POLYNOMES EN X. FONCTIONS n\ I02: x
173. — Remarquons d'abord que l'on peut toujours ramener réludc d'une fonction f{x), aux environs d'une valeur j'„ qui fait partie d'un intervalle où la fonction est définie, inx cas où celle valeur csl nulle ; il suffira pour cela de poser x := x^ -+- /t, de regarder k comme la variable et d'étudier la fonction /^^./'q -i- h) pour les petiles valeurs de cette variable. Je vais rappeler rapidemcnl les résultais que cette mélliodc fournit quand on l'applique aux polynômes en x et aux fondions ralionnellcs ; la continuité de ces fonctions a été établie au n" 170 ; on va retrouver celte propriété et quelques autres.
Quant il s'agit d'étudier un polynôme en x pour les petites valeurs de X, il convient d'écrire ce polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de la variable sous ime forme telle que
cliaque terme, en effet, pour les petites valeurs de x, est petit par rapport à celui qui le précède, en sorte que pour de telles valeurs, on obtient des expressions de plus en plus approcliées pour la valeur du polynôme en prenant un, deux, trois, ... termes; c'est d'ailleurs ce que l'on va préciser tout à l'heure. Observons encore que, si l'on suppose | ./; | < i, la valeur absolue du polynôme sera inférieure ou au plus égale à la sonune des valeurs absolues de ses coelficienls.
cii.vi'iiui: i\ . — roNCiioN i;vi'om:mii i.ll u'o-j
Sii[)[)()sons d'abord que le [)ol ynoiiie .s'annule pour x == o, c'eslà-dirc qu'il manque au commencement certains cocriicicnts ; on récrira, en suj)[»osanl (juc le premier terme (jui ne manque pas soit du degré/) ^ n,
\,,.rl' + A,, 4. i-ri' -'■' + ...-<- A,,./;".
Si l'tjn flésiime [lar .'•' la valeur absolue de ./• et par S la >unuiic des valeurs absolues de A;,, A^^ ,, ..., A„, et si l'on suppose jy-< i, la valeur absolue du polvnome sera au plus égale à S.//'', et cette
valeur absolue sera moindre que i si l'on suppose ./•' <C V ^ ; la con-
linuité du polvnome pour .'• =^ u est évidente. On peut d'ailleurs écrire le polynôme sous la l'orme A^,./;'' [i H- o{xJ], en posant
?(•-) = ^X+^±^ X^ + ... + ^ .cn->' ;
o(x) est encore un polynôme (pii s'annule pour x = o ; pour les valeurs de x moindres en valeur absolue qu'une limite que l'on vient d'apprentlre à fixer, le polynôme reste moindre que i en valeur absolue, et par conséquent le polynôme proposé A;;X'' [ i -h^s>{.v)] ne s'annule que pour la seule valeur x = o ; pour les autres, valeurs de X, moindres toutefois, en valeur absolue, que la limite dont on vient de parler, le polynôme est du signe de son premier terme A^,.r'' ; lorsque p est impair, il est, pour x = o, croissant ou décroissant suivant que A,, est positif ou négatif; lorsque/) est pair, le polynôme, pour x = o, est plus petit que pour les valeurs voisines de x, positives ou négatives, si A,, est positif, plus grand au contraire si A,, est négatif; dans le premier cas on dit ([ue, pour .'■ = o, il passe par un minimum, dans le second, par un maxinumi. Ces résultats s'ap[)liqucnt immédiatement à un polynôme dans le(piel le premier coefficient A^ n'est pas nul, [)uisqu'on peut alors l'écrire \q -+- '\i{x), 'l>{x) étant im polynôme qui s'annule pour X = o ; le polynôme A^ -h '];(./;) est égal à A,, pour X = o ; pour des valeurs de x suffisamment voisines de o, il est très voisin de Ao et ne peut être nul ; enfin le preuiior terme de '\>{x) qui n'est pas nul, permet de reconnaître si le polynôme \^ -\- 'b(.r'' est croissant pour .r = o, ou décidissant, s'il |)asse [)ar un uiiiiimum ou lui uiaxiuium. (Iiivoil (pi'iui polynôme dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut s'annuler [xmr les
Ta^nkrv I. — Inlroilurtion ;'i la tlicorn' clo.s fonction? 17
258 nTuonicTioN a i.a tmicouie pes fonctions
pclilcs valeurs de x, sauf pour .c = o, quand son premier terme manque, qu'un ])()lynome, dont tous les coefficients ne sont [)as nuls, no peut s'annuler pour une suite de valeurs distinctes de x qui auraicnl o [lour limite, el, puisque la dilîérence de deux polynômes est un polynôme, que deux polynômes ne peuvent 2)rendrc des valeurs égales pour une telle suite de valeurs de x, sans être identiques terme à terme.
