CHAPITRE VI. DÉFINITIONS. CVT.CLL DES DÉRIVKRS
peut fixer un intervalle (./'o — y., ji^-\- a) dont .r^ soil le contre, et dans lequel la fonction /(./■) soit définie : il en sera évidcniuiciil ainsi toutes les fois que le point .i\ sera inlcriciir à un inler\alle où la fonction /(•'•) est délinie. Si l'on désigne par // un nombre au plus éiral en valeur absolue à a, en sorte que la (onction /*(./•) soit définie pour x^ -+- h, et si l'on regarde ce nombre // comme un accroissement donné à la valeur x^ de la variable '•, l'accroissement correspondant de la fonction /(x-) sera/(.Co -t- //), et le rapport
sera l'accroissement moyen de la fonction f{j: , quand on passe de a'o à Jq -+- h. La connaissance de ce rapport, pour les petites valeurs de h, renseigne sur l'allure de la fonctioa/(a:) au voisinage de Xq ; si l'on savait, par exemple, ([u'il est toujours positif, lorsque h est moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, on saurait que la fonction est croissante pour x = .r, (n" 167).
Le précédent rapport peut être considéré comme une fonction de la variable h, définie pour toutes les valeurs de h qui satisfont aux conditions o <C \ h \ < 7., ou, si l'on veut, pour toutes les valeurs de h, autres que o, qui appartiennent à l'intervalle ( — v., a). Ces valeurs forment un ensemble (-"Kî), dont le point o. qui ne lui appartient pas, est un point d'accumulation.
Supposons maintenant que la fonction /(•'■) soit continue au point Xq ; lorsque le dénominateur h du rapport tend vers o, il en est de même du numérateur /(./-^ + /t) — / (j;^), en vertu de la continuité; si, dans ces conditions, le rapport tend vers une limite, si, en d'autres termes, il existe un nombre \o, tel qu'on ait, au sens qu'on a expliqué au ii" 151,
Mm
on dit que la fonction /(j;) admet une dcrirce pour x = Xg et la valeur de cette dérivée n'est autre que le nombre Xq.
En se reportant au n" 151 et à la signification attribuée au mot limite, on voit que cette définition peut être remplacée par la suivante.
TA.'t.fERT I. — Introduction à la théorie des fonctions 22
Dire que la fonclion /(.r) admet la dérivée X^ pour .r = rc^» c'est dire qu'à chaque nombre positif ;. si petit (ju'il soit, correspond un nombre positif/; tel que l'on ait, sous les conditions o < i A 1 < y;
L'existence de la limite X^ suppose évidemment la continuité de la fonction en j\^, puisque l'inéyallié qui précède entraîne celle-ci
|/(.r„ + /.)-/(.r,)|<|/, I X(1XJ+e),
qui montre bien clairement que la différence /(.r^ + h) — /(-^o) peut être supposée aussi petite qu'on voudra, en valeur absolue, pourvu que h soit lui-même suffisamment petit, en valeur absolue. Lors donc qu'on sera assuré de l'existence de la limite Xq, on sera, par cela même, assuré de la continuité de la fonction. Les égalités
,. a'' — I , ,. sin /(
iun. — , =lo"6f, tim. — i — = I,
dont la première suppose a >> o, peuvent être interprétées en disant que les fonctions a'", sin x, ont pour x = o des dérivées égales respectivement à log n el i.
205. — 11 convient maintenant de dire quelques mots du cas où, malgré la continuité de la fonction f{x) pour x = x^, la limite Xq n'existerait pas.
On a dit plus haut que, si la fonclion f{x) était définie dans l'intervalle (xq — a, x^ -+- y.), la fonction de h
V A) Ti —
était définie dans un ensemble (-"K!), qui n'est autre que l'Intervalle ( — a, a) d'où l'on aurait exclu le point o, lequel est évidemment un point d'accumulation de l'ensemble (•'ÏC).
