J02 INTUOULGTION A L.V THÉORIE DES FONCTIONS

compris entre s,j, et .<o,, .,. ,, dont la différence ii>,, . i peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

Ainsi la série (L) est convergente : sa somme est plus grande qu'une somme quelconque s.,i, à indice pair, plus petite qu'une somme quelconque 5^,^^, à indice impair. En prenant pour la somme de la série la somme des n premiers termes, on commet une erreur en plus ou en moins, selon que le premier terme négligé est négatif ou positif et qui est moindre en valeur absolue que ce premier terme négligé, puiscpie la somme de la série est comprise entre la somme des n premiers et celle des n + i premiers termes.

On aurait pu aussi établir la convergence de la série L en appliquant le caractère général du n*^ 94 ; la somme des m termes qui sui\cnl le n° est en effet

la quantité entre parentlièses est positive, en vertu du Icmme, elle est moindre que «„^i, puisqu'on peut l'écrire

Un + 1 ("« -r 2 — «n -f- 3 "^ • • • -h "

et que, dans cette dernière expression, la quantité entre parenthèses est positive en vertu du même lemme ; la valeur absolue de la somme des m termes est donc moindre que 11,, + i, et cela quel que soit m ; comme on peut, quel que soit le nombre positif s, prendre n assez grand pour que l'on ait

la convergence est démontrée.

Par exemple la série

2 6 Ll

est convergente sans l'être absolument. C'est une de ces séries dont la somme dépend de l'ordre dans lequel les termes sont écrits.

Voici un exemple de ce fait dont la raison a été donnée au n" 116. Si l'on pose

, I II l

ciiAPiTiiE m. — uLgles de convergence 20."^

on établira sans peine l'identité

en faisant croître n indéfiniment, on voit que le premier membre a pour limite la moitié de la sonmie de la série proposée ; c'est dire (pie cette somme est double de la sonnnc de la série suivante, dont la convergence s'établit sans peine.

2 li 6 i

Il est clair qu'une série appartenant au type qu'on a défini dans ce paragraplie peut être absolument convergente, telle serait la

série