Il importe de remarquer que ces diverses propriétés ne s'appliquent pas aux seuls polynômes. En effet, l'hypollièse que le dernier coefficient A» est une constante n'intervient à peu près pas, et les conclusions précédentes à peine modifiées s'appliquent aux fonctions f[x) qui, en désignant par a un nombre positif que l'on supposera sans inconvénient inférieur à i, peuvent, pour l'ensemble des valeurs de x appartenant à l'intervalle ( — a, a) être mises sous la forme
oii Aq, Ai, ..., A„i sont des constantes et où A„ est une fonction de X dont on sait seulement qu'elle est bornée dans l'intervalle ( — a, a). On ne considérera que des valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle ; on regardera S comme la somme des valeurs absolues de Aj, A,, ..., A„i et de la borne supérieure des valeurs absolues de A„ dans l'intervalle ( — a, a), et les raisonnements précédents conduiront aux conclusions que voici :
La fonction /(.r) est continue pour x = o. Si l'un des coefficients constants Aq, A,, ..., A„i nest pas nul, cette fonction ne peut s'annulerpour un ensemble de valeurs de x admettant o pour point d'accumulation. Si l'un des coefficients constants A,, Aj, ..., A„i n'est pas nul, le premier de ces coefficients qui n'est pas nul permettra de reconnaître si, pour a? =^ o, la fonction y(.y:") est croissante ou décroissante, ou si elle admet un minimum ou un maximum. Le nombre naturel n étant donné, une fonction donnée de ./; no peut être mise que d'une seule façon sous la forme précédente, c'est-à-dire que, si l'on a, pour toutes les valeurs de.r appartenant à l'intervalle ( — a, a)
A„-hA,.r-J-...-hA„,.r«-' + A,,r":=B„-|-B,./- + ... + B„i.r"-'4-B,,r'', Bo, Bi, ..., B„i étant constants comme Aq, Ai, ..., A„.j, B,, étant
CIIAPimr IV. KONCTION EXPONENTIELLE '2Ô()
comme A„ une foiiclioii de x bornée dans l'inlcivallc ( — y., a), un a nécessairement
At = B,. A, = B,. ..., A„i = B„..
et B„ est la même fonction de x que A„.
l']nfin ce que l'un a dit des polynômes s'ap[)lique encore à ces funcliuns : les pulynomes
A^. \ H- A,.r. \ + Al./- + X,xK ...
fournissent, ])Our les petites valeurs de .r, des valeurs approchées de /"(./■) : si l'on prend, par exemple, la dernière, l'erreur commise en la prenant pour /(.r) sera moindre que S'./:'^ en désignant par S la somme des valeurs absolues de A3, A^, ... A„ , et de la borne supérieure des valeurs absolues de A„ ; cette errcar sera très petite si X est très petit en valeur absolue ; si le dernier terme conservé AoX- n'est pas nul, elle sera infiniment petite par rapport à lui,
cest-à-dire que la limite pour .X:= o du rapport' t-~^ ^^ '/T^ ^^^^ nulle.
(hiand x est très grand en valeur absolue, il convient d'ordonner le polynôme que l'on étudie par rapport aux puissances décroissantes de la variable et de l'écrire
ce sont alors les premiers termes qui importent; en négligeant les termes qui les suivent l'erreur relative que l'on commet est très petite. Ce polynôme peut s'écrire aussi
en
posant r r-^ . et en désignant par '> 1.:) un polynôme en :: qui s'annule pour c = o; si .'• est liés grand en valeur absolue, c est très petit en valeur absolue ; alors ç; (-) est très petit en valeur absolue : on reconnaît aisément que lorsque x est très grand en valeur absolue, un polynôme est du signe de son premier terme et que sa valeur absolue grandit indéliuiment quand la valeur absolue de ./; grandit indéliniment. Il est clair qiic ces dernières
nfjO INTRODUCTION A LA TUÉOUlt: DES rONCTIOÎïS
conclusions s'appliquent à toutes les fonctions qui peuveut être mises sous la forme
Ap-r" -+■ UiX"-*^ -+- ... 4- rt„.
pourvu que le premier coelTicient a^ soit une constante non nulle et que a,, a^, ...•. o„ soient des fonctions de./; qui restent, en valeur absolue, moindres que des nombres positifs fixes, quand x est très grand en valeur absolue.
Le fait qu'un polynôme ne peut être nul pour toutes les valeurs de X sans être identiquement nul, que deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x sans être identiques, apparaît aussi bien sur les grandes valeurs de x que sur les petites. Celte propriété des polynômes à une variable s'étend sans dilïiculté, par voie d'induction, aux polynômes à deux, trois, ... variables. Un polynôme à n variables, dans lequel on a réduit entre eux les termes semblables, ne peut être nul pour toutes les valeurs de ces variables sans que tous ses coefficients soient nuls.