Soit £ un nombre positif, moindre que a et soit 8 (î) l'ensemble des valeurs distinctes que prend la fonction ^(h) quand on suppose
CIIVI'ITUE M. I)i:i IMTKJNS. CAIXLI- DES DEUIVKES .'ijg
o << /t g £. Si l'on suppose (pic la loiuiinn ':, {h) soil Ijornce dans rcnscmblc ('5C), l'ensemble 8 (i) esl aussi borné ; on voit de suite que cet ensemble satisfait aux conditions du n'^ 156, et qu'il existe un ensemble P. (o) comprenant un nombre lini ou infini de points /.• dont cbacnn jouit de la [)ro[)riélé siiivanlc : il y a des valeurs de h aussi petites qu'on le veut, en valeur absolue, et pour
lesquelles le rapport -^-iL» 'i J-}^ esl aussi voisin de /.• qu'on
le veut.
Considérons, par exemple, la fonction x sin ; elle n'est pas
délinic pour ./• — - o : attribuons lui, pour x = o, la valeur o ; elle esl alors définie pour toutes les valeurs do la variable et, comme il est aisé de le voir, continue pour cliacunc de ces valeurs, en particulier pour x = o. La fonction '^i (/;), en prenant x^ ■= o,
se réduit ici à sin j ; elle ne tend vers aucune limite quand h tend
vers o, et il est aise de reconnaître que l'ensemble 8 (o) coïncide avec l'intervalle ( — i, -h i).
Au lieu de considérer à la fois toutes les valeurs de h qui satisfont à la condition o •< | A | ^ c, on peut considérer à part les valeurs positives et les valeurs négatives qui vérifient cette condition, puis les deux ensembles 8i {i), 8^ (£) dont l'une est l'ensemble des valeurs distinctes que prend o (h) pour les valeurs de h qui satisfont aux conditions o <i h ^ î, et le second l'ensemble des valeurs distinctes que prend '> [h) pour les valeurs de h qui satisfont aux conditions — i ^ h <i O', ces deux ensembles, dont la réunion constitue 8 (s), donnent naissance à des ensembles 8i (o), 8^ (o) ; cliacun des points k du premier, par exemple, jouit de la propriété suivante : il y a des valeurs positives de h, aussi petites qu'on le veut, pour lesquelles o (h) difTère de /.• aussi peu qu'on le veut. On donne quelquefois aux bornes supérieure et inférieure de l'ensemble 8i (o), qui font partie de cet ensemble (n" 156) les noms de dérivées supérieure et inférieure à droite delà fonction /'(j;), pour X =^ Xq] de même les bornes inférieure et supérieure de l'ensemble 8^ (o) seront les dérivées inférieure et supérieure à gaucbe de la fonction f{x) pour x = x^. Ces quatre dérivées existent toujours pourvu (pie l'ensemble 8 (î) soit borne pour une valeur suffisamment petite de i. Il est presque inutile de
v>.|0 INTnODlCTION A L\ TllKORlE DES FONCTIONS
dire qu'elles se récluiscnl, comme les ensembles F. (o^, 8, (o), 8^ (o), an seul nombre Xp, quand h\ dérivée, au vrai sens du mot, existe. Dans la considération de l'ensemble 8i (i), les Yaleuis de la fonction s •Jt) pour les valeurs négatives de h, ou de la fonction y*(.r) pour les valeurs de x plus petites que .r„, n'interviennent pas : en sorte que, pour parler de cet ensemble, il n'est pas nécessaire de supposer que la fonction /(.c) soit définie dans tout l'intervalle [j'q — a, vCj H- a), mais seulement dans l'intervalle [x^, x^ -+- a). On dit que la fonction /(x) admet une dérivée à droite, pour X = Xo, quand l'ensemble 8, (o) se réduit à un seul point, ou ce qui revient au même, quand le rapport
tend vers une limite lorsque h tend vers o par valeurs positives. De même, en supposant que la fonction f{x) soit définie dans rintervalle ix^ — a, Xy), on dira qu'elle admet une dérivée à gaucbe, pour x =^ x^, quand le précédent rapport tend vers une limite lorsque h tend vers o par valeurs négatives ; s'il en est ainsi l'ensemble 8^ (o) se réduit à un seul point.
