La méthode employée au n" 196 va nous conduire à de

CIIAPITUE V.

roNCTIO>iS tLKMENTAIllES

nouvelles et importantes expressions pour les fonctions trigonomé- Iriques (').

On a vu au n" 196 cpic les quantités

cos" -

cos" n

sont des j)olynomes par rap[)orl à la variable r = l<j; - . Si, par

exemple, n est impair, le premier polynôme est de degré n — i , le second de degré n ; les racines du second sont les valeurs de r pour lesquelles sin :c s'annule ; on les obtient en donnant à a, dans

rcx[)ression Ig -^ = r^, toutes les valeurs entières qui vont de

— — ; — à — - — ; en décomposant donc en facteurs le polynôme considéré (n"* 173), on aura la relation

ces" -

A est une constante dont on détermine immédiatement la valeur en divisant les deux membres par c^ = tg - et en faisant tendre x vers o. On parvient ainsi à la relation

cos" -

. = -Ji'-4)

cl Ton a démontré la seconde des deux formules qui suivent ; la première s'étal)lit de la même faron ; dans les deux on sup>posc impair le nombre n = 2 ?n -{- i .

cos" -

, (aa — Q-

Iff

sm X

cos" -

(I) Eller. — IiUrodaclio, etc., § 178.

TANNEnv I. — Introiluclion i la lliooile ilrs fondions

3aa

INTRODUCTION A L.V TllKOniE DES FONCTIONS

Je rcgaiilerai dans ces formules x coinine une constante, en excluant, pour un nionicnt, le cas où x serait un multiple impair

de-, al'in cpiil n'v ait pas de valeur de n poiu' larpiclle cos -

soit nul et les l'ornuiles privées de signification.

On va maintenant supposer que n grandisse indéfiniment : les premiers membres tendront respectivement vers cos x et sin x. Considérons la seconde formule par exemple, ou plutôt le produit de tn facteurs.

11 est tout naturel de lui applicpier le théorème du n" 186, analogue, pour les produits, à la proposition II du n" 183. Le nombre

r est égal à m = — ; — , la cpianlitc Vx ('») est

\(Ti

dont la limite l'a, pour m ou n infini est