CHAPITRE V. FONCTIONS KLEMENTAinES SaS
en désignant par ). une constante que l'on détermine par la condition
^ T^. > . ou ., ., >
° n II- '^ Il
celte condition sera certainement vérifiée si Ion a
^ ^ > tg' -
puisque " est un nombre positif, plus petit que ^, cl que l'on a par
conséquent, tg — >> — ('). Or, pourvu qu'on prenne /. >> i, l'inégalité finit par être vérifiée à partir d'inio valeur iM -\- i âe n. comme on le voit en l'écrivant sous la forme
ig^?
et en se rappelant que le second membre, quand n augmente indéfiniment, a une limite égale à i.
L'existence de la série ^ a, étant établie, il n'y a plus qu'à appliquer le tbéorème que l'on a rappelé tout à l'heure, et il est clair que l'on parvient ainsi à la relation
en se rc[)orlant à la signification du premier membre, en changeant X en ::.'• el en remplaçant y. par n, on voit qu'on a établi la seconde des deux formules qui suivent ; la première s'établirait de la mèuie façon :
lU' - FI)] '"""1 '-■■'■
(') L'inégalilc Ig x > t, pour x posilif, plus petit que ^ est bien connue ilii
cos -./■ =
324 INTRODUCTION A I.V TIll£UniE DES FONCTIONS
A la Yorilé. si l'on se rappelle la rcsliiclion faite au début sur la valeur de.r. on voit que la seconde formule n'est établie que lorsque
X n'est pas un multiple impair de - ; mais le dernier membre est,
comme le premier, une fonction continue do; dans tout intervalle : si Ton fait tendre x vers une valeur exclue, les deux membres ne peuvent tendre que vers une môme limite. La seconde égalité est établie dans tous les cas (').
201. — En conservant les mêmes notations que dans le numéro . , . 1 , cos ./' sin ./• précèdent, on voit que le quotient — — de -. par ::;, est une
cos"
cos"
fraction rationnelle en r ;= tg -, dont le numérateur est de degré
pair n — i et le dénominateur de degré impair n ; on connaît les racines Ta du dénominateur : en appliquant donc à la fraction rationnelle, la formule de décomposition en éléments simples (n" 174),
COS .'ï'
on voit que -• — ^ peut se mettre sous la forme i sin X '■
Aa désignant une constante dont la valeur est évidemment la limite vers laquelle tend, lorsque r s'approche de r», le produit du second membre par z — Zx ou, ce qui revient au même, la limite de
cos x X or:
sin X \ ^ n ^ n
X ar:
ces - ces —
lorsque x s'approche de y-. Dans ces conditions, le premier factcur du second membre tend vers -; quant au second facteur,
lecteur. Il n'v a pas tic difficullc à rétablir sur les séries qui définissent sin x et cos X.
(') Il est aisé d'en déduire la première en y changeant x en x + - •
ciiAiMian V. — roNCTiONS i';mcmentaii\es 325
en Y faisant ./• = y." t- h et en lalsanl tendre h vers o, on voit île île qu'il tond Ners : on a donc Aa = —, puis
„ — I /i cos- - Ig t g —
OU, en mettant à part la fraction qui correspond à la valeur y. = o, et en réunissant les fractions qui correspondent à deux valeurs symétricjucs de 7.,
cos X
■in Ig-
SUl X
'-Ti ^ = ^
( n $m — — cos^ —
En posant n
= -im + I, et
I cos X
, X sni X n tg j^
211 tg -
^ Il
on peut encore écrire
/ . aTr\'' , a- / xy'
n sin — ) — cos- — /( ty: - \ " / n \ '- n)
la première expression de S {m), montre que la limite de cette
. , • f- • ' / 1 cos ./• \ , , ,
quantité pour n ou m inlini est — — — -■ ; quant a la seconde
i A IX \x sin X I 1
elle est préparée pour a[)pliqucr la proposition II du n" 183 ; le nombre /• est ici égal à m, et l'on a
. ar\'^ ., ar / xV ;
n SUl — — cos- — /( tg -
lim. i'a("0-=-i-rzrH
3l>G IMRODICTION A L.V TUÉoniE DES FO.NCTIONS
X doit, coninic dans le numéro précédent, cire regardé comme un nombre fixe.
On exclura les valeurs de .'■ qui seraient des multiples de " afin
d'éviter, dune part, les valeurs de n qui rendent tg *- infinie, et,
d'autre part, les termes infinis dans la série > v^,, laquelle, pour
les valeurs ds x autres que les multiples de -, est absolument convergente.
