II. Soit

une série convergente ou divergente, mais dans laquelle la ^omme des n premiers termes reste toujours, quelque soit n, inférieure en valeur absolue au nombre positif /^z, soit en outre

une suite infinie de nombres positifs tels que chacun d'eux soit égal ou inférieur à celui qui le précède, tels en outre que l'on ait

lim. t„ = G,

20G INTRODUCTION A LA. THÉOniE DES FONCTIONS

la série

<l'') e, «•, -+- Eji'i -h ..• + £«?•„ + ...

est convergente.

On a en ofîct, quels que soit n et /),

1 V„ ^ 1 -+- V„ -f o -h ... H- l'„ .. ^J < 2 rt

€t, en vertu du lemme,

II,, , i'„ -^ 1 -H E« 4- 2 1'/, + 2 -+- ... -h £„ + ,, v„ j,,\ < 2î„ , 1 a ; or, à cause de la supposition lim. z„ = o, on peut supposer n assez

n = co

^rand pour que r? c„i. i a soit plus petit que tel nombre positif que l'on voudra. La convergence de la série ^\) est donc démontrée.

Le théorème du n" 137 n'est qu'un cas particulier de celui-ci ; il suffit pour s'en convaincre de remplacer les quantités s,, s,,..., ])ar les quantités »,, ii.^,... et de prendre pour la série [v) la série divergente

dans laquelle la somme des n premiers termes est o ou i .

Considérons encore, en attribuant toujours le même sens aux nombres £<,, î,, ..., £«, ... la série

£y cos « + ^1 cos [a -\- x) •+- ... -h £„ cos (rt -+- ni-) -h ...,

où a et X sont des nombres quelconques, dont le second, toutefois, n'est pas un multiple de -. La convergence de cette série résulte de

la formule

. /i H- I / nx\ sin j- cos an

/■ \ r ^ 2 \ 2 / cos rt -H cos (a H- a-) H- ... -h cos (a -i- nx) =: ■ -^^ -^

sin ^

et de ce que le second membre reste, en valeur absolue, moindre

que