Tel est le cas pour les fondions

e"", sin ./•, cos ./•, sli ./•, cli .r,

dont les dérivées, comme on le reconnaît immédiatement par l'application de la règle précédente, sont respcctivcrnenl

e^, cos ./■, — sin .»•, rli ./■, sli ./■.

La dérivée n" de e' est e'^ ; celles de sin :r, cos :r sont respectivement sin (.'• + 4~) ^^^ cos ( Jr- H — ^'j, celles de sli x et cli a; sont respectivement cli x et sh ,/% on sh .x et cli x, suivant que n est impair ou pair.

Les relations

^^ l ^ = / loir i -+- , = T. -h o-, ••••

(.r-f-//)'" — .r'" \ X ,,l '» I mim— l)/t

[Hl I

oiî dans la seconde ni est un nombre quelconque, où l'on suppose dans toutes les deux, pour qu'elles soient valables, a? > o, | /i | <C x, montrent, puisque les derniers membres sont des fonctions continues de A, pour h = o, que les dérivées respectives de log x et de

X'" sont respectivement - et mx

210. — On a utilisé, pour ces divers exemples, les développements en série établis dans le cliapitre précédent ; le lecteur trouvera dans les divers livres qui traitent de la matière d'autres procédés pour obtenir les dérivées des fonctions simples que l'on a considérées dans les derniers paragraphes; il démontrera sans peine les propositions suivantes où ii, v, u\ . . désignent des fonctions de la variable x, en nombre fini, admettant, pour toutes les valeurs de X qui appartiennent à un intervalle (a, b) des dérivées u', v', w' , ...

Si A, n, C, ... désignent des constantes, la fonction de .c

V = Ah -t- Bi' + Ciij -t- ...

aJnicllrn, clans l'inlervalle considéré, une dérivée et celte dérivée sera

y' = Au' -h lie' 4- Gif' -+-....

La fonction

r = uv

admet, dans le même inlervalle, une dérivée, et cette dérivée est

v' r= (i'i; -(- uv' .

On peut encore écrire

Si l'on désigne sous le nom de dérivée logarithmique d'une fonction le rapport de la dérivée de cette fonction à la fonction elle-même, on peut donc dire que la dérivée logarithmique d'un produit de deux facteurs est égale à la somme des dérivées logarithmiques de ces facteurs ; cette proposition s'étend au cas de trois, quatre, ... facteurs : elle est générale.

Par exemple, si l'on suppose

y = UV1V on aura, en désignant par y' la dérivée de y

ou

= u'vw -+- uv'iv -h u

Si l'on suppose

y = u'", m étant un nombre entier positif, on aura

ou

y' = ma">~ hi'.

CIIAI'IÏUE VI. DÉIIMTIONS. CALCUL DES DÉRIVÉES .'î/jQ

La fonctidii

adiiicl uno dérivée pour loiilcs les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, h) et rpii n'anuident pas v; celte dérivée est

On déduit de là inimédialenient que la dérivée logaritlimique d'un rapport est égale à la dilTérence entre la dérivée logarillnuique du numérateur et la dérivée logaritlunicjue du dénoniinalcur.

En particulier si l'on suppose y = a" "'= — , m étant un nombre naturel, on aura

ce qui permet d'étendre aux exposants entiers négatifs une règle établie précédemment pour les exposants entiers et positifs.

Je signalerai encore les deux formules suivantes où m désigne un nombre naturel et où figurent les dérivées des fonctions u, v, jusqu'à l'ordre m dans la première, jusqu'à l'ordre m -f- i dans la seconde. Il est à peine utile de dire qu'on suppose l'existence de ces dérivées. Les symboles D'", D placés en tète du premier membre signifie la dérivée m", ou première, de la quantité placée entre parenthèses, ou entre crochets.

D[^ll("')u — u("'-')i;' -!-«('"- ')v" ...+( — l)'"-'u')j('«-l)-(-(i)»'yy(m)l

La vérification de la seconde est immédiate. La première où, dans le second membre, les coeilicienls num('ri([ues suivent la même loi que dans le développement de la puissance m" d'un binôme, s'établit sans peine par induction.

211. — En appliquant la règle relative à un rapport, on trouve

que la dérivée de

sin X

tg X =■■

° cos X

35o INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

est

sin- .r H- cos- .r i , ,

= — ,— —I + tg- ic.

cos- X cos-'

pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas cos .x. De m(?nie, la tlcrivée de

est

les dérivées de

sont respectivement

cot

cos :r sin .*■

siu-

,, sh .r r

cil X tli .r

= I — lU-

eh* X ' sh- X lll- X

On sait donc trouver les dérivées des fonctions entières ou rationnelles, des fonctions 5c", à', sin x, cos x, sh x, ch -r, log x et d& celles qu'on déduit de ces fonctions par addition, multiplication, division, élévation aux: puissances entières. J'établirai dans les deux numéros qui suivent deux théorèmes qui permettent d'obtenir les dérivées des fonctions obtenues par d'autres combinaisons de ces fonctions simples.

