V. — FRAC:TiO>S GO.MJ.MES

140. — On a étiKllé, dans le Chapitre premier, les fntctions; continues de la l'orme

ou a,j, ai, a,, ... étaient des nombres entiers positifs, à partir de (II. Rien n'empêche de considérer des expressions analogues, où la suite des quantités a^, a,, ..., ^/„, ... est quelconque. Je me bornerai toutefois, sur les expressions de cette nature, à des remarques très élémentaires.

Les formules du n" 34, en particulier, ont été établies sans faire aucune hypothèse sur les quantités a^, aj, ..., «« :

Posons comme alors

Po = «0-

Pi = «0^1

^„ = Vn-in„^V,

Qo=i.

On aura

La n" réduile, c'est-à-dire la valeur de la fraction continue limitée

P„ à (i„ sera ^^ ^t l'on aura

Un *• (),.<). ().<), ^ ^ ()„ .(>„

en sorte que, si l'on écarte le cas où l'une des quantités Q„ serait

nulle, la question de savoir si la quantité r-p tend vers une limite

revient à reconnaître la convergence ou la divern^ence de la série

208 OTRODICTION A LA TIlÉOUlt: DES FONCTIONS

qu'il est assez naturel d'appeler série équivalente à la fraction continue illimitée.

On dira que cette fraction continue est convergente ou diver- •rente suivant que la série équivalente est convergente ou divergente.

141. — Il est bien aisé de voir que si la série ^ '/„ est absolument convergente, la série équivalente à la fraction continue illimitée est divergente. On va voir en elTet que, dans ces conditions, Qjh et Qm -,- 1 ont des limites pour ii infini.

Supposons d'abord que les quantités a,, a.^, ..., a,,, ... soient toutes positives; il en sera évidemment de même des quantités Qo, Qn ••• Q'" ••• • or 6n se représentant Q„ sous la forme d'un polynôme en Oj, a^, ..., an, on voit de suite que l'on a

si la sériera,, est convergente, il en est de même du produit

infini TT(^i -+- an)', on voit déjà que Q„ reste inférieur à un

nombre positif fixe.

D'ailleurs légalité Q„ = Q;,i a„ -+- Qn~2, montre que l'on a Qn > Qn-i et, par suite

(0 Qo ^ Q. < ^l. < •••' Qi < Qa < ••• Q. < ••• ;

Qin, d'une part et Qm ~ i de l'autre, ont donc des limite? pour n infini. Ces limites sont, en général, différentes, mais je ne m'arrête pas sur ce point.

Si les quantités a,, a.,, ..., a„, ... ne sont pas toutes positives, soit en général a„ = j a„ | et désignons par P„ , Qi, les quantités formées avec a , a,, a!,, ... comme P„, Q„ sont formés avec «0» ^^i> ^2, ... : Qn considéré comme un polynôme en a^, a^, a.,, ... est une somme de monômes ayant tous des coefficients égaux à i ; d'ailleurs l'égalité Q« + 2 = Qn + i «n+ i -i- Qn montre que tous les monômes qui figurent dans Q„ figurent dans Qn + 2, par conséquent dans Qn^t, ... dans Qn^^-ip : si l'on fiùt la différence

CHAPITUE III. lUACTIO>S CONTINUES

Qn + ip — Q" '' "^ rcslcia encore qu'une somme de monômes, dont la valeur absolue ne pourra qu'augmenter quand on remplacera les variables a^, a,, d.^, ... par leurs valeurs absolues ; on aura donc

IQ..-.,-Q„|<Qi,^., -0;,

On peut prendre n assez grand pour que le second membre soit aussi petit qu'on le veut, quel que soit /). Il résulte de là que Q„ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment par valeurs paires, ou bien par valeurs impaires (n" 56), ici encore ces limites sont dilïércntcs. Quoi qu'il en soit, la di\ergcnce de la série équivalente à la fraction continue est assurée.

Si les quantités aj, a^, ...,a„, ... sont toutes positives, et si la série ^ a„ est divergente, la série (i) et la Traction continue convergent.

Dans ce cas les quantités Q^, Q,, Q^, ... sont positives et vérifient les inégalités (i).

