A (.-OK

l']llc est suffisante ; car, si elle est vérifiée, rexistence d'une limite /(•'"), pour chaque nombre :c appartenant à (X), résulte d'abord du théorème du n" 56 ; puis l'inégalité précédente, si l'on y fait croître m indéfiniment, donne |/"„ {x) — / (.^) | ^ £, pour toutes les valeurs de n supérieures à p.

On sera certainement dans ce cas si l'on connaît une suite infinie de nombres a,, a^, ..., a». ..., admettant une limite et tels que l'on ait, pour toutes les valeurs des nombres naturels n, m et pour toutes les valeurs de :r qui appartiennent à l'ensemble (X),

puisque, si l'on se donne le nombre positif 3, on peut lui faire cor-

CIIAPITHF. V. COWF.IinnNCK CMFOUMF, o^HS

rrspondrc un noiiil)i(^ iiahircl p loi que l'on ;iil | a,„ — y.n\<^i, sous les rondiliiitis m y- p, ii ^ • />. J.c cas où les nombres a,,

7.. 7.,,, ... sont posilil's ot foiiui'nL une stiile rroissanle (ou

tiérroissante) se présente fréqueuMucnl.

Notons encore la remarqua évidcnle (pic voirl ; si la suite ./i (•'■)*./:! (■'')• ••• f^l^ unifonuéiucnl convergente clans l'enseuihlc (\), elle est uniforniéuiciil convergente dans tout ensemble (X, i contenu dans (\).

Voici maintenanl fiuchnics exemples : soit /], (x) = : la

lonclioii /'„ (.r) est définiepoiir tonte valeur positive ou nulle de ./; ; on a évidemment

liin. f„ (.r) :^^ I ou o,

suivant que ./* est nul ou positif : la fou'^lion /'(•'■) est égale à i [tour .'• rrr: (), clIc cst égalo à o pour les valeurs [)osilives de .r. Pour

■'■ = - . la fonction /'„ (x) est d'ailleurs égale à -; dans l'intervalle

(o, i), elle ne tend pas uniformément vers sa limite. En effet, quelque soit le nombre naturel n, il y a dans l'intervalle considéré

une valeur x ^= -, pour laquelle la dilîérence | /', (.'■) — /'(■'') | est

égale à -. On observera ici que la fonction /"(.a-) n'est pas continue

dans l'intervalle (o, i), quoique chacune des fonctionsy,, (.c), dont elle est la limite soit continue.

Dans tout intervalle [a, h) limité par deux nombres positifs a, /> {a <C h), la fonction /'„ [.r\ lend uniformément vers sa limite o, en effet, pour avoir

il suffira de prendre n su[i('iienr à l;i partie entière de : — .

Considérons maintenant les fonctions f,, (./•) définies par les égalités suivantes :

f{x = o, flm(x) — T, 7-^ Tô,

iSfi INÏHOOUCriO.N i LA. THEORIE DES FONCTIONS

il csl ihiir (juo l'on a lim. yô,„(cf) = o, quel que soit x et, par consc-

ni = ce

qucnl. quel que suit encore x,

lim. /„(.,■) =/(.r) = o.

Considérons l'intervalle (o, i). Pour .r = - , on a /^2.ii (.r) = i .

La fonction/, (.'•; tend uniformément, au sons large, vers sa limite, puisque, pour toutes les valeurs impaires de n la dilTcrence 1./'' {•'') — ./\'") I ^^^ uuile ; mais elle ne tend pas uniformcuienl vers celte limite, au sens qui a été adopté (inalement, puisque, quelque grand que soityj, il y a des nombres pairs 2 m plus grands que p

et des valeurs — de ./;, telles que la dilïérence | /m (■'■) -r- f[x) | soit

égale a i.

Les exemples qui précèdent mettent en évidence la différence entre la convergence sans éj)illirte, la convergence unift)rme proprement dite et la convergence uniforme au sens large. Les considéralions générales qui terminent le présent numéro contribueront à éclaircir la notion capitale de la convergence uniforme ; toutefois le lecteur peut, sans inconvénient pour la suite, les laisser de coté.

Supposons qu'à chaque valeur du nombre positif s corresponde un nombre naturel /) tel rpic l'on ait, pour toute Aaleur de x appartenant à (\), I /*(./■) — /"„ (.'•) I <C £ : à ce nombre i j)euveiit d'ailleurs correspondre plusieurs nombres n, même une infinité : soit en général, 8 (s) l'ensemble des inverses des nombres naturels n qui correspondent ainsi à £ ; on aperçoit de suite que l'ensemble 8 (0) satisfait aux conditions du n''156; il y a donc un ou plusieurs points A-, formant un ensemble 8 (o), dont chacun appartient à tous les ensembles 8^c) ou est, pour chaque ensemble 8(c), un point d'accumulation. D'autre ]iart. par sa nalure même, l'ensemble 8 (c) ne peut avoir d'autre point d'arcunuilation que le point o ; il y a deux cas à distinguer suivant que o est, ou non, un point d'accumulation pour tous les ensembles 8 (s). Dans le cas où o n'est pas un point d'accumulation pour tous ces ensembles, ceux-ci doivent

avoir au moins un point conniuu) /,• ; si l'on pose ti = -r, le nombre

naturel n jouira de la propriété suivante; quel que soit le nombre positif c on aura, pour chaque valeur de x uppar tenant à (X),