Supposons maintenant qu'on veuille étudier un polynôme
f{x) = Ag -I- A,x + .... -4- A„x"
aux environs d'une valeur donnée x^ de la variable ; on posera comme on l'a expliqué, x = Xq ■+- h, et l'on étudiera, pour les valeurs de la variable voisines de o, la fonction de h,
f(x, 4- h) = Ao -+- A, (.r„ -^ h' -h A, (x, + /t)2 + ... H- A„ {x, + h)";
cette fonction est un polynôme en h que l'on ordonnera suivant les [)uissances croissantes de li
f{x, -+- h) = Po + \\h H- V,h^ 4- ....
et l'on appliquera à ce polynôme en h les conclusions précédentes ; elles impliquent la continuité du polynomepour x = x^ et donnent le moyen de reconnaître si la fonction /(.c) est croissante ou décroissante pour x = Xq, si elle passe par un maximum ou un minimum, suivant la parité et le signe du premier terme (autre que Po) qui n'est pas nul.
CHAi'nai; iv. — fonction exponentielle •.■•() i
Les expressions
P,. P„ ^ P. (X - .rj. P, + P, u- - X,) + P, (.• - X,f, ...
sont des expressions approchées de /(■') pour les valeurs de x voisines de .i-q.
Si la fonction /(x) s'annule pour x = x^, c'est que Po est nul ; supposons que les coefficients P,j, P,. .. Pr, soient nuls et que Pp soit dill'érent de o. (Le dernier coefficient P„, qui est égal à A„, ne peut être nul). On aura alors
/(.,-, -+- h) = rjf + p,^ j /iMi |. ... + p„/j..
on dit alors que x^ est une racine d'ordre de multiplicité r ; c'est une racine simple, si /• est égala i;y'(j?)est divisible par (.r —.'•„)'■, sans être divisible par (x — J?o)''"^S et cette propriété caractérise évidemment les racines d'ordre de multiplicité égal à r ; le quotient est un polynôme en x d'ordre n — /•, qui, sauf ./•„, admet les mêmes racines que /(x-), au même degré de multipUcité, comme on le voit de suite. De là résulte immédiatement la proposition suivante : Si le polynôme f{x), de degré n, admet les racines distinctes a, h, ..., /avec les degrés de multiplicité a, ^j, ..., ). et n'admet pas d'autres racines, on peut le mettre sous la forme
(p (x) étant un polynôme de degré n — a — ["i — ... — À, qui ne s'annule pour aucune valeur de x, et se réduit à une constante, si l'on aa -h j'B -h ... -+-). = «. La somme des ordres de multiplicité, et par suite, le nombre des racines distinctes dey'(.i) ne peut dépasser n.
En supposant toujours
f{x) = Ao -4- A,.r 4- A...r2 -f- ... 4- AnX». reprenons l'identité
/(.r -+- h)=P, 4- Pj/i -H l\Ji' -h ... -^ VJi".
(où j'écris maintenant x à la place de x^) ; le se<^ond membre est ordonné suivant les puissances de h ; les coefficients P^, P,, Vi. ...
a62 INTHOmCTION A LA. TMKOUIE DES FONCTIONS
(1p co ]iolynome on /; sont dos polynômes en x. Les raisonnonionis précédents montrent l'impoiiance des premiers de ces cocnicienis pour l'étude du polynôme dans le voisinage d une valeur donnée de x. Le premier coefficient Pq est évidemment égal hfÇr). comme on le voit en faisant // = o dans l'identité précédente, ou en commençant à développer l'expression
Ap -h A, (.r + h) -4- A, (.r H- /t)" -t- ... H- A„ (x -h h)" :
le même calcul montre de suite que les coefficients de // est
P, = A, + 3A,.T -+- SAj.r^ + ...-+- /iA„.T"-' ;
ce polynôme, de degré n — i, se déduit du polynôme /(.r) ou Pq par une règle très facile à retenir et joue un rôle considérable ; on lui donne le nom de dérivée du polynôme f{x) : c'est une notion qu'on retrouvera plus tard par imo autre voie : on représente habituellement ce polynôme par f (x). Il a lui-même une dérivée que l'on représente par/' (./;), et qui est
f x) — 1.2A, 4- 2.3. A^x -H .... + (n — i) nA„:r''-2 ;
j"' (.x) s'appelle aussi la dérivée seconde àe f[x) ; la dérivée de/ "(.c) ou la dérivée troisième de/(j) est
f"{x)= 1.2.3A3 -h 2.34A,.r-+- ... -h (n — 2 (^i — i)nA„.T»-';
la dérivée [f de f{x), {p ^ n) est
fp(x)= 1.2 ...p\,, -i- 2.3 ... (p -h i) A;,4., X + ... -f- (n—p-\-i) {n — p -h 2) ... nA„.r"-i';
la dérivée n", ou f<'^)[x). se réduit à la constante 1.2. 3. .../iA„. Chacun des polynômes /(oî),/' {x), ..., f^"') (x) se déduit du précédent par la même règle (/).
L'expression même des dérivées montre que l'on a
A =/iK2L,
(') Il est commode de regarder les dérivées suivantes /""•" '^ (a*)./ "^^^ C^)--comme identiquement nulles.
