CHAPITRE III. nfcfïLKS I1E CONVERGENCE 3()l

la série proposée, où tous les nombres u sont positifs et où l'un suppose (')

"i > "2 > "3 > ••• > "" > •••• liin. H„ = o.

Désignons par s„ la somme des n premiers termes «1 — ^^ -+-... ± u„. Le lemme précédent donne immédiatement les inégalités

Les deux premières ont lieu quels cpie soient les nombres n, /), y; les deux dernières supposent »/>>/): il suffît, pour vérifier ces inégalités, de former les dilTérences 5^,, ^.i — s.,,^, (ou %^ — ■^j/M-O ^2./ — ^>,., ^iq ^1 — ^xp + i- Les sommes à indices pairs

vont en croissant ; elles restent inférieures à une somme quelconque d'indice impair ^.,^i; elles tendent donc, lorsque leur indice augmente indéfiniment, vers une limite A, pour laquelle on a, quels que soient p ci q,

Si,, < A < Sj,^ + 1 ;

les sommes à indices impairs

Sj, s. 2, S--, ..., S2p j. t,

vont en décroissant et restent supérieures à une somme quelconque d'indice pair 5j,;; elles tendent donc vers une limite B, pour laquelle on a, quels que soient p et (j,

La condition lim. u„ = o, qui n'est pas encore intervenue, condult à la conclusion A = 13 ; en effet ces deux nombres sont

(') Les conclusions csscnliellcs suljsislcnt quand on ne suppose pas que le signe > exclut l'égalilc.