I. CONVERCENCE IMEORME

179. — Désignons en général [)ar /"„(•'') une fonction delà variable x, qui, [)Our chaque valeur du nombre naturel n soit déterminée dans un ensemble (X), par exemple dansun intervalle {a, h). Supposons que, pour chaque valeur de x appartenant à l'ensemble (X), y!, './•) ait une limite quand n augmente indéfiniment : cette limite, étant ainsi déterminée pour chaque valeur de x qui appartient .à l'ensemble (X) peut être regardée comme une fonction de x déterminée dans rcnsomJjle (X) ; je désignerai celte fonction par f (x) et je poserai

llm./„(.T)=/(.x).

II est naturel de dire que la fonction f (.r) est la limite de f,, (x) pour n infini. Si l'on se donne une valeur de .'•. appartenant à l'ensemble (X) et un nombre positifs, il existera certainement une valeur de n telle que l'on ait, pour cette valeur de x

Cette valeur de n dépend en général de x et de z ; le cas où elle ne dépend que de £ est particulièrement intéressant. En effet, dans ce cas, la fonction/,, (.c) fournit une expression approchée de/(j:),

ciiAi'iiur; \. — coNvicHCiENCt: iimioumi: -'Si

avec un degR' crapproxiinalion qui csl li^ jnriuc quoUc que soit la valeur de ./;, appailcnant à rcnseuihlc ( \) ; elle renseignera ainsi, dans une certaine nicsuie, sur les [iropriélés et l'allure de la fonction y (.#;), (jui, tlans l)ien des cas, n'est connue que par les fonctions f„ (./•; dont elle est la limite. Au contraire, si afin d'avoir le même degré dapproximalion, du [)eut. jutur certaines \aleurs de x, s'arrêter à une; fonclinn /„ (./;) où ii n'est [)as très grand, tandis «pi'il faut, pour d'autres valiMirs de ./•, aller très loin dans la suite

le l'ail que celte suite a |)our limite; / (/') constitue un renseignement beaucoup moins précieux.

.le dirai (jue la funclidn /'„ (./•), déterminée pour cliacpie \alour' du nombre naturel ii et pour chaque valeur ./• de l'ensemble (X), tend ou converge uniformément dans ;\), au sens hinjc, vers sa limite f {.r), lorsqu'à chaque nombre positifs, si petit qu'il soit, correspond un nombre naturel n tel que l'on ait

l/(--0-7n^-'OI<^

pour toute valeur de .a; ap[)artenant à (\). .le dirai, dans les mêmes conditions, que la suite /", (•'*)•• /o (•'-'), ••• est uniformément convergente mi sens large.

Celte délinition large de la convergence uniforme permet en quelque sorte dans la suitey, {.r), f.. (./•). ..., stq:)posée convergente (sans épithète) une certaine irrégularité, qu'il est soidiaitahle d'exclure. On peut bien avoir, pour une certaine valeur de n, et pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X),

l/W-A^-'OK-

en sorte que, pour toules ces \aleurs de ./', f,, 'x) re[)résenle /'(.'') avec une erreur moindre (pie i, sans que celle ap[)ro\imalion se conserve quand on va plus loin dans la suite, sans que l'on ait |/(.r) — /,. (./•) I <C i pour m >> n. Aussi convient-il d'ado[)ter pour la définition de la convergence uniforme, proprement dite, la suivante, évidemment plus restiictive que celle cpii pr('cède.

La fonction /;, ^z') déterminée pour chaque valeur du nond)re naturel n et poiu' charjuc valeur de x a[)partcnant à (X), tend ou converge imiformi-inent dans cet ensemble vers sa limite /" (.'•)

r»83 iNTnonrcTio?! a i.v théorie des fonctions

lorsqu'à chaque nombro positif î, si petit qu'il soit, correspond un nombre naturel /> tel que l'on ait |/(.'') — f» {•'T') | < £, quels que soient le nombre ./•. appartenant à l'ensemble (\), et le nombre naturel /( supérieur ou éfral à /).

Cest celte déliuition qui sera adoptée dans la suite, à moins que l'on ne dise converg'ence uniforme (( au sens large ».

On peut réunir les conditions nécessaires et suffisantes pour que /'„ (./■) ait une limite, et tende uniformémeni vers cette limite, en disant :

La fonction /'„ (.'•) a une limite pour n infini et tend uniformément vers sa limite dans l'ensemble (X) si à chaque nombre positif £ on peut faire correspondre un entier y? tel que l'on ait, pour toutes les valeurs des nombres naturels n, m supérieures ou égales

quel que snil le n(>nd)re .'• do l'ensemble (X).

I.a condition est nécessaire, car si la fonction /„ (.r) tend uniformément vers sa limite/ (.c), on peut faire correspondre au nombre ' un nombre /> tel que l'on ait pour les nombres n et m supérieurs ou égaux à p,

et, par suite