V> INTUOnrCTION A LA TIIKORIE PES FONCTIONS

loi que la fonction f{:r) soit bornrc dans l'ensemble des valeuis de X qui appartiennent à (X) et à l'intervalle [a — A, a -H A), je vais montrer qu'il existe un ou plusieurs nombres />■, jouissant de la propriété suivante : quelque petits que soient les nombres positifs a, jj il y a des nombres x appartenant à (X) tels que l'on ait à la fois

en sorte que, pour les valeurs de x appartenant à (X) et très voisines de a, les valeurs de f{x) se serrent en quelque sorte autour de l'un ou de l'autre des nombres k, avec lesquels d'ailleurs elles peuvent coïncider : l'ensemble des nombres k, s'il est infini, est clos.

Soit £ une variable positive, inférieure ou égale à A, la fonction /(x) est déterminée et bornée dans l'ensemble (X;) des valeurs de x qui appartiennent à la fois à (X) et à l'intervalle (a — c, a + £), dont le point a est le centre; désignons par 8 (i) l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend dans cet ensemble (Xe), par L (c), l{î) les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble 8(c). On reconnaît de suite que les ensembles 8 (s), définis pour les valeurs positives de i qui sont inférieures ou égales à A, satisfont aux conditions du n" 156. Il existe donc un ensemble g(o) de nombres dont cbacun est un point commun à tous les ensembles i',{i), ou bien un point d'accumulation pour chacun de ces ensembles : les bornes inférieure et supérieure L et / des fonctions L (c), / [i) définies dans l'ensemble des valeurs de i qui vérifient les conditions A ^ î >> G appartiennent à cet ensemble 8(o), dont elles sont les bornes supérieure et inférieure.

Soit k un élément de cet ensemble ; dans tout intervalle (a — i, a -T- i), si petit que soit le nombre positif i, il y a une valeur de x appartenant à (X), pour laquelle la valeur def(x) diffère aussi peu qu'on le veut de k ; d'une façon plus précise, si l'on se donne deux nombres positifs a, jS aussi petits qu'on le veut, 1 existe un nombre x pour lequel on a à la fois

c'est ce qui arrivera en particulier si a appartient à (X) et si l'on a f{a) = k, puisque, alors, les deux inégalités précédentes sont

CIIAPITUF. IV. DFS rONCTIdNS FN CKNKHAF. v'.Vi

viM'ifiées |)iiiir ./• a. Dans Ions 1rs cas, il y aura iiih^ siiilc inlinie (le nombres ./•,, x,, ..., .'•„, ... tels (jne l'on ail liiii. ./;„ = a,

lim. f{xn) = /»•. Dans l'hypollièse fya) ^^ /.-, on pourra prendre

tous les nombres ./;,. x.^, ..., Xn, ... égaux à a. Lorscpic celle supposilion n'est pas vraie, il n'est pas difficile de voir qu'on peut supposer tous les nombres Xi, a\,, ..., Xn, ... difîérents entre eux. Quoi quil en soit, si 8(0) contient un autre noMil)re /.' dilTérent de A:, il y aura une autre suite infinie .c'i, ./;., /„, ... appartenant aussi à (\) et telle qu'on ait lim. ./•'„ = a, lini.y(x';,) =^ k' .

Bien entendu, si l'ensemble B(o) contient plus d'un point /.•, on ne peul [)as écrire, au sens du n" 151, iim.y"(j;) = k.

Au reste, il est clair (pu; les éléments de l'ensemble t',(()) sont seuls à jouir des propriétés qu'on vient de spécifier, ])uis(pic si L\ n'appartient pas à l'ensemble 8(0), on peut (n° 156j fixer deux nombres positifs a, fj tels que l'on ait | f(x) — li^ | > fli pour tous les points x de (X) qui sont à une distance de a moindre que a.

En particulier, il y a des points ./;', x" dans (X) aussi rapprochés qu'on le veut de a et tels que la dilTérencey(.T"j — J{^') ^^it aussi voisine qu'on le veut de L — /.

Donc, pour que/(j;) admette ime limite an point d, il faut que l'on ait L = /. Cette condition est d'ailleurs suffisante. Si, en effet, on désigne par a un nombre positif quelconque, on peut lui faire correspondre un nombre positif i' tel que l'on ait à la fois L(î') < L + a, l(z) > / — a ; ces inégalités subsistent en remplaçant L(£') et Hz) par/(.c) si l'on stqipose que x apparliennc à la fois à (X) et à l'intervalle (a — i', a -+- ï) puisque l'on a alors /(:') ^f{x) ^ L(£'). On aura donc, en supposant L z=z l,

SOUS la condition que £c appartienne à (X) et soit à une dislance de a moindre que ï ; cela revient à dire (pie l'on a

lim. /■(.,•) = L.

Lorsque l'on a L = /, l'ensemble 8(0) se réduit évidemment au seul nombre L.

a34 INTRODUCTION A LA, TIIÉOUIE DES FONCTIONS

158. — Quand la fonction f{x), bornée aux environs de a, n'admet pas do liuiilc en ce point, on peut d'après ce qu'on vient de dire, trouver tlans (\) des points x', ,/ " aussi voisins qu'on le voudra de o, tels que la valeur absolue de la dilïérence/(.i"') — f{x") dépasse tel nombre fixe, inférieur à L — /, que l'on voudra : Si donc on ne peut trouver de tels points x', x", c'est que la fonction f{x) admet une limite au point a. En d'autres termes :

Pour que la fonction y(^./;) admette une limite au point d'accumulation a, il faut et il suffit qu'à cbaque nombre positif a corresponde un nombre positif î tel que l'on ait \ /{■''") — /{•''') | < (^'> pourvu que les points x, x" appartiennent à (X) et soient à une distance de a moindre que ;.

Il n'est pas utile de dire dans cet énoncé que la fonction /(.r) doit être bornée aux environs de a ; elle l'est certainement en vertu des conditions imposées, puisque si l'on choisit un couple de nombres correspondants «o, £o' l'<''cart de la fonction f{x), dans l'ensemble des points de (X) qui appartiennent à l'intervalle (rt — cg, a -t- Cy) est au plus égal à (Z^.

La forme de la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f[x) ait une limite au point d'accumulation a est une généralisation manifeste de la condition du n" 56 pour qu'une suite iii, 11.^, , u„, ... ait une limite ; elle peut d'ailleurs se déduire aisément de cette condition, sans passer par l'étude qu'on vient défaire. En effet, tout d'abord, il est clair que la condition imposée pour l'existence d'une limite est nécessaire : si maintenant, on la suppose vérifiée et si l'on désigne par Xi, x.-^, ..., x„, ... une suite de points appartenant à (X) qui ait pour limite le pointa, la suite f{x^), f{x.^, ..., f{x„), ... devra, d'après le n" 56, avoir une limite ; soit b cette limite ; si l'on choisit le nombre naturel p tel que l'on ait | ./■„ — a | <C 3 sous la condition n >/?, on devra avoir |/(x') — f{j'n) \ <C c/., pourvu que x appartienne à (X) et que les conditions n >>/), j x- — a j << = soient vérifiées ; en faisant croître n indéfiniment, on en conclura | f{x) — ^ \ ^ a, sous la condition que x appartienne à (X) et vérifie la condition Ix — a|<; s ; il est clair que b est la limite de/(j;), pour le point a, au sens du n° 151.