On a vil roiiiiiKMit la proprirlr fondanionlale
gx f y - g.r gy
de la fonction c'^ apparaît sur la série
Sur cette même snrie, la continuité apparaît aussi facilement (n" 184) ; enfin, les coefficients des diverses puissances de x étant positifs, on voil que e'' est une fonction croissante pour x positif; il
en est de même pour x négatif, à cause de l'égalité e— ^ = -^ ; quand
X croît de — oc à -f- oo , e' toujours positif, croît de o à + oo ;
e^, lorsque x croît par valeurs positives, croît plus vite que n'im-
q (x'] porte quel polynôme (j (x) ; on entend par là que le rapport "^j-
tend vers o ; il suffit, pour le voir, de remplacer &" par la somme des /) -i- I premiers termes de la série, en supposant p supérieur au degré de (j (x) ; on a ainsi une fraction rationnelle, plus grande
en valeur absolue que -~^ , et qui tend vers o. Cette dernière propriété s'étend évidemment à loute fonction de x qui serait définie par une série entière en x, convergente quel que soit x, et ayant ses coefficients positifs. On voit aussi que l'on a quelque soit le polynôme g {x)
lim- \q(x)e-''] = o.
On verrait de même que, quel que soit le nombre positif /n,
l'expression — ou x"'e— ^ tend vers o quand x augmente mdetiiu-
ment.
Il résulte de là qu'aucune relation de la forme
Ae** ) B?^ + ... 4- Le''^ + M = o,
où 7., fi, ..., / sont des constantes et A, B, ..., L, M des polynômes en X, ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de x. En effet, il est permis, sans diminuer la généralité, de supposer dans la relation précédente que tous les nombres 7.,^, ..., ). sont négatifs,
CHAlMIUr V. FONCTIONS KI.KMKMAIUF.S .'icj.J
puisqu'on r.iinrnLMMil l;i iclalinii iiicct-dciilr ,"i rc cas en <li\isaiil les (lt'ii\ mt'inhros ilc la rolali(»ii précédciih' par relie ilos fonclions e^' , c"""^.. ..., s'"'^. qui ciirresp.iihl au plus j^Mand des nombres
a. fj, /. On peut aussi supposer a <^ fj <^ ... ^C /.. En faisant
croître ./• indéliniuiont, on voit (juo si l'égalilé précédente était vraie, M de\rail tendre vers o. lela n'est [xjssible que si \l est identiquement nul ; en n)ulli[)liant ensuite l'idenlitc'' précédente par c' — Xx et en raisonnant de la même façon, on voit que L doit être identiquement nul. etc. En particulier, on voil (pi'il ne peut exister aucun polynôme J\.r, y) entier en ./• et v qui devienne nul pour toutes les valeurs de .'• ([uand on y renq)lace y par e'. c'est ce cju'on exprime en disant que c' n'est pas une fonction algébrique de ./•, (lu que r' est une fonction Iransrendanle.
192. — On appelle logarithme naturel ou logarithme népérien d'un nombre positif x l(i logarithme de ce nombre pris dans la base (' : le symbole log sera réservé désormais aux logarithmes naturels; on a air.si, par définition.
En désignant par log„ x le logarithme du nombre ./; dans la base a et en prenant les logarithmes naturels des deux mendjres de la formule
on trouve
, logjr
S"^ — log a'
et l'on voit comment on peut passer du système de logarithmes naturels à un système de logarithmes quelconques.
Le nombre 17, - , par lequel il faut multiplier les logarithmes
naturels pour avoir les logarithmes vulgaires (à base 10) est
(>n passe des logarithmes vulgaires aux logarithmes naturels en
Ti!«i«EfiT I — Introduction à la Ihiorie des fonction!! 20
3o6 INTUdlUCTION V T,.\ TIIKOUIF PES FONCTIONS
inullipliaiil les |iioini<Ms p;\i-
(valeur approchée par excès).
On a en désignant par m un nombre positif quelconque et en supposant que la variable x reste toujours positive,
lini. .r'" log .V r- o. lim. ~-~- = o :
comme on le voit de suite en posant x = e% et en faisant tendre z vers — GO ou vers -l- x . Le même changement de variable montre aisément que log x ne peut être une fonction algébrique de X.
L'identité
qui devient évidente en prenant les logarithmes naturels des deux meinliros, montre que l'on a, quel que soit le nombre positif a,
X los a (x loar aY
De cette égalité on déduit la suivante
n' — I , X (log n)2 = lo£f a -I — - — \- ...
