Ç^ TNTI\ODl'CTrO\ A LA THKORIE DES FONCTIONS

Puis, la supposilion r = o donne

o{.t)o{o) = o{x); on a ilonc

si l'on 110 A ont pas supposer que la fonclion '^(.r) soit constamment nulle.

En faisant y = — x dans ( i), on trouve

L'égalité fondamentale ii) conduit innnédialement à la suivante :

?l'^.) 'f (•'^i) •■• 9(-'^") = ?(-^i -+- -^2 -+- ••• + ^i). d'où, en supposant toutes les quantités ./;,, .c^, ..., x„, égales à x C) cp(n.r) = ro(.r)r;

cette égalité, établie pour un nombre entier lu s'étend aux nombres quelconques.

Elle s'étend d'abord aux nombres positifs n de la forme -, oùp

est un nombre entier, car l'égalité (4), quand on y remplace n par/j

et X par - , devient d'oii

c'est bien la détermination arilliniétiqne qu'il faut prendre pour V^'j^ {x) , puisque o (- ) doit être positif: l'égalité (5) n'est autre que

l'égalité Cl), 011 - remplace n.

Si maintenant on élève à la puissance cj, q étant un nombre naturel, les deux membres de l'égalité (5), on a

[o (,-)]'= WW]-;

GlIAl'lTHE I\ . — IONCTIO> FAI'ONENTIELLE •>"

mais en ver lu do IV'galiU' (1), on a, par suite on a

,(;/.,■)=,, Mil

Ainsi l'(''f?alilé ('i) csl ('lenduc à tous les nombres rationnels positifs ; en tenant compte de (3), elle s'étend immédialenient à tous les nond^rcs rationnels négatifs : elle est vraie pourn = o, en vertu de (2).

Juscpi'ici, on ne s'est pas servi de cette supposition que la fonction o(.'') est continua. Cette supposition intervient pour étendre aux nombres irratiiMincls l'égalité (4).

Soit en elVet

n^, n^, ..., II,., ...,

une suite infinie de nombres rationnels ayant pour limite le nombre irrationnel ii ; on aura, quel que soit l'indice /•,

lorsque /' augmente indi'finimeiit, n,.r tend vers n.r, el piiisc[iie la fonction ^j est continue, 'j;(«,a") a pour limite rr^[n.r) ; de même ['>(.r)]"'- a pour limite ['f (x)]", à cause de la continuité de la fonction a'' ; les limites des deux membres sont égales et l'on a ainsi, quel que soil le nombre n,

Si maintenant, dans celle ('galilé. on rcnqijace .r [)ar i et /( par,/-, il vient

en désignant par a la constante positive o (i), on aura finalement Observons que le mode de raisonnement qui a [icrmis d'établir

2~S iNTnonrcnoN a i.a TUi'oiiiE des ionctions

l'r-^alilô (()), njiplifjMÔ il la fonction a', prouvo qno l'on a, quels que suicnl les nombres n el ,r

fi'"- = fa'l".

el qnc celle même égalilé, lorsqu'on y ronqilacc ./■ |iar log.r, puis ^log r pjjj. y^ clevicnl

d'où l'on conclul l'éiralitr

n loi; X = log .r",

qui est \raie quels que soicnl le noml)re n cl le nombre posilif .r. La même mclbodc qui a permis d'clablir que la propriélc

lorsqu'oh suppose la fonclion o (.r) conlinuc. nappnrlient qu'à la fonclion a' , permcl de monlrcr que la propriélc

lorsque Ton suppose la fonclion o(x) continue n'appartient qui la fonclion log X ; au reste l'une des propositions peut être raltachéc à l'autre.

178. — Lorsque m est un entier positif ou négatif, la fonclion ./• " 0^-1 enlicrc ou rationnelle. Si m est un nombre fractionnaire ou irrationnel, la fonclion ./;'" est définie pour toutes les valeurs positives de x; comme on peut, en remplaçant .r par a'"'-^, et en utilisant les remarques du numéro précédent, la mettre sous la forme

on voit en se repoitanl an\ propriétés des funclions log./', a" et aux remarques du n" 171 sur les fonctions de fonction, qu'elle est continue pour toutes les valeurs positives de x, à l'exclusion de la \aleur (j ; que, lorsque x croît de o à + 20 , elle croît de o à + 20 , ou décroît de -H ^ à o suivant que m est posilif ou négatif. Au reste il ne serait pas bien dinicilc d'établir ces propositions direc-

CIIVPITUE IV. FONCTION" ./"" '.>79

Iciiicnl, en se l)ornant au cas (u'i m est posilif. d en s'apiuiyaiiL d'une part sur 1 egalilé

(.r + h)'" — .. — .'•■■' F/' I u 'iw , 1 .

d'aulre [)arl >nr la remarque suivanle : si M esl lui nombre naturel plus grand que ///, on a en dési:,Miant par Y) un nombre positif moindre que i

I < (' + -^J ' <. Il -^ V)" < I -f- MTi(t + T./'-' < l H •'•'-'Mr,.

La fonclion .r'" jouit évidemment de la propriété

et un raisonnement analogue à celui du numéro précédent montre qu'elle est la seule fonction continue qui jouisse de cette propriété (').

Les fonctions particulières que l'on a considérées jusqu'ici se sont présenl('es naturellement ; les OiUi^lions circulaires dont il va bientnt être ([ucstion ont assurément leur origine dans la géométrie : l'étude des propriétés de ces fonctions a conduit à des représentations analytiques qui peuvent être prises pour définitions de ces fonctions et permettent de retrouver leurs propriétés : ces définitions se rattachent à la considération de suites dans lesquelles les termes ne dépendent pas uniquement de leur rang mais bien d'ime variable. r. C'est sur la considération, très importante en elle-même, de ces suites que je vais m'arrèter maintenant.

(') Le ni'" me mode de raisnnncmoiilpcrmclcncorc «l'r'lylilir que la (oncûon a.r, où a csl une constante qiiclcorKjuc est la seule funclion conlinuc qui jouisse de la propriété

C'est celle proposition qui scrl liahilucllemcntà élaljlir la [iroporlionnalilé di grandeurs.

CIUPTTUK V