CmriTRF. V. CONVERP.FXCE fXIIOnMF; S!85

\ /(■'') — /„ (./:) I ■< £, cl par suite/,, (./;) = /'(./;). Dans ce cas, l'un des termes, au moins, de la suite /', {x),f-î{x), ... sera la fonction liniile ollc-mème. Cette circonstance s'est présentée dans l'un des exemples précédents. Supposons maintenant que o soit un point d'accumulation pour tous les ensembles 8 (£), c'est-à-dire qu'il y ait, quel que soit le nombre positif;, des nombres naturels n, aussi grands qu'on le veut, tels que la dilTérence f{x) — /"„(>«) soit moindre que £ en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x appartenant à (\) ; on va montrer qu'on peut alors extraire de la smW f^{x], J\[x), ... une autre suite ©, (.r), çi^ (x), ... qui soit uniformément convergente, au vrai sens du mot.

Donnons-nous, en elïet, une suite infinie de nombres positifs décroissants, £,, c^, ..., £,-, .... tels que l'on ait lim. £,. ^= o, et soit

en général /?,. l'inverse d'un nombre qui ligure dans renseud)lc 8 (£,.), précédemment défini ; on prendra o,- (x) =//i, [x) ; la suite c;, ix). 0=, (x), ..., sera bien uniformément convergente, puisque, si on se donne le nombre positif £, et si l'on prend dans la suite

I,, i..,. un nombre cr <C î. on aura pour toutes les valeurs de

l'indice s supérieures ou égales à /*,

Ainsi les suites/, {^)^f> {■'-)• •••< que l'on a appelées plus liant « uniformément convergentes, au sens large » peuvent être divisées en trois catégories.

1° Celles qui sont uniformément convergentes au vrai sens du mot ;

2" Celles d'oi'i l'on peut extraire une suite uniformément convergente, et qui peuvent ainsi être regardées comme provenant d'une telle suite, où s'intercalent des termes irréguliers cpii, toutefois, n'enq)ècbenl pas la convergence (sans épilliète) de la suite ;

3' Enfin celles d'où l'on ne peut pas extraire de suite uniformément convergente, mais où la fonction limite /(./•) figure comme terme : c'est la seule présence de ce terme, laquelle n'a évidemment rien d'essentiel, qui rapproclie la suite /', {xi, /', (./•), . ., d'une suite uniformément convergente.

Soit /, (./;), /i {x), ..., une suite infinie de fonctions déterminées dans l'ensemble hornr (\) : je suppose qu'il y ait une fonction /(./•), déterminée dans le môme ensemble, telle que l'on ait, pour

286 IMIVOniCTION A LA TlIKOUIE DES l'ONCTIONS

chaque valeur de ./• appai leiiaiU à (\), lim. /'„ (./•) = f {.r) ; je sup-

pose en outre que la suile n'est [las uniformément convergente dans cet ensemble, c'est-à-dire (ju'il ne correspond pas à tout nombre positif a un nombre naturel p tel que l'on ait

[)Our tous les nombres ./; appartenant à (\\ et tous les nombres naturels n >/*. En d'autres termes, il y a un nombre positif a qui jouit de la propriété suivante : quel que soit le nombre naturel p, pour un certain nombre j: appartenant à (\) et un certain nombre naturel n >• y> on a |/(.f) — /,, [x)\ ^ a. Soit ÏL^, l'ensemble des valeurs de x appartenant à (X) auxqiielles on peut ainsi associer un nombre naturel n >/>, en sorte que l'inégalité précédente soit vérifiée.

La suite des ensembles [t,) ip= ^' '^o ^' •••)> tous contenus dans (X), est de la nature de celles que l'on a considérées à la lin du n" 156 ; d'un autre côté, il ne peut pas y avoir de point k commun à tous ces ensembles^ car un tel point appartiendrait à (X) et l'inégalité |/(/'") — ^ (A) | à y qui devrait, pour ce point, se trouver vraie, quel que fut j», pour une valeur de n supérieure à p, est incompatible avec la supposition lim. J], (A) =f[k). Soit (8^)

l'ensemble (fini ou clos) des points d'accunmlation communs à tous les ensembles B^, (p = i, 2,0, ...).