(^logo)^
xf — ^ (log a)}'
dont le second membre est une fonction continue de x ; en faisant tendre x vers o, on voit que le second membre a pour limite log a ; telle est donc aussi la limite, pour aï = o, de
En remplaçant x par — et a par x, on arrive à la conclusion suivante : lorsque m augmente indéfiniment par valeurs naturelles, l'expression
où x est un nombre positif quelconque, a pour limite log x. Cette
cnAi'iTut: V. — FONCTIONS laHMENTAniES 3o-
propriéli' Ju lugaillliiiu' lu'jn'nt'ii n''[)riii(l ;'i la [)if)[)il('f(' île t" d'èlre la limiU' de
quand m augmente indéfininicnt.
193. — Soit.'.; un nombre positif |)lus petit que i en valeu.i abscjluc, on vient de voir qu'on a
log (i H- x) = Inn. ; ;
la quantité, dont il faut prendre la liniile pour c = o, n'est autre (n" 188) (pie la somme de la série
= (rr, z) = ï - (, - .-) ^' + (. - -■) (. - f ) ^ + ...
+ -.)-(.~=)(.-i)...(.~^-3rT)^'---
Or, si l'on désigne, par n. h deux nombres positifs dont le promier est plus petit que i, on voit de suite en comparant le//' terme au précédent, que la série à termes positifs
est convergente ; on en conclut que la fonction 'p (x, z) est continue dans l'ensendile (XZ) dont les éléments sont les couples de valeurs de ./;, r (jui vérifient les conditions | .c | ^ « I ~ 1 ^ ^•
En particulier la limite de sa somme, pour z ^= o, s'obtiendra en remplaçant simplement r par o dans les coefficients; on aura donc
(i) loiîfi +.r)=.?^ + :£.... + ( i)/^-!- + ....
Le second membre est encore convergent pour 5c = i ; il résulte d'une proposition qui sera établie plus tard que la somme de la série
III (— iV'— '
lMIU>nrCTI()\ A l.A TIIKOUIK. HKS FONCTIONS
osl l)i(Mi lot;- •) ; poiif .r = — i lo second iiUMiihjc de l't^^alih'' (i) csl une S('ii(* diveri^eiilt ; an surplus log ( i -f- x). [lour ./• - — i, n'a pas île sens.
Si dans la loiiuule ( i ) on remplace ./• par — ./•. (in Irouve, en supposant toujours | .^ ]■< i.
los ( I
on a donc
en rcMuplacanl dans celle fornuile .r par r. nn ohlient la for-
mule suivante qui, lorsqu'on y regarde n comme nn nombre naturel et h comme un nombre plus petit que i, permet de justifier la règle bien connue pour linterpolation el qui, lorsqu'on y iait /< = 1 , permet de calculer de proche en proche les logarithmes des nombres entiers
lo" (n -+- II) lo" /) = î! 7 -+- r,
(â/i + /t)' 5 (:in -+- II)-
194. — Lorsque .r est positif et plus petit que i, log (i -t- .-r) est compris enln* .r et ./■ (n" 137). On peut donc ecru-e
loL- (i +
X — Ox-,
0 étant une certaine fonction de x, dont la valeur reste comprise entre o et 7; en désignant par // un nombre naturel et en remplaçant dans cette formule .r par ~ el 0 par 0„, elle devient
log(/j + i;
d'où. en remplaçant successivement n par i, 2, ... et en ajoutant, ï
si l'on fait croître // indéfiniment, le second membre tend évidem-
CIIAl'iTIU: V. l'ONCTlO.VS KI.KMKN l'AlUKS .)(l()
iiKMil vers une liiiiilr, [)iii.s(|ii(' la s<'iic ^ '■. doiil les Icniics muiI,
posilils et inuiniln>s que les Iciincsdc la sciic ^ -:, es^t convergente. Le premier membre ou, si l on \eul, la (.lillércncc
lontl par ctinx'-iniciit vers iiiic liniilo, ('Niclrmmenl jiosilive. Celle liinilr [)(>rle If nom de c^nï^lanlc d'Iùiler : sa valeur est
G = (),r)773i5(J()/|()oi533...
( ]el imporlanl résnllal mel bien en lumière la [)()ssibilité d'ajiproclier il'nne limite {[uelcon([ue, en intervertissant lorflre îles termes de la série mm absolument converj^^ente ;
si l'on pose en ell'ct
S„ = V ' ^ log « + C -i- o (n), l>— '
on aura lim. c- (n) =^ o, puis
n = ce
— loir -t- loy 2 +0(2/1)— '^ ('0 — ^ ili)^
cl il est clair cpic si n dp augmentent indérmimcnl de façon que le rapport tende vei's une limite //, l;i limite du secoiul membre
sera lo"^ 2 -\- 1< >'j: h .
