La série qui définit 'i/ (•'") [leul s'écrire

cirviTiHi; V. — lONCTioNS i';i.r:\ii:MAiui> .'W7

Idiili's |(^s (luaiilili'-^ «'iilic CKiclich Sdiil ('X idoiimiciil posilivcs

v'i II III ;v .r- <; ('» ol II fnrhori >\ lOii a | ./• | S '< ; ainsi 'l (./•) a

niic valeur loiijonrs positive si ./• est CDiiiinis ciilie o cl •> ; il eu

osl tic Hiriiic (1(^ si ./• est {.ompiis ciilio -— •> cl r ■>.. I) 1111

aulic ("(*>lc les tnrmulcs ( ,')) (Idriiienl sans peine ['«'galilé

qui inonlio que le premier nienil)re est toujours iK'^^atil si x cl .'• -i- // appartiennent;"! rinlervalle (o, '^j ; car alors ./; +- - ap[)ar-

lient a ce même inler\alle et - est cerlainement compris entre — I et ^- I : donc les deux facteurs qui llgurent dans le second membre sont positifs ; ainsi dans rinlervalle (o, -2) la fonction 'v (.r) est décroissante ; mais celte fonction se réduit à la valeur positive -+- I pour .r =: o : en l'écrivant sous la forme

i -^Jx i.-i.'6J\.b.{) I 7.cS

n — a) L' (/i« — i) [xn\

on voit que toutes les quantités entre crochets sont positives pour X = 2 et l'on constate que, pour la même valeur de x, la quantité

ï — — + .^ est négative: on en conclut o (2) < o. La fonction '^ (x-), continue et décroissante dans l'intervalle (o, 2), positive pour .'• =^ i). négali\epour ./; ^=: 2, admet donc une racine et une seule

com|)rise dans cet intervalle ; désignons la par -• La formule

montre que l'on a

cl la supposition 'l> (^'^\ = — I doit être exclue puisrpic la fonc-

3l8 IM'KOnUCTK»" A LA TIIÉOUIK DKS FONCTIONS

tion 'i/ i.r) Cï-l positive ciiln' u vl 2. Les fonmiles (3) donnent ensuite

^{^-^f) = - -^ i-'-). '^ (•^'- + ,') -^ ^ i^h d où

<h [x H- -) o (a; 4- 2-) =z o [x], 'h [x H- 3Tr) =r d/ (.r), etc

D'ailleurs les séries mêmes qui définissent © (x) et ^ (x) montrent que o (.c) est une fonction paire et 'b (x) une fonction impaire, c'està-dire que l'on a

o ( — rr) = o (.r). •!/ ( — .r) =: — 'l (a*) ;

par suite, les formules précédentes, par le chane:ement de se en — x, donnent

o (^^ - xj = -,l{-x)= .} (x),

le même

O (r .Tj r= O [x), <l (~ x] ^= 'h [x),

o (2TC — a^) = '^ (x), 'l (a- — .r) = — <h {.r).

De ces diverses formules, el do ce fait, établi plus haut, que la

fonction ç^ (./•) décroit de 1 à o qnand x croît de o à '-, on déduit

sans peine la façon doiil varient les fonctions o [x], ']i{x) ou cos x. sin ic, quand x varie dans un intervalle quelconque.

De la périodicité de ces fonctions, il est aisé de conclure qu'elles ne peuvent être des fonctions algébriques de x.

Cette périodicité montre aussi, lorsque x tend vers + x , ou vers — X , que ni cos x, ni sin ,/• ne peuxent tendre vers une limite.

Enfin les propositions établies aux n"" 30 et 31 montrent que si

le rapport -— est irrationnel, on peut trouver des nombres entiers aussi grands qu'on le veut, m et //, tels que l'égalité ma — 2nr. = b

ciivi'iTui: V. — idNcnoNs im.i.mixt.viiœs .jig

i<oil vt'iiliro avec ra|)|tni\iiii.ilii'ii (in'iui \(MiI : il «n scia ilc inriiic lies c^falilés C(»s ma =^ cos It, siii imi —-- siii //. Il en n'-iillc, en particulier, que lorsque /// croit iiuléliuinienl par \aleiu-.s eulirrcs. ni cos ma, ni sin ma ne peuvent av<>ii- de limites lors({ue n est incommensurable à ~.

199. — De ce que cos ./-est une fonction continue et décroissante dans l'intervalle o, iC) et qui vaiie de 4 1 à — i, il n'siillc que l'équation en y

( I o (v) ■= cos V = X,

admet, lorsque ./; appartient à l'iiilervalle ( — i, 1), une racine et une seule appartenant à l'intervalle (o, -) ; cette équation définit donc y comme une foiiclion continue cl décroissante de x dans l'intervalle ( — I, i); la valeur de cette fonction, qui sera désormais représentée par arc cos x (arc dont le cosinus est x), est toujours comprise entre o et ~. bornes qui sont atteintes pour ./• :^ i et ./• = — i ; toutes les solutions de l'équation (i) sont d'ailleurs données par la formule

y =. lut- dz arc cos x,

n étant un nombre entier quelconque.

On verra de même que, x étant toujours supposé appartenir à l'intervalle ( — i, i ', l'équation en y

{'■*') '\' (j) = siu y =^ X

admet une racine et une seule comprise entre — - et h- -. Cette équation délinit y comme une fonction continue et croissante de x dans l'intervalle ( — i. i) ; la valeur de cette fonction est toujours

compriseentre — 7 et + f"; ces bornes sont atteintes pour x^rrz — i et jç = -h I ; on représentera cette fonction par arc sin ,/• (arc dont le sinus est x) : toutes les solutions de réc[uation (-j) sont données par les formules

y =: 2fir -f- arc sin ./;, y = (an -h i)~ — arc sin .r,

n étant un nombre entier positif ou négatif.

320 IMUOOlCriON V F.A TIIKOIUK DKS FONCTIONS

\^n l'ialdiia sniis pcliic los Idiimilos

arc sin ( — x) -j- arr sin x = o, arc cos x ~\- arc cos ( — x) = ti.

arc sin X -f- arc cos x = "•

l'^iilin la foiiclioii tg .'• se dclinil [)ar la formulo

tff .T = ' :r^ ;

O [X) cos ce

les variations de cette jonction se déduisent sans peine des variations de sin x et de cos x ; elle croît de — x à ^- ce quand

X croit de — : ''^ : '■> elle est continue dans tout inlervalle auquel

n'appartient pas un nombre de la forme iv.n -h t) -, n étant un nombre entier positif ou néf,'atif. L'é([uation en y

(3) tg J'=:.r,

admet, quel que soit x. une racine et une seule comprise entre — -- et - ; cette équation définit y comme une fonction continue et croissante de ./• dans tout intervalle; cette fonction, dont la valeur est toujours comprise entre — - et H- - , se représente par arc tg x (arc dont la tangente est x] ; toutes les sobitions de l'écpiation (3) sont fournies par la formule

y = n- H- arc tg œ, n étant un nombre entier positif ou négatif; on a

arc tg {— x) -+- arc tg x = o, quel que soit ./', et

arc t<r x H- arc tg - = zb - .

suivant que .'; est positif ou négatif.

Il n'v a maintenant aucune ditriculté à établir les formules de la trigonométrie élémentaire, que je supposerai acquises désormais.