CIIAI'ITUE IV. rONCTION EXPONEMIEF.I.F. V.().'>
on ili'signaiU [)aiy"' (u), ce (jnc ilc\iriil /■0'>(./;) quand un y ronil)lacc ./; par o, et conduit à la lormule suivante
> ^ ' j \ '' ' jJ '^ ^ 1.2... /)' I . :i "
La formule fondamentale
OÙ a est un nombre quelconque, ne difl'ère pas au fond de colle qui précède. 11 suffit, pour s'en rendre compte, de remarquer que les dérivées successives du polynôme (en ./•) /(a H- £c), s'obtiennent en remplaçant x par a -h x dans les dérivées /' {x'), f"{x), ... du polynôme /(jî). Or cela résulte de ce que, si dans l'idenlilé
on remplace .r par a -\- h, elle devient
P, [a -h x) ouf{n -+- x], est le cocflicient de h dans le développement de/(a -h X -h h) suivant les puissances de h ; c'est la définilion même de la dérivée du polynôme f{a -+- x) ; la dérivée du polvnome /"' (a -+• x) est de même /"(a -+- x), etc..
La formule (i) appliquée au polynôme /(.r) = .r", fournit la formule connue sous le nom de formule du binôme, laquelle inversement, quand on l'a démontrée directement, permet d'obtenir aisément la formule (i).
Celle-ci montre en particulier que le polynôme P,. (.r) n'est autre chose que la dérivée r" de J\.r) divisée par le produit des r premiers nombres naturels.
Elle donne aussi l'expression d'un polynôme de degré inférieur ou égal ànquiprend,ainsique ses n dérivées, des valeurs données pour une valeur donnée a de la variable. Si l'on veut que le polynôme soit cflectivement du degré n, il faut que la valeur donnée de la if dérivée ne soit pas nulle ; si les valeurs données des dérivées, à partir de la (/) -h i)". étaient nulles, le polynôme serait de degré />.
gO/i IMIloniCTION A LV TIIKORIE DES FONCTIONS
174. — La même mt'lhode que pour les polynômes s'applique aii\ iVaciions ralionncllos.
Ou comuicuccra par les éluJlor pour les valeurs de ./; voisines de o ; soit
/(■t) Qq h- »|.t -t- n.p-- H- •••
wno telle fonction, dans laquelle le numérateur /(r) et le dénominateur 7(.r) sont des polynômes en ./;. Supposons d'abord que fj[x) ne soit pas nul pour x =^ o, c'est-à-dire que b^ ne soit ])as nul ; on pourra, comme on l'a c\[)liqué plus haut, fixer un intervalle ( — y;, Yj) dans lequel on ait | y (x) >• | />„ | — i, i étant un nombre jwsilif donné à l'avance; dans l'intervalle, la Iraclion sera bornée. Csci posé, les règles de la division algébrique pormellent de la mettre sous la forme
en désignant par Ce. r,, c.,, . , Cn—i des constantes, et par c,, une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes ; le dénominateur est [/ (.-c) : la fraction c„ est donc bornée dans l'intervalle ( — /;, r^) ; dès lors les conclusions du numéro précédent s'appliquent : on voit que la fraction rationnelle est continue pour X = o, et l'on sait reconnaître, pour cette valeur, si elle est cr(Mssante ou décroissante, si elle admet un minimum ou un maximum. Les expressions
sont, pour les petites valeurs de x, des expressions approchées de la fraction rationnelle. Il n'est pas inutile, pour le calcul de ces expressions, d'observer que, si l'on veut obtenir l'une d'elles, où x ne figure pas à un degré supérieur à j), on peut, avant de faire la division, négliger au dividende et au diviseur, les termes de degré su[)érieur à />, qui n'interviennentpas dansla partie du quotient que l'on veut avoir.
Supposons maintenant que b^ soit nul, et que a^^ soit différent de o ; on pourra mettre y{x) sous la forme x'''ii(x), en désignant par à [x) un polynôme qui ne s'annule pas pour x = o, qI mettre
CHAI'ITIIE IV. FONCTION EXPONENTIELLE 265
ZM = Ao -f- A,.r + ...-+- A,./-- -h ... H- A,,r"
on (U'sifrnant par n uti entier dont je suppose seulement cpi'il soit
supérieur à r, par A, A„i des constantes dont la première
n'est pas nulle, el i>ar A„ une fraction dont le dénominateur est •bi-c), ([ui, par conséquent est bornée dans un intervalle convenablement cboisi ( — r,,r,) : on en déduira
i-— = -?■+- -r^rr -h ... -t- A, + • ■• + A„.r'' ' ; q I .r) ./■' ./■'^ '■
la première partie
Ao -, -+- A, -y—^ H- ... -^ A,
est un pDlynome en - qui, pour les petites valeurs de | ./• |, c'est-à-
dire pour les «rrandes valeurs de
est une expression appro-
cbéede la fonclinn donnée ; celle-ci est très grande, en valeur absolue, pour les petites valeurs de I :c |; elle est du si|/nc de son premier
terme -,° •
On dit qu'elle est infinie pour x = o. Si r est pair, son signe est le même que celui de Ar ; on dit qu'elle passe par -i- x , ou par — oc , suivant que A^ est positif ou négatif. Si r est impair, on dit, suivant que \r est positif ou négatif, et en supposant que x croisse en passant par o, que la fonction passe de — oo à -I- oo , ou de -h co à — X .