L'application de la proposition II du n" 183 conduira évidemment ù la formule
S = lini. S,„ = >
ni = y.
cette application sera légitime dès que l'on aura prouvé l'existence
dune série conver":ente ^, a, dont les termes soient des nombres
positifs, tels que Ton ail, au moins à partir d'une certaine valeur de y., I f'a {m) g a^.
Observonsd'abordque,lorsque.restcomprisentreoet f, —7^ est
- •plus grand que i — ,. et par suite que - ; il en résulte que l'on a,
quels que soient les nombres naturels /i et a ■< 7 ,
. a-r:\- ., rj- / ^ xY ^ rt.-r.- I ^ x
n sm — — cos- —/(!,<?-) ^ — .— — /( l" -
Puisque n tg - a pour limite x quand n augmente indéfiniment,
il existe un nombre positif impair 2^1 H- 1 tel que l'on ait sous la condition m ^ M,
en désignant par A un nombre supérieur à | .r | . Si donc on ne considère que des valeurs de m supérieures à M, on aura
/( sm — — COS- — /( ti>; - ■> — ; A-,
CIIAPITUE V. FONCTIONS Él.KMEN TAIUES 327
le premier membre sera, a foi-dOri, plus grand que ly.-T.', pourvu nue l'on ait À <1 , — 'i^- ■ Supposons qu'on ail cli'teriuinr unnoniNro
naturel fi tri que le second membre de cetle dernière int'-galité soit positif, pour a = ^j, et (ju'on choisisse ). inférieur à la valeur de ce second mendie pour a -- ^, l'inégalité subsistera pour a ]> ^j. Dans ces conditions, en siq)[iosant m ;> M, a >> fj, on aura
. >» Àa---, 0 -< l'a ,//i) < -— 7-r,
et l'on pourra donc prendre a^ = ^^^ . L'application de la proposition II du n" 183 e?t légitimée et il est par là même démontré que l'on a
2X \X tg Xj —
c'est, sauf le changement de x en ./■- et de a en n, la première des formules qui suivent ; les autres s'obtiennent de même par la décomposition en éléments simples des (raclions rationnelles en r qiii sont
respectivement é"rales aux quantités — ^> —■ , et par 1 applica-
lion de la même proposition. Les seconds membres sont des séries absolument et uniformément convergentes dans tout intervalle qui ne contient pas une valeur de :c qui rende un terme iniini. Dans un tel intervalle la série qui figure au second membre est une fonction continue de x. Le fait que la première formule par exemple, subsiste pour les valeurs de x qui sont des multiples impairs
de -, exclues dans la démonstration, résulte de la continuité.
T. col
- tg
l IN'
SUl
0 28 INTROnrcnON a T.V. théorie des FO^CTIO^'S
Au reste les cleii\ dernières formules se déduiseiil 1res simplement de la première, en se servant des relations
tjr -.,• = col ".'• — :< col -A-x.
I ~.r -. = col COt -.r (').
Cl n ^- I' •> ^ '
202. — Les formules que l'on vient d'établir sont très précieuses parce qu'elles mettent en évidence des propriétés des fonctions sin .r, cos .r, tg .r qui n'apparaissent pas, au moins de suite, sur les séries que l'on a prises comme définition.
Considérons, par exemple, la formule
sinr.x = r..r JJ (i - ^"j;
tout d'abord elle met en évidence les valeurs de x pour lesquelles sin X s'annule ; elle permet aussi, pour une valeur donnée de x, de reconnaître le signe de sin ûx ; si, en effet, on suppose x positif et si l'on désigne par p la partie entière de x, ou pourra écrire
ln.:r = .:rl\ h - ~) X {[
tous les facteurs du produit infini sont positifs ; ce produit est
lui-même positif; les p facteurs qui figurent dans | | | i — '-^]
sont négatifs ; on voit donc que sin nx est du signe de ( — i)'' ; en s'appuyantsur ceque la fonction sin -r est impaire, on voit aisément que ce résultat est vrai, quel que soit le signe de x, pourvu que p désigne la partie entière (positive, nulle ou négative) du nombre x.
(') J'ai reproduit dans l'introduction des Elêinenls de la Théorie des fonctions elliptiques {i. I, p. loi), une autre démonstration, due à M. Darboux, des for- Jnules établies dans les deux derniers numéros, et même de formules plus générales. Cette démonstration est particulièrement adaptée au cas où la variable x tst imaginaire.
