i . zx

— 2 = X sm —

Z zx \ 2

a pour limite o quand r tend vers o, et en se reportantau théorème du n" 190, le résultat annoncé ressort immédiatement.

Si donc il existe des fonctions continues cos x, sin x vérifiant les équations fonctionnelles (i), (.')) et satisfaisant à la condition

lim. sm X ^ ^

elles doi\cnl être définies [)ar les formules

\ ? ('^^'-T^^ 1727374 -• [ ■^^•^)=^. - 77^:3 + T7r3Xr.

')l6 INTUODUCTION A I.V TIIKOIUI-: PKS FONCTIONS

cl il ne reste pins qn'à nionlier qne les fondions ainsi déiinies, satisfont ell'ectivenicnl à ces comlilions. On a d'aboid

. -!/ (jc) I X- x^

La série qui figure dans le secoml nicnihic csl al)st)linncnl et uniformément convergente; elle est donc continue pour loiile valeur de .'•, en particulier pour o, ce qui montre que le premier niend)re a pour limite l'unité quand ./; tend vers o. Notons en passant que cette proposition entraîne la suivante :

Si a, h sont des constantes quelconques, dont la seconde n'est

pas nulle, on a

liai. '1^ («•^) ^ « x:^ O <1/ {bxj ~ b '

en vertu de l'égalité

d/ (ax) a 'l (ax) lu

'!^ {bx) '- b ^ ax ^ 'l [bx)

L'application de la règle pour la multiplication des séries au\ fondions 'ji (.r\ 'i/ (,c), permet de vérifier sans [)eine les formules

Je ne m'arrêterai pas à dé\eliipper ces calculs, d'autant qu'ils sont aisés et qu'on aura plus lard l'occasion de déduire ces formules de la définition de '^ (x) et de 'J> {x) par une autre voie. Je me bornerai à montrer comment on peut établir la périodicité des fonctions ç; (.X) et 'i> (.r) en partant des formules (3) et (4). Il faut tout d'abord arriver à la notion du nombre -.