Il importe de remarquer le rôle que joue le polynôme en - ^ (-) = Aç -\ -i- A, -^j -+- ... -+- A,i -
(oïl l'on n'a pas fîiil figurer de terme constant); c'est, en quelque sorte la partie de la fraction qui devient inlinie pour ./; = o ; la différence
aG6 iNTRomcnoN a. la. tiikouh- des FO^GT^o^s
ntliiiol niio liniilo finie pour ./• =: o. el peut, on lui attribuant cette valeur liniili> pour vraie valeur, être regardée conune continue pour j: == o, comme bornée dans un petit intervalle dont o fait partie. D'après les propositions concernant les polynômes, que l'on
a établies plus haut, f (- ] est le seul polynôme en -, , s'annulant
quajid on remplace - par o, qui jouisse de cette propriété.
Si enfin /(.r) et g(x) s'annulent pour x = o, on mettra ces deux polynômes sous les formes
f(x) = xi<f (.r), g (.r) = x^'i^ [x) ,
g(j?) et 6(x) ne s'annulant plus pour x = o, et l'on aura
/(.r) xi o (x)
Si l'on a ^/ > /■, on voit que la fraction pourra, pour les valeurs de X voisines de o, se mettre sous la forme
Ik) ^ B,x9-'- + B,.r«-' + » -+- ... ; g{x)
Le premier membre de cette égalité n'a plus do sons pour .x r=; o; il est naturel de lui attribuer, même pour cette valeur, le sens du second membre : c'est ce qu'on appelle la vraie valeur de la fraction ; elle est o si ^ est plus grand que r, elle est égale à Bq, c'està-dire au rapport des premiers coefficients de ^(jî) et de 'ii{x), si q est égal à /'. En adoptant cette convention, on voit que la fraction est continue pour x = o ; on sait d'ailleurs reconnaître si elle est croissante ou décroissante.
Si l'on a fj <i I', on mettra la fraction sous la forme
et l'on aura encore, au commcncomont du second membre, un
polynôme en -, s'annulant quand on y remplace - par o, et tel que
la différence entre la fraction et ce polynôme, puisse être regardée comme une fonction continue de x, pour a: = o.
C1IAIMTI\F: IV. FONrnioN rxrONFNTlELI.E •iCt'
Il ronvioiil tl(^ iPiniii(|n(T que celle inrlhiKlo. ([ui pcnnci d l'iii- (licr nue fiju iioti rationncllo pour 1rs [)olites valeurs de ./", s'applique au (luolienl de deux fonelions /(./), (jÇi') susceptibles, pour les valeurs de .r voisines de o, d'èlre mises sous une forme pareille à celle d'un polynôme, où, toutefois, le coefficient de la plus haute puissance de ./•, au lieu d'être une constante, est une fonction de .'• bornée dans un intervalle tel que ( — /j, y;). Pour obtenir les expressions approchées, on procéderait comme dans le cas des polynômes, en négligeant les termes qui ne doivent jws intervenir dans la formation du quotient partiel dont on a besoin.
11 suflit, pour reconnaître comment une fonction rationnelle se
comporte pour les grandes valeurs de x, de poser :r = - ; on est alors ramené à l'étude d'une fonction rationnelle de r pour les petites valeurs de :. On voit de suite que si le numérateur de la fraction proposée est de degré inférieur ou égal au dénominateur, la fraction a une vraie valeur pour z = o, ou pour x = ±:x , et que, si le degré du numérateur l'emporte sur le degré du dénominateur, 11 existe un polynôme !P(x) toi qucy-^J — îî(r) puisse être
regardé comme une fonction continue de r pour c = o : Ce polynôme, qui est en quelque sorte la partie de la fraction qui devient infinie avec x, peut être obtenu par la division du polynôme /(j.) par le polynôme g{x), les deux polynômes étant ordonnés suivant lespu'ssances décroissantes dex.
Enfin, si on veut étudier la fraction pour les valeurs de x voisines de Xq, on posera x = x^^ -i- h, el l'on sera ramené à étudier, pour les petites valeurs de h la fraction
que l'on traitera comme il a été expliqué. La continuité est évidente, si Xq n'est pas une racine du dénominateur. Si x^ est une racine de ^(.r), la fraction aura une vraie valeur, au sens précédemment expliqué, dans le cas où x^ est aussi racine dey(.r) avec un degré de multiplicité égal ou supérieur. Dans le cas où Xq est d'un ordre de multiplicité plus grand pour (/{x) que pour f{x), la fraction c<l Inlinle pour x = x^, et l'on peut retrancher du second
•>68 INTUOnUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
membre un polynôme en , (sans terme indépendant de t], ouplu-
tùl do la fraction un polynôme en ( . ) , '£q ( —), telle que
la dilTérence
puisse être regardée comme une fonction continue pour a: = a^^ ; 'fo( ) est la partie de la fraction qui devient infinie pour
fi(x] Cette difîérence est une fraction rationnelle -^-7— , dans laquelle
le dénominateur ^,(.i") n'est autre chose que le quotient de (j{x) par {x — A"o)^% en désignant par a.o le degré de multiplicité de la racine Xq du polynôme g (x) ; On peut appliquer le même mode de raisonnement à cette fonction rationnelle, et l'on parvient ainsi à cette conclusion.