La série équivalente à la fraction continue est alternée, et 11 suffit pour prouver sa convergence, de montrer que les valeurs absolues de ses termes vont en diminuant, c'est-à-dire de prouver que l'on a

QnQ.-i Q,.-iQ„-/

ou Q„ >> Q„ 2, et que le n" lerme a pour limite o (n° 137). Les inégalités (i) montrent que les quantités Q,„ d'une part, les quantités Q2.. 4- 1 tle l'autre augmentent indéfiniment ou tendent vers une limite ; mais il ne peut pas arriver que ()>>, et Qm + 1 tendent à la fois vers une limite : en efl'et, la série ^ a„ étant divergente, il en est de même de l'une au moins des deux séries

de la seconde par exemple. Or les relations

Q.n -Qo^ (Q. - Qo) + Q4 - Q.) -^ - + (Q,, - o,„,) >Q, K -t-'^i -+- ••• -H o,„)

Ta:«nei>t I. — înlroiluilion i la lliéoiie de? fonctions 14

montrent, puisque clans le dernier membre, le coefficient de Q, peut cire supposé aussi grand qu'on le veut, que Q.>„ ne peut tendre vers une limite. 8i même Q..„4i avait une limite pour n infini, comme celle limite ne pourrait être nulle, on n'en aurait pas moins

lim. L

n = ce (Jj„ (^21, + l

et cela suffit pour la convergence de la série (i).

Ainsi, dans le cas où a^ , a.^, ..., a,„ . . . sont tous positifs ; la divergence de la série >^fl„ est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la fraction continue.

142. — On peut considérer, d'une façon plus générale, les fractions continues telles que

où Qq, ûi, ..., a„, ..., d'une part, b^, />.,. ..., b„, ..., d'autre part, forment deux suites quelconques.

Je me bornerai, pour ces fractions continues, à quelques remarques qui ne touchent guère que la forme.

En conservant le nom de réduite à la fraction continue limitée / p

au terme — , et en désignant cette fraction par — ^, on peut poser

'?;jj 2„ peuvent être regardés comme des polynômes formés avec les

variables a^, a, a„ ; 6,, 60, ..., 6„. J,, et 2„ ont un sens quelles

que soient les valeurs numériques attribuées à ces variables, en

sorte que la fraction — a un sens, pourvu que 2„ ne soit pas nul. (Il

n'en serait pas de même de la n" réduite, définie comme une fraction continue limitée, si a„ était nul).

Si l'on désigne par '£„,,■, 2„„. les polynômes formés au moyen des variables

CHAPITUE III. FUACTIONS CONTINUES 211

comme les polynômes :£,-, '^r sont formés au moyen des variables rto, a,. ..., rtr cl bu, l>i, ..., b,, on a ,

■^ n t- r ^ n — 1 ^ n.y '~t~ -*,j •* ^ii,v ^tif

La iVaction continue illimitée est dllc convergente ou divergente

suivant que - a, ou non. une limite pour n inlnu.

Les dernières relations montrent que si bn est nul, toutes les réduites sont égales, à partir de la (n — i)" ; c'est d'ailleurs ce qui apparait sur la fraction continue illimitée, qui dans ce cas doit être ref^-^ardéc comme limitée : j'exclurai ce cas dans ce qui suit.

On a, quel que soit le nombre naturel n,

i-e„'i«i — :£•;.- r«>„ = (— ^r-'bjj,, .... 6„;

le premier membre n'est jamais nul, puisqu'on suppose qu'aucun des nombres bn n'est nul.

On a aussi, en excluant le cas oiî quelqu'une des quantités 2,, Qj, . • • serait nulle,

143. — La fraction continue est convergente ou divergente suivant (]ue la série

«0 -i-rrT "^ ••• ^ <^~ ^^ "H 7> ^ "'

est convergente ou divergente. C'est maintenant cette série qu'il convient d'appeler série équivalente à la fraction continue : sa somme, si elle est convergente, est la valeur de la fraction continue illimitée.

L'égalité

lorsqu'on y regarde n comme fixe et qu'on fait grandir /• indélini-

nient, montre que. si cT" admet, pour r infini, une limite An, la

fraction rr~^ admet, pour r infini, la limite :f,.-iA„ -\- ^.£„-.,b„.

On doit toutefois exclure le cas où le dénominateur de cette fraction serait nul, cas auquel on aurait

Réciproquement, la relation entre ',^""""'" et ^y— pouvant être résolue par rapport à cette dernière quantité, on voit que, si la fraction continue est convergente, la quantité j~ a une limite

pour r infini, sauf le cas où l'on aurait

en désignant par A la limite, pour r infini, de q^^-^^'

144. — Lorsque les nombres 6,, b.,, ... sont tous égaux à d= i et que les nombres a^, a.^, ... sont tous, en valeur absolue, supérieurs ou égaux à 2, la fraction continue est convergente (').

Posons en eflet

lfl„l = 2-4-a,„ |0„l=o;,;

(') M. Pringsheim, clans un Mémoire sur la convergence des fractions continues (Sitzungsberichte de lAcadémie des Sciences de Munich, t. XXVIII, p. 2o5), donne pour le même cas | 6„ | = i, une rùgleun peu plus large. Il suffit, pour que la fraction soit convergente, que Ton ait, pour toutes les valeurs de l'indice n,

Au reste, divers résultats du présent paragraphe sur les fractions continues, en particulier la proposition du n" 145, sont tirés du Mémoire de M. Pringsheim.