CHAPiTur. V. — rONCTiONS i':r.i';MENTAiuES 329
La pcrlodicilé de la fonction sin -.'•. (jn'il a fallu (|iiclquc elTorl pour t'tablir au n" 198, s'apcrruil sans peine sur le i)ro(luil infini, qui nionlre que sin - /• esl la limite, pour n infini, du produit
1 — X :>. — ./■ Il — ./• r -t- ./■ 'i + ./• n ~h .r
en clianircant dans celte formide x en x h- i, on trouve de suite
La limite du second membre, pour n infini, est — i ; on a donc
sin 7t (j* + ^) =^ — sin r.x
et, par conséquent,
sin TT (ic H- 2) =: sin ~:r :
Ainsi la fonction sin rx se reproduit quand on y remplace x par X -h 2-
Des conclusions analogues s'obtiendraient évidemment sur le produit infini qui donne l'expression de cos tix. Je me borne à remarquer, sur ce produit infini, qu'il met en évidence le sens de
la variation de cos t:x quand x croît de o à 7 ; en effet, on voit de suite que, dans ces conditions, chaque facteur du produit infini est positif et décroît ; on en conclut aisément que le produit infini
est lui-même positif et décroissant ; quand .r croît de o à 7, cos r.x décroît de i à o. De la périodicité de cos t:x, et des formules
cos -X = cos - ( — :r), cos •:: (1 — .r) =^ — cos r.x,
qui résultent très aisémont de la considération du produit infini, on déduit ensuite sans peine le sens de la variation de cos zx, et par suite de sin t.x, dans n'importe quel inteivalle.
Sur l'expression de sin ~x on reconnaît aussi que la fonction
■ ^..'' , à laquelle on peut pour x = o attribuer la valeur i, décroît quand x varie de o à i .
ooo
Sans doulo tous ces résultats sont bien familiers au lecteur ; pcut-iMrc élail-il cependant utile de lui montrer, sur im exemple simple, connnent certaines propriétés des fonctions se groupent en quelque sorte autour de certaines expressions de ces fonctions. Les considérations si aisées que je viens d'indiquer à propos des fonctions circulaires s'appliquent d'ailleurs à des fonctions plus compliquées.
.Te ferai encore, sur l'expression de cot ~x comme somme d'une inimité de fractions rationnelles, une observation qu'il serait aisé de répéter, en faisant les changements convenables, sur les exprèscomme produits in-
, on voit qu'on peut
sin TT.r o finis ou sommes de fractions rationnelles. 2.r I
sions de sin r.x, cos r.x, lis ou sommes de fraction
En remplaçant ., Jj — ^ par
-x = [un. I - +
ecruc
- cot
mais les séries dont les jf^ termes sont ^. » . .
génies, il faut bien se garder d'écrire (n" 101).
étant diver-
T. cet T.X
j'aurai l'occasion de montrer plus tard comment ces formules, qui sont dénuées de sens, peuvent être remplacées par d'autres qui s'en rapprochent beaucoup, mais dont l'emjjloi est légitime, et comment l'expression
ClIAl'ITtlE V. FONCTIONS ÉLKMENTAIUES 33 1
peut tendre vers lollc liiiiile qu'on vcul quand n el m grandissent ind(Tiniincnl.
203. — J'ap|>liqucrai encore le théorème II du n° 126 à la démonstration de l'identité w
OÙ Y désigne un nondjrc })lus petit (pie r en valeur absolue et x un nombre quelconque, autre que o. Les règles que l'on a données dans le chapitre m permettent de reconnaître immédiatement que les produits infinis et la série qui figurent dans les deux membres sont absolument convergents.
Soit, en désignant par /• un nombre naturel quelconque,
/„ (r) = (I + f/:r) (, + rj\r) ... (l + rf-" ^ '.,■)
X (r + rj.r-^) (i -^ ryV-') ... (i -+.f"-Kc-').
Il est clair que l'expression /'„ (.c) peut se mettre sous la forme J" ./■) r^ (7„ -\- ai{x -h x — ^)-h (u (.r- -(- .r - 2) + ... + a„ x" -h x'"),
OÙ a^,, ai, ..., Gn sont des polynômes en q que je vais d'abord déterminer ; on aurait pu aussi bien écrire
en convenant de supposer aa ^ « a- On a é\idemment a„ ■= q"' . En changeant x en q-x dans la première expression de/ur), on parvient de suite à la relation
(0 {qr-^ q-'") f„ (qKr) = ( I 4- q'" ^ 'x) /. (x),
qui. en rem[)la(;ant y*„(.Ti,y„ (q'x) par leurs expressions ordonnées suivant les puissances de x et égalant dans les deux membres les coedicienls de x', fournit une relation entre Ox etr/a^ i, à savoir
a, fl, , q ________ ^