Si l'on a, en désignant par \une constante et par a,,, ai, ..., (Z„i des entiers naturels,
f(x) on pourra mettre la fraction-^ — ! sous la forme
( -Hff(.r);
$i(c) désigne en général un polynôme en z, sans terme indépendant de z, de degré inférieur ou égal à a; : ce polynôme n'existe pas si Xi est une racine def{x) d'un ordre de multiplicité égal ou supérieur à a, ; si Xi est une racine d'ordre de multiplicité jj, inférieur à a;, ff,(-) est de degré a; — l^i. Si, comme on peut toujours le supposer, Xi n'est pas racine def{x), '£^(2) est de degré a. ; enfin 'I(x) est un polynôme en x, qui n'existe que dans le cas où le degré de g(x) n'est pas supérieur à celui de/(j), qui peut s'obtenir en faisant la division de/(j;) et de ^ (,/;', ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de Xi et en ne gardant que la partie entière-
CIIAI'lTun IV. l'ONr.TION KM'ONENIIKLLE 2G(}
L'expression :P,( -73;;^) esl la partie tl»' la fraction proposée cpii
devient inlinie quand x s'approche de .i\. i'(') esl la partie de la fraction qui devient inlinie, ou qui reste constante, quand./' devient
f(x) inlini. f(.x) s'appelle aussi la partie entière de la fraction '-—^ •
Chacun des polvnonics i',(-*), f (') est entièrement ([(-Icrininé fiuand on se donne la fraction-'-—, ; en d'autres termes, celle-ci ne
peut se mettre que d'ime seule façon sous la forme ( i).
Les résultats qui précèdent conduisent de la faron la plus simple, à la solution d'un problème important.
Soient a,, a^, ..., a,,, p nombres distincts donnés ; à chacun de ces nombres Oi correspond un nombre naturel a^ également donné : On propose de trouver un polynôme de degré inférieur à y.^ -^ (/-i -h ... -h a^, tel que les valeurs de ce polynôme et de ses a, — I premières dérivées pour ./■ = ai soient des nombres donnés (/ = i, 2, ...,p). Dans le cas où % serait égal à i, il faudrait entendre que la valeur du polynôme pour x = ai est donnée, mais non celle de ses dérivées.
Soit/f.c) le polynôme cherché et considérons la fraction rationnelle
[x — aiY^ [x — ay^- ... [x — a,,)'"'- '
on peut, comme on vient de l'expliquer, mettre cette fraction sous la forme d'une somme de fractions simples ; il n'y aura pas de partie entière, puisque le numérateur est de degré inférieur au dénominateur ; considérons par exemple la partie du développement qui correspond à la racine ai de ce dénominateur, que l'on peut écrire (./; — ai)^' (j{x), en désignant par ^(.r) le produit des facteurs autres que {x — a,)^' ; pour obtenir la partie cherchée du développement, on posera, d'après la règle précédente x = a, -+- z et l'on devra elTectuer la division de /[ai -+- z) par g {ai -+- z), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de z, et en s'arrètant, dans le quotient, au terme en r*'~'; le polynôme f/{.r) ou ijiai -+- z) est entièrement connu, par les données; quant au polynôme
fi'h + z) =J{n,) + \na^ H- ... -\- , l~\ /^'--'k-O + ■•..
•>70 lNTI\OnL'CTIO>' V L\ TTIKORIE DES FONCTIONS
on n'a besoin, pour faire la division, que d'en connaître les a. premiers coefficients ; or c'est précisément ces a, premiers coefficients que les données font connaître ; donc la division fera connaître la partie
ifi ( — — — I de la fraction rationnelle qui correspond à la racine a, et Ton voit que le polynôme f[.r) sera le produit de
par
^^. (t^J -^ -^ (.T^ib:) + - + ■^^" [7^}
Un cas particulièrement simple et intéressant est celui oi'i tous les nombres y.i sont cgau\ à i ; il s'agit alors de former un polynôme de degré inférieur à p qui prenne des valeurs données A,, Ao, .-., A,, pour des valeurs données a^, a,, ..., a,, de j:.
La règle précédente donne ici
^, ^ ^ (.r—a,)(x — a.;)...(:r—a,) ^ ^ (.r — r/,V.r — a,) ...(.r — rr,.) . (x — a^)(.T — a.,) ... {.r — n,,-i) ^
"^ ■ " '' {fi,. — «1) (^y- — f'o) . • • [flp — (l,, -1) '
et cette formule même met bien en évidence la propriété du polynôme/(x).
