CHAPITRE V. CONVERGENCE UNIFORME

comme uni' rnuclion do ./ (li'-liiiic par colle l'^Mlil»'- (Liiislonsemble (\).

On pourra dire, on eiiloiidanl lotijours quo y s*ap[)rocliodc h en restant dans (Y) :

J{x, y) tend unlforniénient vers sa limite J'{j:) si à chaque nombre positif c, quelque petit qu'il soit, correspond un nombre positif /î tel que l'on ait \f{x, y) — f[x) \ < £, pour tout système de nombres (./•, y) dont le premier appartient à (X), dont le second appartient à (V) et vérifie la condition [y — b\ -< /;.

A côté de celte définition, on pourrait, comme au n*^ 179, placer une définition delà convergence uniforme « au sens large ». Au surplus, la plupart des [)ropositions et considérations développées au n° 179 pourraient être reprises de ce nouveau point de vue, je ne m'y arrêterai pas et je me contente de signaler, en raison de sa grande importance, le théorème correspondant à celui du n" 189.

La fonction /(.r, y) peut être regardée comme une fonction de X définie dans l'ensemble (X) pour trouver les valeurs de y qui appartiennent à l'ensemble (Y). Supposons que l'ensemble (X) soit clos et que, pour chaque valeur de y appartenant à l'ensemble (Y"), la fonction f(x, y), considérée comme une fonction de x, soit une fonction continue de x dans l'ensemble (X). Si f{x, y) tend uniformément vers sa limite /(a;) quand y s'approche du point d'accumulation b de (Y) en restant dans cet ensemble, on peut affirmer la continuité de la fonction / (a;) dans (X). La démonstration est la même qu'au n" 180.

Inversement, si f{x, y) est une fonction continue des deux variables ./;, y dans l'ensemble (XY) dont les éléments sont les couples de valeurs de x, y qui vérifient les conditions A ^ x' ^ A', B < y ^ B' ei si, en regardant x comme un nombre fixe de l'intervalle (A, A), on suppose que y, toujours assujetti à appartenir à 1 intervalle (B, B') tende vera une valeur y^, appartenant aussi à cet intervalle, il est clair que l'on aura

Yim J\x,y)=f{x,y,),

et que /(.r, j) tendra uniformément vers sa limite /(.r. jg) pour toutes les valeurs de .r qui a[)parliciiriont à rinicrvallc (\, A),

Tan!»kry I. — liilroiluclion k la Ibéorie des foliotions ly

[Miis(|tic. en vcrln de la di'linilion do la conlinuitc (n° 164) la dllVôrcnce /'(.'•, y) — f\.c, Vq) peut être supposée moindre en valeur absolue que tel nombre positif s que l'on voudra, pourvu que y — Vo soit moindre, en valeur absolue qu'un nombre positif >7, convenablement choisi, et cela, quelle que soit la valeur de x, pourvu qu'elle appartienne à l'intervalle (A, A').

Laissons de cùté celte généralisation, et revenons au cas de fonctions /i, (.f) déterminées dans un ensemble (X) pour chaque valeur du nombre naturel n.

182. — Considérons une suite infmie Ui, 1I2, .■■, «n, ••• de fonctions de x dont chacune est une fonction déterminée de a? dans l'ensemble (X) et supposons que, pour chaque valeur de x appartenant à cet ensemble, la série

soit convergente : la somme de cette série pourra être regardée comme une fonction /(.r) déterminée dans l'ensemble (X) et cette fonction pourra rire regardée, au sens qui a été expliqué au n" 179, comme la limilc, pour n infini, de la somme

fn(^

des n premiers termes de la série, somme qui est déterminée dans (X). Soit d'ailleurs R» =f{x) — Jn{x) le reste de la série limitée au n" terme ; R» est aussi une fonction de x déterminée dans (X).

La série [n] sera dite uniformément convergente dans (X) si à chaque nombre positif s on peut faire correspondre un nombre naturel /:* tel que l'on ait | R« | << s pour toutes les valeurs de x qui apparliennent à (X) et pour toutes les valeurs du nombre naturel n supérieures ou égales h p. Si la série (u) est uniformément convergente^ il en est de même de son reste R„, considéré comme la somme de la série u„ |. 1 h- «„ (. 0 -h . . . , et cela quel que soit n .

On définira, si l'on veut, la convergence uniforme, au sens large, en disant qu'à chaque nombre positifs doit correspondre un nombre naturel n tel que l'on ait | R„ [x) j <; c, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X).

Il n'y a aucune dillcrence, même au point de vue de la généralité, entre ces nolions el celles que l'on a exposées au n° 179, puisque,

ciiAirriu: v. — convergence lmfoume 291

iriiiir |i;ul. si l'on se tldiinc les foiiclioiis //,, il,, ..., tin, .... l'H peut en déduire les fonctions fi, f.., ..., /'„, et que, ti'aulre pari, si l'on se donne ces dernières ibnclions, on peut eu déduire les premières (n*^ 89), en sorte (jue les exemples donnés au n** 179, permettent de construire des séries (jui ne seront pas uniforuiémenl conver^^cnlcs, soit au sens large, soit au sens propre.

Si l'ensemble (\) est clos, si la série (a) est uniformément convergente, même au sens large, dans cet ensemble, et si ses termes «,, H^, ..., Un, ... sont des fonctions continues de x dans (X), il en sera de même des fonctions /"„(x';, sommes d'un nombre fini de CCS termes, et la somme f[x) de la série sera continue dans (X).