195. — On a[)[)elle cosinus hyperbolique^ sinus hyperbolique,
3lO 1>T1\0DICT10>' \ LA TU KOHI K DES FONCTIONS
lan^'cnte hyperbolique de x les fonctions définies par les fonnnles cli.r = — , sua; = ,
shar e^ — e~^
Ih
dix e'' -h e ~ ^ qui, en posant t'"^ = y, deviennent
cIkt r= - f y H — ). sli.c = - ( y — - 1. lli./- -= ^, .
■2 \' yl 2 y yj y- ^ i
Les fonctions û\x, dix, tli.r sont continues dans tout intervalle ; en se rappelant que lorsque j: croit de o à + x , y croit de i à H- 20 , on voit de suite, que dans les mêmes conditions, dur croit de I à H- X . sh./- de o à -l- x , th.r de o à i . Les fornuiles
eh ( — x) = cli.f, sli( — x) ^ — sli.T, tli( — x) = lliaf,
achèvent de faire connaître la façon dont varient ces mêmes fonctions quand x est négatif.
Des définitions de ces fonctions on tire de suite les relations
e^ = cli.r-}- sli.T, e^^= cha* — ûïx;
d'oîi l'on déduit
e^ + y = (cha- + sli.r) (chj H- shj) = ch [x -\- y) -+ sli {x -f- y). e~^~~" = (cli.r — sli.r) (clij — sîij) r^ cli x + y) — sh (.r — y);
en ajoutant, retranchant, divisant membre à membre, faisant j; =r — y, ..., on obtient
di (x + j) = du: cil y -I- sha; slij,
sh (x -+- y) = sh.Tchj -t- cha- slij,
., . , thx -h thy
^^(^ + y)=i+tha:th/
ûi'-x — sli^.r
cnAi'iTUi; V. — FONCTIONS Ei.i:Mi:NT.\im;s Notons cncoio les lonnulcs
cha- — I H 1 —
slirc =- h
i.:j.;5 \.-A.6.li.b " •■■' qui mellont aussi en évidence le sens de la variation de c1i.a-, sh .r.
196. — De l'étude des variations des fondions sh.r, iji.r, il résulte qu'il existe une valeur de ,/; et une seule (|ui lail acquérir à la première une valeur donnée r quelconque, à la seconde une valeur donnée - (•onq)ri>e (Milre — i et -f- i . ces \aleurssont respectivement
en donnant aux radicaux la sii^nification arithmétique : telles sont les Ibnctions inverses de sh.r, l\\ x ; ces fondions inverses sont du même signe que r et croissent, de — x à -i- >^ , quand -, pour la première, croît de — x à + x , et pour la seconde, de — i à -t- I. (^)uant àcli.c, il y a deux valeurs symétriques de x qui lui font acquérir une valeur donnée z, que l'on doit supposer plus grande que i ; la valeur positive est
log iz -+- v/z^— i),
en donnant toujours au radical sa signilication arithmétique : on peut choisir la fonction précédente comme étant la fonction inverse de cil X ; elle croit de o h -f- x , quand z croit de i à -h oo . Si l'on veuf rap[)eler l'origine des fonctions de z
log ' : - \^:^ + I j, log \/f^- ' log{z-^\/-J- i ),
que l'on vient de délinir. on pourra les désigner respectivement par les symboles
asli X, alh x, ach x.
197. — Une iiiélhndo analogue à celle que l'on a suivie au n" 189 pour obtenir l'expression de la limite de ( i -H - ) peut
3l2 INTUOniCTION A LA TIIÉOHIE DES FONGTIOS
scr\ir. ainsi (ju'lùilor l'a iiiundv \ ' , à tlôdtiircdcs propositions les plus élémcnlaircs de la IrigononicHiic les développements en série des fonctions cos ./• et sin ./■ ; tout en suivant la même marche, c'est à un jioint de vue im [)cu dill'crcnt que je me placerai.
On définit les fonctions sin x et cos j;, au début de la trigonométrie, par des considérations géométriques ; il y a un intérêt évident à introduire dans l'analyse le moins possible de données expérimentales, el il importe par conséquent de donner des fonctions sin .r el cos x une définition qui repose uniquement sur la notion de nombre et n'emprunte rien à l'idée d'es[)ace.
On établit encore par des considérations géométriques les formules
y cos [a -h 6) == cos a cos b — tiu a siii b,
' sui [a -\- b) =1 sin a cos b -h cos a slu b.
