rationnelle

n'' -f- A,/i''-' -+- \./i!' — - -4- ... /('' -+- ti^ Ai''~"' -t- n,jii' "~ - -H ...

ou le degré /> et les coefiicients A,, A^, ..., a,, a^, ..., sont indépendants de n ; on voit de suite, en elTecluantla division du numérateur par le dénominateur et en calculant deux termes au quotient, que l'on peut prendre r = a^ — Ai et que la série proposée est

qui, comme on le verra plus tare!, est coiivcrgenle ou divergente dans les mêmes conditions que la série ^ n , ou encore des séries analogues. Celle que je viens de dire conduit à h régie suivante : si l'on peut poser

"-^^=1-- ('■ +1— ) +P"' y„ Il \ log II I '^

le nombre ;• élant fixe et la série ^ | p„ | convergente, la série (i') en convergente quand ;■ est plus grand 'que i, divergente quand r est égal ou inférieur