Tout point A- de cet ensemble (Bu) est un point d'accumulation de (X), appartenant, ou non, à (X). Un telpoint A est caractérisé par la propriété que voici : il y a des couples de nombres x, n dont le premier appartient à (X) et est aussi voisin de A qu'on le veut, dont le second est un nombre naturel aussi grand qu'on le veut, pour lesquels on a \f{x) — /„ {x) \ ^ a. Cet ensemble Bw dépend du nombre positif a ; pour marquer cette dépendance, désignons-le par 8(0 (a). Si ^j est un nombre positif plus petit que a, l'ensemble Boj (a) est contenu dans l'ensem])!:; Bw {[y)- Soit (bL) l'ensemble des points qui appartiennent à quelque ensemble Cu (a) 011 a est un nombre positif : en d'autres termes, un point h de (Bu) est caractérisé par cela même (ju'il correspond au nombre A un nombre positif a tel que A appartienne à l'ensemble précédemment défini 8u> (a). C'est aux points de(8'oj)quc se manifeste, en quelque sorte le

ClfAl'ITIU-: V. CONVEUOENCE L'MIOItMi; 9.S7

(It'l'aiit (riuiilnniiil('' dans la cunvor^M'iice cU; la snilc /\(.i-), /'.(.r), ... (v'cllr l'i csl iiiiilni iiK'iiH'iil coinci-^'.Mile dans Idiil ciisciiiMc (\ ), CDiiloiui dans (\).ilonl aniun point d'accnniulalion n"aj)|)arlicnt à (}.,'„). en [)arlicnlicr dans loul ensemble dus, cunlenu dans (\) (jui n'a aucun point commun a\ec(!-'.w).

180. — Supposons que l'ensenihlc (\) des valenis de ./• clans letpicl les loïKiions /'„ (.<) sont délerminées soit clos. Si la fonction J'i, (./•) est continue (n' 162) dans rensend)le (\) el si elle cunNci-i^e uniroruiéiucnt (même au sens lariic) \eis sa limite /" (.'), celle-ci est aussi continue dans l'ensemble (\).

Soit en clVet £ un nombre positif cpiclcon(|uc ; on pourr.i, en raison de la ccinvergencc unilorme, lui faire correspondre un nombre naturel ii tel que l'on ait. quels que soient les n(ind)res j:, X de l'enscud)lc (X),

puis, en raison de la continuité de la fonction /i, (./•), un nombre positif y;, assez petit pour (|uc l'on ait

sous la condition \x' — x | •< /;. Comme on a

on aura, sous la seule condition que x et x ap[)arlieiHient à l'ensembl • (\) et vrrilient l'inéi^alilc [ .// — A' | <C "^>

La continuité d(; la fonction y"(.r), dans l'ensemble (\) est démontrée.

Ainsi (ju'on l'a vu [)ar un exemple, cette continuité n'est pas assurée par la seule continuité des fonctions /], (./).

Dans le cas, signalé plus haut, où la fonction limite /"(.') fait partie de la suite y", (.c), y'^ (.'■), ..., le théorème précédent est un sim[)Ie truisme.

De même l'inégalité

1/. (^•; -/(■^') I â 1/. (•^•) -/(•'■) I + \JV) -A^-'. 1.

288 l>TlV0nUCT10N \ LA TIIÉOIUE DES FONCTIONS

poimct lie nionlror on supposanl Iqu jours que (\) soil clos et que la ronotion/;, (.r). continue clans (\), londc unifoiinéinenl vers sa limite /'(.»•). aussi continue dans (X), que, quel que soit le nombre positif 1, on peut lui faire correspondre un n()mlne positif v; cl nn nombre naturel n lois que l'on ait

Un [^-l-f {■■■') \<'^

pourvu que ./■ et ,;■' apparlionnont à l'ensoniLlo (\) et qu'on ait

La proposition qu'on vient d'établir est très importante ; il importe toutefois d'observer que, lorsqu'on suppose lim. y), (,c) =f{x),

et que l'on supi)0se continues les fonctions /]j (.c) (/i = i, 2, ...), la convergence uniforme de la suite /", (.r), /", (,r), ..., n'est pas une condition nécessaire pour la conlimiilc do la fonclion /'(.r).

181. — 11 convient de remarquer en passant qu'une fonction de X telle que/„(x), définie dans l'ensemble (X.) pour chaque valeur du nombre naturel n, est au fond une fonction de deux variables X et n définie pour chaque couple de nombres x et n dont le premier appartient à (X), le second à l'ensemble des nombres naturels. 11 est clair qu'on peut étendre quelque peu les notions qui précèdent en remplaçant ce dernier ensendjle par un autre ensemble. Considérons une fonction f[x, y) de deux variables, déterminée pour chaque couple de nombres x, y, dont le premier appartient à l'ensemble (X) et le second à l'ensemble (Y). Pour chaque valeur de y appartenant à l'ensemble (\), f[x, y) est une fonction de x déterminée dans (X). Soit h un point d'accumulation de (\) et supposons que x étant regardé comme un nombre déterminé, d'ailleurs quelconque, pourvu qu'il appartienne à l'ensemble (X), f(x, y) ait une limite pour y =z b, quand y s'approche de b en restant dans l'ensemble (Y), en sorte que l'on puisse, en désignant pary(a;) cette limite, déterminée ainsi pour chaque nombre j: de l'ensemble X), écrire l'égalité

lim./(a-, y) = f{x), y = b

à laquelle on donnera le sens du n" 151 ', J {^') peut être regardé