Le lecteur reconnaîtra sans peine que cette formule est équivalente à celle-ci
f(.r, f(a,) I ^ ./Y^ I ^ , fia,)
<i{x) o';fli)./- — ((i ^ ('^'2^ •'■ — ^2 "* 'f(^'i')-'' — '^p
où '^'("^i), 'f {fti)} ••• sont les valeurs pour jj = Oj, a^, ... de la dérivée ':! {x) du polynôme
ç(.-r) = (.r — aj {x — a) ,.. {x — fl^) ;
elle suppose seulement que les nombres a,, a,, •••> «/. sont dictincts et que le polynôme f{.r) est de degré inférieur à />.
175. — La fonction a\ où a est un nombre positif que. dans ce qui suit, je supposerai pins grand que i, est définie dans l'ensemble des valeurs rationnelles de .c (n" 27 j. Il reste à la définir pour les valeurs irrationnelles. Il convient d'abord d'en établir les propriétés
r.lIAl'IlUi; IV. lONCIK» ICXI'OM^NTII-I.I.E -j-i
siihaiilcs, cil Ile consiilcranl (jiio ces valeurs raliomiclles pour lesquelles elle est dclinie : La l'onclion a" est contiinic [)Our chaque valeur rationnelle de ./; : colle conliiiuitc- doit êlre entendue au sens du n" 152. on so rappolanl (juo chaque nombre ralionnol est un [)i>inl d'accuniulalion do ronscinble dos nombres ralionncls; en (raulios lormes, cet onseiublc est dense dans loiil iiil(i\allo. Si .1; et j sont des nombres rationnels l'inôgalilé j; > j cnlraînc l'inégalilé a^ ^ a'J ; on peut dire, si l'on veut, que dans l'ensemble des nombres ralionnels. a'^ croît avec./; (n" 146). L'identilé
où ./-j et h sont supposés ralionncls, permet de ramener l'étude de la fonction a^ aux environs de j-^, à colle même élude pour les valeurs de h voisines de o.
Supposons d'abord que h soit jiosilif et soit m un nombre naturel loi que l'on ait h <. . on aura
a''<^n"' ou v";
il est aisé de voir que l'on peut prendre ni assez grand pour (pic y'âsoit aussi voisin de i qu'on le voudra. Soit on cKcf^/a^z i + a, en désignant par a un nombre positif ; on en conclut
a = (i -h y.)'" >> I -h my. ou my. <i n — i ;
si donc on veut que a soil plus petit que le nombre positifs donné à l'avance, il suffit de prendre ni >> — : — ; c'est-à-dire ni supé-
, , . . , , fl — I rieur a la [)artic entière de — ^
On aura d'ailleurs, que 1i soit positif ou négatif,
pourvu que l'on ait \h\ <i - , m étant déterminé comme on vient de le dire : car si /i = — A- est négatif, on aura
I — o!' = — r — <; fl* — I <C e
puisque a'- est plus grand que i. Ainsi il suffit de prendre li plus
272 I?« ruODUCTlON A I,A TIIKOUIK DES l'ONCTIONS
petit, en valeur absolue que l'inverse d'un cnlicr supérieur à la partie entière de pour être siir que l'on a | a'' — i | < £ ; c'est
dire que la fonction a^ est continue pour ./• -.= o, puisque i est précisément la valeur de cette fonction pour ./; =r o : la conlinuilc de la (onction, pour une valeur rationnelle quelconque x^, résulte de l'identité qui a servi de point de départ.
On voit même sur celte identité, que, comme on le savait d'après le n" 162, la continuité de la fonction a-^ est uniforme dans tout intervalle ( — /, ).) dont les bornes sont des nombres rationnels ; si en effet a'„ et Xj, -+- h appartiennent à cet intervalle, comme on a certainement a^» g a^. on voit que la différence entre a^o + i^ et a^»
sera moindre en valeur absolue que î, pourvu que l'on ait \h \ <; —
et que m soit un nombre naturel supérieur à la partie entière
1 a — I de — -V
Soit maintenant X un nombre quelconque, rationnel ou non. Soit (E) l'ensemble des valeurs de a" pour les valeurs rationnelles de X inférieures à X, (Ei) l'ensemble des valeurs de cf pour les valeurs rationnelles de x supérieures à X. D'après ce qu'on vient de dire tous les éléments de (E) seront inférieurs aux éléments de (E,) ; il n'y a pas dans le premier ensemble de nombre plus grand que tous les autres éléments de cet ensemble, ni dans le second de nombre plus petit que tous les autres éléments de ce même ensemble : il y a dans les deux ensembles des éléments dont la différence est moindre que c.
La borne supérieure de (E) est égale à la borne inférieure de (Ei) et elles sont toutes deux égales à a" si X est rationnel : c'est celle borne commune que l'on prendra pour définition de «% quand X est irrationnel.