Je vais montrer (en supposant d'abord leur existence) comment on peut déterminer toutes les fonctions continues c; (;r), ^{j') qui jouissent des propriétés définies par les formules
et satisfont en outre à une autre condition cpii sera introduite plus tard.
Sij après avoir élevé au carré, on ajoute les équations {2] membre à membre, on obtient
Cette égalité montre que la fonction /(•'') = '^^ (x) -+- 'b- {x) jouit de la propriété /(./; -+- y) ^= f{x) x f {y) ; si on exclut le cas oi!i cette fonction serait identiquement nulle, on voit (n'J 177; qu'elle est de la iorme A', ou, ce qui revient au même, e'^, (j étant une certaine constante numérique.
Mais il est clair que, si les fonctions © (a"), 'b (./) jouissent des propriétés qu'expriment les équations (a), il en est de même des
fonctions e~'l^ <i> (x), e~î'-' <b (x) : si l'on pose
1/ ti .
e '1^ o (t') rz= cos x, e ï ' •!/ (x) ^r^ SMl X,
(') Inlroduclio in analysiu injiiiiloruin, -i 134.
CHAI'ITUE V. FONCTIONS KI.EMKM AlItLï» .) I J
Cil clc'siyiiaiil par cos .;• cl siii .»^ clrs loiiclidus tlont oii siipiiose sculcmenl (jii'cllcs sont cuiiliiiiics cl qu'elles salislonl aux équations (i), ou tlcMa, à cau>e delà lelalidU '^-(./.•) -h 'i>'' (.f) ^^ e"'', avoir
(3 sia- ./• -r tos- ./• ^ I ;
tout revient à déterminer les fonctions inconnues sin ./• et cos ./• |»iules relations (i) cl (3'. Si d'ailleurs on fait h = o dans les équations (i) et que Ion résolve par r;q)[)ort à cos o cl à sin o 1rs équations que l'on obtient, on trouve cos o= i, sin o o;
... . ... , sin ./•
j ajoute maintenant cette condition que le rap[iort , (piand on
lait tendre ,/• vers zéro, ait l'uiiilé pour limite.
L'application ré[)élée des formules (i) conduit, pai- un piocédc Ijicn connu, aux relations suivantes :
cos (a -t l> -h ... -{- l) = cos a cos h ... cos / j i — 1., -f- i:^ — ... I» sin [a -t- t -H ... -h /^ =: cos a cos 6 .. cos M-, — -j + -^ — ••• 1»
où, en sup[)usanl Ig .c mis pour abréger à la [»lacc de ' . on rcj.'arile 1,, 1,, X,, .... comme la somme, la somme des i)roduits deux à deux, la somme des produits trois à trois, .. , des quantités iL.'^a, l'^h, ..., {\:l; en supposant les quantités a, h^ ..., l en nombre égal à m, en les prenant toutes égales et en remplaçant
cnlin a par - , les formules précédentes deviennent (S :
-=,f,',(!!^^(,iy.^)/,3)(!<)'...
,„.'■ \ "'/ i ■ ■■'. \ inj\ mj^ mjl.i.ô.^
cos
.r cos'" —
1 \ mj \ mj 1.2.3
('; Cc> lurmiilcs, à la \<'rilû, n'aiiraiciil pas de sens si cos — élail nul ; mais on \a l'aire frrandir m indélinimenl ; quel que suit s, le nombre - linil [lar lic-
Les seconds inembics, quand on ) remplace [)ar : et m Ig — par n, doxionnenl respeilivonient
si r représente l'inverse d'un nombre naturel, les développements ainsi obtenus sont essentiellement limites : mais rien n'empêche de regarder z comme étant quelconque, les développements qui figurent dans les seconds membres comme des séries contenant une infinité de termes qui suivent la même loi que les termes écrits, el * (z, «), ^' {z,u) comme les sommes de ces séries, pourvu qu'elles soient convergentes : en regardant r comme l'inverse d'un nond^rc naturel, ces séries se réduiront aux développements limités que l'on a particulièrement en vue. Or, il résulte du n" 189 que si l'on désigne par A, B, des nombres positifs (|iielconr|ues satisfaisant à la condition AB <; i, les séries <1> {z, ii), H (z, a) seront absolument cl imiformémont convergentes, et représenteront des fonctions continues des deux variables z, îf dans l'ensemble (Zl) dont les éléments sont les couples de valeurs z, ii qui vérifient les conditions I r I ^ B, I u| ^ A ; si r tend vers o et n vers une limite ./;, les fonctions <I> (z, u), M' {z, u) tendront respectivement vers des limites que l'on obtiendra simplement en remplaçant dans les séries - par o et u par x, et qui seront
