CHAPITRE m. UKGLES DE CO.NVEUGENCE IQ

convergente si l'on a

divergente dans les autres cas. Celte règle est due à Gauss.

Appliquons la, comme Gauss l'a fait lui-même, à la série //y/)erijcoinétritjuc :

où a, j3. y désignent des nombres qui ne sont pas des entiers négatifs; le rapport du (n -f- 2)" terme au (n 4- i)* est

pour n infini, il a x pour limite ; on en conclut que la série proposée est absolument convergente lorsque l'on a | x | < i ; on désigne habituellement la somme de cette série par le symbole

Si l'on suppose maintenant x ^= dz i, l'application de la règle précédente conduit aux résultats que voici :

Suivant que le 'nombre a -4- j > — 7 — i est positif, nul, ou négatif, les valeurs absolues des termes de la série augmentent indéfiniment, tendent \ers une limite différente de o, ou tendent vers o. La série est absolument convergente si l'on a a -1- j'5 — y << o et seulement dans ce cas. Si a -i- j ^ — y est positif mais plus petit que I , la série ne peut être convergente si ses termes finissent par être toujours do même signe ; elle n'est donc pas convergente pour :c = I, puisque, alors, le rapport d'un terme au précédent, finit par être positif. Pour x = — i, les termes finissent par être alternativement positifs ou négatifs, d'autre part ils tendent vers o et finissent par décroître constamment, comme il est aisé de le voir : on verra au n" 137 que, dans ces conditions, la série est convergente.

Je me bornerai à remarquer sur la série F (a, |'5, y, x), qui a été l'objet d'un grand nombre de beaux travaux, qu'elle se réduit à un polynôme en x quand l'un des nombres a, ^ est un entier

I gS INTRODrCTIOX A LA. TIIÉOUIE DES FONCTIONS

négatif, et qu'elle se réduit à la série déjà considérée

m »i (m — 1 „ ni 111 — i "> . . . (m — n -h- \

I l. A l . -2 ... Il

lorsqu'on y suppose ^^ = y = — m. el qu'on y remplace .r par — x.

136. — Prenons pour la série («) qui sert de terme de comparaison, la série

OÙ l'on suppose f-j,, positif, et dont on a démontré au n" 126 qu'elle était toujours convergente. La série à termes positifs

sera convergente si l'on a, à partir d'un certain rang,

OU, en remplaçant pour plus de simplicité f^,, par y- et en supposant ).„ >> G, si l'on a

ainsi, il suffit pour pouvoir affirmer la convergence de la série à termes positifs (v) de savoir qu'il existe une suite de nombres positifs À,, /..2,..., /«,••• tels que l'inégalité (i) soit vérifiée pour toutes les valeurs de n qui dépassent une certaine limite.

La démonstration directe de cette règle {') est immédiate, car en supposant l'inégalité précédente vraie à partir de /i == i , en l'écrivant sous la forme

en y remplaçant n par i, 2, 3... et en ajoutant, on trouve de suite

l'a + Ug -+-... -f- i'„ + i ^ Ài t'i — À„ + 1 v„ + 1 < Xj j'j.

(i) Elle est (lue à Klmmer : elle a été complétée par M. Jense.v.

ciiAi'iTui: III. — iu:gles df, convergence 199

K('ci|»ro(niemenl, ï^l la sôric (r) est convcifrcnlc, si Ton désigne par .v„ la somme de ses 11 jticmiers lermes, cl par A un nombre supérieur ou étral à sa somme, il suflira de prendre (n" 126;

pour avoir

n + 1 'ji

Vn I H- >-

car cette égalité se réduit à s,,.. , — s„ = r„ ^ ; au reste, on reconnait sans peine que Ion aura, d'une faron plus générale,

Jn + i - A.:

si l'on prend

en désignant par £,, î.,,... î,,,... une suite de nombres positifs décroissants, d'ailleurs quelconques. En supposant A égal à la somme de la série proposée, on voit (n" 126) que la série dont le n"

ternie est y est divergente.

L'existence des nombres /.,, ).,,..., l,,,... est ainsi une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la série (i').

En prenant tous les À égaux entre eux, on voit que la série (v) est convergente si l'on peut déterminer un nombre positif), tel que l'on ait, ù partir d'un certain rang

c'est la règle du n'' 131. Si l'on prend '/.,^ = <-, on voit que la

série (ri est convergente si l'on peut déterminer un nombre positif). tel que l'on ait, à partir d'un certain rang

*--Ji <

c'est la règle de Raabe, etc.

Il est clair que si la série formée avec les inverses des nombres positifs).,, 1,, ..., In, ... est divergente et si l'on a à partir d'un certain rang

Vn — >',! --

la série {v) est divergente. Réciproquement si l'on se donno une série divergente (v) à termes positifs, on peut trouver une suite de nombres positifs ).,, /^, ..., ).,i, ... qui vérifient celte inégalité, et dont les inverses forment une série divergente :

Il suffira de prendre /„ = - , en désignant par s„ la somme des

n premiers termes de la série (r). En prenant, par exemple }.„ := n, on obtiendra la règle de Raabe, relative aux séries divergentes.

137. — Relativement aux séries qui sont convergentes sans l'être absolument, je me bornerai à établir quelques propositions, dont la première concerne les séries à termes alternativement positifs et négatifs.

Une série à termes alternativement positifs et négatifs est convergente si la valeur absolue de cliaque terme est plus petite que la valeur absolue des termes précédents et si, en outre, les termes décroissent indéfiniment en valeur absolue quand leur rang s'éloigne indéfiniment.

Cette proposition repose sur le lemme que voici :

Si n, h, c, .... j, k, l sont des nombres positifs rangés par ordre de grandeur décroissante, la quantité

a — h -\- c — . . . ± j zp /i- dz /,

où les signes vont en alternant, est positive : on peut en effet l'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes

(« fc) ^ (c — ,/) -I- ... + (/ A) ^ (0,

suivant que le nombre des quantités a, ..., l est pair ou impair. Soit maintenant