Enfin, quand l'ensemble 8i (ê) n'est pas borné en liant, par exemple, pour aucune valeur positive de -, il peut bien exister encore un ensemble 8i (o) de points k dont cbacun jouit de la propriété qu'on vient d'expliquer, mais on peut en outre affirmer qu'il y a des valeurs positives de ■ aussi petites que l'on veut, pour lesquelles o (h) est aussi grand qu'on le veut : c'est ce qu'on exprime en disant que la dérivée supérieure à droite de la fonction f{x), pour X = .Ty, est égale à H- x . Le cas où la dérivée inférieure à droite, ou à gauche, serait égale à — x s'expliquerait de la même façon.
Enfin, je remarque que les notions précédentes peuvent s'appliquer à une fonction /(.r) définie, non plus dans un intervalle, mais dans un ensemble clos (X) : si Xy est un point d'accumulation de cet ensemble, pour lequel la fonction /(x) soit continue, l'a considération des valeurs que prend l'expression
cii.vriTRF. VI. — Di;ri>iTio>s. c.vLCur, des df.uivkes o^i
pour les valeurs tic ./• f|ui aj)[)arlicnnciil à l'ensemble (\) et qui sont voisines de x^, conduira, connue tout à l'iicure^ à la notion des dérivées supérieures i»u inférieures, à droite et à gauche, de la fonction y(./) au point x^. Je n'auiai pas l'occasion d'utiliser celle dernière extension, et en parlant de la dérivée d'une fonction, il sera toujours sous-entendu qu'il s'agit d'une fonction déterminée dans un intervalle. Même dans ce cas, les notions des dérivées supérieures ou inférieures, à droite et à gauche, n'interviendront guère dans la suite du [)réscnt Livre; je ne les ai données que pour mettre en lumière ce qu'a de restrictif la supposition de l'existence d'une dérivée ; sauf avis contraire, quand je parlerai d'une fonction /(,r) admettant une dérivée pour x = x^, le mot dérivée sera entendu avec la signification du n*^ 204, qui suppose d'une part l'existence des dérivées à droite et à gauche (sans autre épithète), c'est-à-dire l'existence de limites vers lesquelles tendent respectivement les rapports
■/•(-^o+/0-./(-^oi /(•-•o-M-/rO
quand h tend vers o par valeurs positives et, d'autre part, l'égalité de ces deux limites.
Toutefois ces dernières notions de dérivées à droite ou à gauche (sans autre épithète) interviendront naturellement quand x^ est l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle (a, b) où la fonction /(x) est déterminée ; si a est la borne inférieure, quand on parlera de la dérivée en a, c'est la dérivée à droite que l'on entendra, puisqu'il ne doit pas être question des valeurs de x moindres que a ; de même, en parlant delà dérivée en b, c'est la dérivée à gauche que l'on entend, puisqu'il ne doit pas être question des valeurs de x supérieures à b.
206. — Considérons maintenant une fonction / (x), continue dans l'intervalle (a, 6) ; supposons qu'elle admette une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle et autre que ses bornes : on est bien alors, pour une telle valeur, dans le cas du n" 204, puisque la fonction /(x) est continue pour cette valeur, et défmie aux environs. On pourra dire alors que la fonction f {x) admet une dérivée à l'intérieur de l'intervalle [a, b), et celte dérivée
3'|2 rs'TRODUCTION A L.V TUKORIE DES FONCTIONS
sera une fc>ncli»Mi de .r, /(.r), définie pour loiilos les valeurs de x qui vérilient les conditions « <[ .r <; h. Si .r^ est une telle valeur, le rapport
est une fonction de // dédnic pour toutes les valeurs de h, autres que o, qui appartiennent à l'intervalle (« — Xq, h — j-^) ; pour h = o, attribuons-lui la valeur limite/' [xq) ; -p {h) sera alors une fonction définie dans tout l'intervalle (a — .'"o, ^ — Xq)\ ce sera une fonction continue dans tout cet intervalle ; elle est en effet continue pour /* = o, d'après la convention qu'on vient d'adopter, elle est continue pour chacune des autres valeurs de h, puisqu'elle est le quotient de deux fonctions continues dont la seconde n'est pas nulle i n°'^ 162, 170).
