III I
que l'on obtient en faisant j; = — i dans la série déjà signalée
La règle qu'on vient d'établir a été invoquée d'avance aux n" 132, 135.
138. — D'autres propositions, d'une nature un peu plus cachée^ se déduisent d'un lemme du à Abel ^'), et que j'énoncerai après avoir fait la remarque presque évidente que voici :
Soit
A,.ri 4- \,x.^ H- ... -H A„.r„
une fonction linéaire des variables a;,, x^, ..., Xn, dans laquelle les coefficients A,, A^, ..., A„ sont positifs ou nuls; si l'on considère deux systèmes de valeurs des variables x,, x^, ..., x„ d'une part, x\, X.,, ..., x'„àQ l'autre, tels que l'on ait x- '^ x pour les valeurs 1,2, ..., n de l'indice /, on a
,,. , , , , . m mm — i) , m(m — i) fm — 3' •. , (M ncchcrches sur la s<ric i + -^H ^- H ;: — î a;'+...
[Œuvres, a« édit., \k 222).
'204 IMUODLCTION À. LA THÉORIE DKS FONCTIONS
en clTcl la dilTcrcncc entre les deux membres, à savoir
A,(.r; — .r,) -^ A,(.r; — .rj -+- ... + \„{x'„ — .r„),
osl évidemment positive ou nulle.
Voici maintenant en quoi consiste le lemme d'Abel : Soient r,, r^, .... r„ des nombres positifs ou négatifs, a un nombre au plus égal au plus petit, A un nombre au moins égal au plus grand des nombres
s, = (',, s, = l-j H- y^, ..., s„z=zv^ '\- V^-\- ... -^ Vn,
soient enfin £,, £^, ..., ;„, n nombres positifs rangés par ordre de grandeur décroissante, on aura
£,« ^ t^v^ -h Eji'^ -t- ... 4- e„)'„ ^ e^A; en effet la quantité intermédiaire peut s'écrire
les coefficients £, — £2' =2 — îs- •••' ="— 1 — 2», ..-, £„ étant positifs, on ne peut que diminuer le second membre de l'égalité précédente en y remplaçant 5,, s.2, ..., s,i par a, on ne peut que l'augmenter en y remplaçant les mêmes quantités par A ; or on trouve ainsi £// d'une part, CjA de l'autre; la proposition est donc démontrée.
Il résulte de là que si on désigne par K un nombre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs absolues des nombres s,. Si, ..., s,„ on aura
— E,K^ £jt', -h £^1-2 -h ... H- h,V>, S '1^-'
OU, si l'on veut,
139. — Voici maintenant deux conséquences de ce lemme (') : I. Soit
(u) Wj -t- l'i -i- ... + i'„ -r ...
(') Voir le Mémoire de M. Dariîolx sur les fonctions discontinues. Annales de rEcolc normale, 2^ série, t. IV, j). 87.
CUAl'ITUi: m. UEGLES UE CONVEKGEN'CE 20J
une série convergente, soit
une suite infinie de nombres [jositifs tels que cliacun soit inférieur ou égal à celui qui le précède, la série
{V') £,1-, + £,l'i H- ... -f- t„Vn -^ ...
est convergente.
En elTet. à cause de la convergence de la série (/"), à chaque nombre positif a correspond un entier positif n tel que l'on ail, quel que soit p,
I i'„ ^ 1 H- y„ -,- o -h ... + u,. • y 1 < a, et, par suite, à cause du lemnie,
comme a est arbitraire, la convergence de la série (/-') est dénidiitrée.
On voit, par exemple, en conservant aux i la signification précédente, que la série
est convergente.
