Considérons, comme au n" 184, une série entière en x
a^ -i- rtj X + .., + fl„ .r" + ..,,
qui reste convergente quand on remplace tous les coefficients numériques flo, «1, ..., a„, ... par leurs valeurs absolues ao, a', ..., a'„, ... et la variable x par le nombre positif A ; cette série est absolument convergente pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — A, A), et sa somme définit dans cet intervalle une fonction continue / {x)
Soit Xq une valeur de x telle que l'on ait
le rapport
sera défini pour toutes les valeurs de /;, autres que o, qui satisfont à la condition /t' = | /t | ^ B, en désignant par B le nombre positif A — x\^ ; la valeur de ce rapport sera égale à la somme de la
série convergente
n= ce
dont les termes sont inférieurs ou égaux aux termes correspon-
CIIAPIinK \I. DKFIMTIONS. CALCLI. DES DKUIVIŒS 0\0
danls, tous posilits, de la série convergenlc
(=^) 2^ "" "ir
et, « fortiori, Inférieurs ou égaux aux termes, tous positifs, de la
série également convergente
Les relations d'inégalité entre les termes correspondants de ces séries, vraies pourvu que h no soit pas nul et vérifie la condition /t' < B, subsistent rpiand on attribue, pour /t == o, à la fonction de h
qui n'est pas définie pour h ^= o, sa valeur limite n:r]l~^ ; mais cette fonction devient alors une fonction continue de /t dans l'intervalle ( — B,B) : La série ( i) est, dans cet intervalle, uniformément convergente (n" 183) ; sa somme est une fonction continue de //, dont lu valeur pour // = o s'obtient simplement en remplaçant h par o dans
cbaque terme, c'est-à-dire en remplaçant ^"—^ , -^ par
//./,'y"~' ; cette valeur est donc la somme de la série
> nrin .7-,
dont il est certain, par la démonstration même, qu'elle est absolument convergente, puisque ses termes sont moindres, en valeur absolue, que les termes correspondants de la série (3).
Ainsi la fonction /(./•) a une dérivée à l'intérieur de l'intervaJlc ( — A, A) et cette dérivée est la somme de la série absolument convergente
/' (x) = a^ -h 2a^ ./• + 3«., x- -^ ... -|- nn,, ar"— ' ^ ...
o:(b INTRODUCTION A LA. TIIlîOUIE DES FONCTIONS
dont les Ici'mes sont respectivement les dérivées des ternies de la sériey(a^i. Si A' désigne un nombre positif", aussi voisin qu'on voudra de A. mais plus petit, la sériey"(.c) reste convergente, d'après ce qu'on vient de dire, quand on remplace les coefficients numériques par leurs valeurs absolues et x par A' ; on peut donc raisonner sur cette série f (.r) et sur l'intervalle ( — A', A') comme on a fait sur la série/ [x] et rinlervollc ( — A, A}. La fonction f {x) a donc une dérivée, à l'intérieur de l'intervalle ( — A', A), et par conséquent à l'intérieur de l'intervalle ( — A, A), puisque A' diffère de A aussi peu qu'on le veut : cette dérivée est la somme de la série
/" yX) =z 1.2 a., -f- 2.3 a.jX -h ... -f- (n — i) na„ .r" — ^ -+. ...,
absolument convergente pourvu que Ion ait ./;'"< A; il est clair que l'on peut continuer ainsi indéfiniment . la série
H- (/( — p -h i) ',/i — p-h 2)... na„x" — '' -h ...,
est absolument convergente pour toute valeur de x intérieure ù l'intervalle ( — A, A) et sa somme est la dérivée p'\ f -^ (x), de la fonction /(;c), A l'intérieur de cet intervalle, la fonction /(a) a donc des dérivées de tous les ordres.
L'expression de la dérivée />" montre que l'on a
en sorte que la série proposée peut s'écrire sous la forme
c'est la généralisation manifeste d'une formule du 11" 173, relative •aux polynômes.
Si, en particulier, la fonction f{x) est une function entière (n° 184>, A peut être pris aussi grand qu'on le veut. Une fonction entlère/i.r) admet, dans tout intervalle, des dérivées de tous les ordres qui se déduisent delà séi'ie qui définit celte fonction /(x) par les règles qu'on vient d'expliquer.