Si, en outre, les fonctions de h
admettent des limites quand /i tend vers o par valeurs positives; si, pour employer le langage du numéro précédent, la fonction y* (jc) admet une dérivée à droite en a, une dérivée à gauche en b, on dira que la fonction f{x) admet une dérivée dans tout l'intervalle (a, h).
Si on appelle courbe l'ensemhle des points du plan dont les coordonnées x, y vérifient l'équation y = f{x), quand x varie de a à b, on dira alors que cette courbe admet une tangente en chacun de ces points, et le coefficient angulaire de la tangente sera précisément la valeur de la dérivée pour l'abscisse x^ du point considéré. Il est manifestement la limite du coefficient angulaire de la droite qui joint le point d'abscisse Xq au point d'abscisse x^ + h quand // tend vers o ('). Toutefois, l'ensemble de points considéré ne mérite guère le nom de courbe que si l'on ajoute aux suppositions déjà faites, la supposition que la dérivée est une fonction continue dans l'intervalle (a, b), au moins en général.
Si la fonction y = /{-c), continue dans l'intervalle (a, b) admet
(<) Le lecteur interprétera tic suite la signification géométrique de la dérivée i droite ou à gauche.
r.II.VIMTIlE VI. ni':FIMT10>-S. CALCUL DES DÉniVLES .'5/(3
une déiivéo clans col inlervallc, on a d'il plus haut que celle dérivée élail une fonclion de :/; délinicdan? cet intervalle, c'est \a fonction dcrivcc ; on la représente habituellement par l'un ou l'autre des symboles
/(.r). if^l D,/,.r). /, %. I),J.
Il peut se faire que Ja fonclion y'= f {■'') soit continue dans l'intervalle [a, b) ou dans une partie de cet intervalle, et quelle y admette elle-même une dérivée ; on représentera celle-ci par
f"i.r), ^, D;/(x), /. g. my.
Celle nouvelle fonction prend le nom de dérivée seconde de la fonction proposée / (.r) ; on arrivera de mt-me à la notion des dérivées troisième, quatrième, .,., /i% que l'on représentera par quelqu'un des symboles,
cPf(x)
d'^/Lr) .
mi')'
dx^ '
mj. .
La classe des fonctions qui admcltcnt des dérivées n'est sans doute qu'une faible pailie des fondions conlinues ; c'est toutefois à celle classe de fonctions qu'il convient de s'allacher dans les éléments, en raison de leur simplicité. Ce n'est guère qu'à ces fonctions que j'aurai affaire. Toutefois, le cas où une fonclion qui a, en général, une dérivée se trouve ne pas en avoir pour quelques valeurs [)arti(ulières de la variable se rencontre assez fréquemment.
207. — ( )n a dérmi au n" 173 le polynôme dérivé d'un polynôme/'(./•) comme le coeflicient de /t dans le développement de f (:c -4- //) ordonné suivant les puissances de // ; il suffit de se raj)pelcr qu'un polynôme en h est une fonction continue de li pour rc-
connaîlie que ce polynôme dérivé du polynôme y' (j:) n'est autre que la dérivée du premier ordre de/(j:), au sens du n° 204.
J'observe à ce propos que si l'on désigne par .r'. A' les valeurs absolues de x et de // ; on aura
Ti I = h'
on le voit de suite en supposant que les deux membres soient respectivement ordonnés suivant les puissances de h et de //', on voit de plus, sur la même forme, que Ton a
nx^* ^ \ <C —
