CHAPITRE YI

DERIVEES

DliFlMTlO.NS. CALCUL DES DLRINÉES

204. — Lorsqu'on veut étudier la marche d'une fonction donnée y(j.). continue dans un intervalle [a, h), il est naturel de comparer les variations de la fonction aux variations de x, et de considérer les rapports tels que

oiJ Xq, a'i sont des valeurs de x qui appartiennent à l'intorvalle considéré et où le dénominateur x^ — x^^, le numérateur y IX',) — f(^o)> peuvent être regardés comme les accroissements respectifs de la variable x et de la fonction y (x) quand on passe de la valeur x^ à la valeur Xi. Un tel rapport est, en quelque sorte, l'accroissement moyen, ou, si l'on veut, le taux de l'accroissement, quand on passe de la valeur x^ à la valeur Xi. Observons de suite que le polynôme du premier degré en x

qui prend pour x = x^ et x = Xi les mêmes valeurs que la fonction f{x), est une fonction de x qui a le même accroissement moyen que la fonction /'x).

Imaginons, en supposant a <C. h, qu'on ail partagé Tinter-

336 INTnonUCTlON A. LA THÉORIE PES FONCTIONS

valle ((7i b) (Ml inloivallcs partiels, en inlercalanl entre a el 6 des nombres croissants et supposons, par exemple, qu'on ait

On peut, en intercalant entre a et 6 assez de nombres suffisamment rap[)rochés, faire en sorte que, dans chaque intervalle partiel, l'écart de la fonction y (,r) soit très petit (n° 162) : si donc on considère une fonction F (x), dont la valeur, lorsque x appartient à 1 intervalle [xi, x, ^ i) [i = o, i, 2, ... n — i], soit égale à celle du polynôme du premier degré en x

celte fonction F (./•), qui est évidemment continue dans l'intervalle (a, b), et qui coïncide avec /(•') pour les valeurs .r^, Xi, ..., Xn de X différera toujours très peu de f{x) ; elle pourra être regardée comme une expression approchée def{x), pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits.

Si l'on se place au point de vue géométrique qui a été expliqué au n° 172, et si l'on convient de regarder comme une courbe, représentative de la fonction f{x), l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x, y vérifient l'équation y z^f[x), lorsque x varie de a à b, la substitution de la fonction F (./•) à la fonction fix) reviendra à substituer à cette courbe la ligne brisée dont les sommets successifs sont les points dont les coordonnées sont respectivement x^, y^ ; Xi, Vj ; ... ; Xn, v„, en posant

y- = f(x) (i = O, I, 2, ... II).

La ligne brisée s'écartera très peu de la courbe. On est ainsi amené à considérer lex expressions de la forme

qui sont les coefficients angulaires des cùtés de la ligne brisée, pour des valeurs Xi, Xi + i qui diffèrent très peu.

Plaçons-nous à un point de vue légèrement différent : soit f[x) une fonction définie pour les valeurs de x voisines de ./'o, ou, comme l'on dit, aux environs de Xq ; j'entends par là qu'on