î iMnoDLcrioN a la Tiii:oniE des fo.nctions

d'où l'on dcdult

et, en particulier pour a = n, en se rappelant que a„ est égal à y""

et, par suite

Oa

On reconnaît de suite que le second membre garde la même valeur quand on change a en — a.

Regardons maintenant'/ et x comme des nombres donnes ; dans l'égalité

où a^, rt,, ...,a„onL les valeurs que l'on déduit de l'expression de '<a en y faisant a = o, i, ..., n, faisons tendre n vers H- x ; dans l'expression

(l —ry^n + ga + a) (i ,y2„ + 2a-f4\ ... (, — ryt")

le dénominateur a pour limite la valeur du produit convergent

Il (i — y-"), et la limite du numérateur est i, à cause de la

convergence du même produit ; on a donc

llIn. fl^ ix^

et l'on sera certain que la limite, pour n infini, de/, (x) est la somme de la série dont on vient d'écrire le terme de rang a H- i , dès que l'on connaîtra une série convergente

Ao -+- Al + .. H- Aa -î- ....

ClIAl'ITUE V. rONCTIONS KI.KMENTAinrS "•?)3

dont les termes soient des nond^n-s positifs, tels que l'on ;iil, pour toutes les valeurs de n et de a,

I n^ (./•'' + .r - ') I ^ Aj :

en désignant par x' et t/ les valeurs absolues de x et de tj il suHira de prendre

Il est donc bien démontre que l'on a

en posant

l/(.r = lim. /,.(.t)= Il (,+ry^"-'.-)X J]' (r + 7^" " '-^ - ') 1 " = y.

Voici quelques propriétés de la fonction /(./;) ('), ou de la fonction ^ </""./■", qui n'en dilTèrc que par un facteur indépendant de x :

(') Cette fonction joue un rôle considoraljlo clans la tlic-oric des fonctions cllij)liqncs ; et c'est dans cette théorie f|ue la portée de la proposition précédente apparaît nettement : Voir, par exemple, le tome II des hJléinents déjà cilés, cpii est presque entièrement consacré à cette fonction, et qtii est loin d'en contenir toutes les propriétés. J-a dc'monslralion qu'on vient de lire, qui est duc à M. BiEHLEit, mais dont le principe appartient à Caucliy, s'y trouve page lo.