L'extension de l'identité
au cas 011 X, y ne sont pas tous deux des nombres rationnels est une conséquence du n" 45 ; le fait que l'inégalité « > }' entraîne œ >> aP s'aperçoit immédiatement en intercalant un nombre rationnel - entre ./; et v. on a alors
ruAPirnF iv.
KOTTION E\l'ONF.NTlr:r.I,r.
coninio il ic'siillc ^\(^ l.i (If-liiiitiori pi rci'dciili'. \a\ liinil(^ clos valons lie I /; I aii-dossous lie l.ujucllo un [wul ariiriucr que l'on a
rcsle la luriiio pulscjiio la i)nip(>sition d'après laqnolle on a
rt'' ■< a '" quand le nondjic [)ositif A est [>Ins pclil cpio l'invoiso du nombre naturel m subsiste ainsi que les conclusions qu'on on lire. La continuité de la l'onction n'' pour./' -- (j, cl pour toute valeur de ./•, subsiste donc aussi.
On a
lim. a'' = -f- X , lim. a'^ = o ;
la première proposition résulte de ce que, en pesant a = i -i- a, et en désignant par m la partie entière de x, cr qui est égal ou supérieur à a • est certainement plus grand que i -i-my. et de ce que
Fie. 8
m grandit indéfiniment avec x ; la seconde résulte de la première
et de l'égalité
Ainsi, quand x croît de — td à -r- oo . la fonction a"- croît de o à 4- X) . Cette variation est représentée par la figure ci-dessu.-,.
Lorsque n est plus petit que i, on posera a = j ^b étant plus grand que i. cl l'on définira W par l'égalité
Tasxebt I. — Introdaction 4 la tliùorie des fonctions
274 INTRODlCTIO-f A L\ TIIFOIUE DES FONCTIONS
'roules les piopriélés subsislonl, si oc n'est que, dans ce cas, a' décroît de -+- x à o quand .c croît de — x à -+- ce . Si aestéyal à 1, n'est par déiinilion aussi égal à 1.
Afin de délinir a'' pour toutes les valeurs de ./', on s'est appuyé sur ce que la fonction a% définie dans l'ensemble des nombres rationnels, était à la fois continue et croissante dans cet ensemble. La continuité seule aurait permis d'arriver à celte définition, en s'appuyaiil sur la règle du n" 158, qui permet de reconnaître si ime ioiiction définie dans un ensemble (ici l'ensemble des nombres rationnels; admet une limite pour nn point d'accumulallon X de cet ensemble. 11 est clair, en raison de la continuité, que l'on peut faire correspondre au nombre posllil £ua nombre positif y^ tel que l'on ail
sous la condition que x, x' soient rationnels et vérifient les conditions
qui ciilraînenl la cuiidition ] ./; — ./; | << av; ; c'est la condition nécessaire et sullisanle pour que la fonction a' ait une limite pour £C = X, au sens du n" 151 ; celle limite est, par définition, la valeur de a''. L'extension des propriétés établies pour l'ensemble des nombres rationnels se fait sans dilliculté quand on se place à ce point de vue.
Va\ raii^onnanl de la même façon, le lecteur établira sans peine la proposition suivante :
Si f{x) est une lunclion de ./; définie dans un ensemble (E) dense dans l'intervalle (a, h) et si elle est continue dans cet ens'iujjle. on peut la délinir comme une fonction continue dans tout rinlervallc (a, li).
176. — La fonction a étant définie, continue et croissante dans tout intervalle (y., ^j), on \o\\. que x peut être défini comme la functiun inverse de y, par l'équation
dans l'intervalle [a^, a^j ; x sera une fonclion de y continue et
cmai'huk IV. — lOxnio.N i:\i'um:m ii:i.i,i; -a-j
crnissantc (en sii[)pt>aiil a > i) : on l.i dt'>if;iic [)ar I"g„ v (lo^arilliiiic (le V dans la hase n) ou, lorsqu'il n'y a pas d'ambij^milr à craindro. i»ar lo"- v. Les l)nirins n^, tif" do rinlcrv.allc où celle lV)nclion csi délinie sont doux nombres [)ositirs ([uelcon(jues ; en d'aulics termes log y est tiéliiii [)our Ujules les \aleurs pcjsilixes dey, log j est positif pour y >. i, nul [)our y -^ i, néj-'alif pour y <^ i, et croit de — >o à -h ^ fiuand y varie de o à i ; la \ aria lion de log y se lit sur la liyure tic la page 27.) en regardant y comme la variable et x connue la fonction.
La fonction log ./• [leulèUe rcgardi'e cdiiuuo délinie [)ar ré([ualiou
i\h il est enleudu (jue ./; est un nombre [losilil".
A la propriété a' . rt" = rt' r ;/, corres[)()iid j.i [iro[)riété londamenlale des logarillmics
à Ia(pirlle nu peut raltaclier les suivantes
lo-' *- -- Io:r ./• — loi: y, Iolt ~ .^^ — loj; x :
X, y sont toujours sup[)osés positifs.