212. — Soit a "= f{x) une fonction de x admettant une dérivée u dans l'intervalle (a, h) ; soient A et B les limites inférieure ot supérieure de la fonction ii dans cet intervalle ; regardons pour un instant ii comme une variable indépendante et soit o («) une fonction de celte variable admettant une dérivée ç' [a) ; dans l'intervalle (A, B) ; il est clair qu'à chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b) correspond une valeur de u appartenant à l'intervalle (A, B) et par conséquent une valeur de c- («) : en ce sens © (it) peut donc être regardé comme une fonction de x définie dansl'intervalle (a, b) ; je vais montrer qu'elle admet une dérivée égale à '^' [u) X II! .

CIIArMTHE VI, lil'iriMTIONS. CALCUL DES DÉUIVÉES 35i

Considérons, en elTet, une valeur parliculièrc x\ appartenant à l'intervalle (Vz, h) ; soit u^ =f(.r^) la valeur correspondante de la première fonction. Si l'on donne à x un accroissement h, la fonction » prendra un accroissement /i ■=/(.ro H- /j) — f{^o) • il s'agit de montrer ([ue, lorsque // tend vcis zéro, le rapport

fK + A-)— ?(»„)

tend vers ime limite, et d'évaluer cette limite.

Supposons d'abord que, pour les valeurs de | h \ inférieures à un certain nombre positif/^, k ne soit pas nul, sauf pour h = o, le précédent rapport pourra s'écrire

o{ii^ H- h) — o(»„) /.•

li II

Si l'on fait tendre h vers o, k tend aussi vers o, à cause de la continuité de la fonction u, et le facteur

tend, par définilion. vers la valeur ii\ de la dérivée n' de la fonction n = f {.!'), qui correspond à la valeur x^ de la variable ; le premier facteur

a un sens pourvu que l'on ait o << | /i | -< /; ", lorsque h tend vers o, il en est de même de /,-, et le rapport a pour limite la valeur 'v' (»„) de la dérivée 'y' (a) pour ii = «o '■> ^^ dérivée de la fonction c-i») de X, prise par rapport à x, est donc le produit de la dérivée de la fonction o{ii), prise par rapport à », par la dérivée de », prise par rapport à x.

Cete proposition subsiste dans le cas exclu, le cas où, pour les valeurs de (h) inférieures à n'importe quel nombre positif, il y aurait toujours des valeurs nulles de k.

Soit alors, en désignant i>ar r, un nombre positif, (II) l'ensemble des valeurs de h pour lesquelles ou a o <i\h\<Cr,; soient (II) l'ensemble des valeurs de h qui vérifient ces inégalités et pour les-

quelles /.• esl nul, et (II") l'ensemble des valeurs de h qui vérifient ces inégalités et poui* lesquelles /«• n'est pas nul, en sorte que l'on a (II) := (H') -h (H"). Par hypothèse, o est un point d'accumulation de (ÏTkt de (II)- On jicut se bornera examiner le cas où o est aussi un poinldaccumulalion de (11') ; si, en ell'ct, il n'en était pas ainsi, les valeurs de h sudisamnient voisines de o ne pourraient appartenir à (H'i, elles appartiendraient donc à (H ) ; en d'autres termes /,• serait nul, pourvu que /( fût sullisamment voisin de o ; dans le voisinage dex^, la fonction ii = f{x) serait constante ; il en serait de même de la fonction ^ («), regardée comme une fonction de x : le théorème serait évident. Supposons donc que o soit un point d'accumulation de (H), ainsi que de (11). Tout d'abord, il est clair que u^' est nul ; en effet, quand h reste dans l'ensemble (H'), Il =f{xQ 4- /() — fiXo) est nul, on a donc

lim. /(--fo + 11) — JM ^ Q .

l'existence de la dérivée/' (x) étant admise, il faut bien que li =/' (Xy) soit nul. Il suffit donc, pour établir la proposition énoncée, de montrer que l'on a

11m. ?("o + /■•) — -fC'O

on supposant que h appartienne à (II). Or le raisonnement primitif, fondé sur l'égalité

?("o -^ 1^) — ?(»(,) cp(»o + /i) — cpf»,) A:

h — k ^ ir

subsiste lorsque h appartient à (II), et il en résulte qu'on peut faire correspondre à chaque nombre positif s un nombre y;, -< y; Ici que l'on ait

■f»o + /.-) — cp(»o) h

sous la condition que A appartienne à (11") et que l'on ait | h ]<;■/;, mais l'inégalité à démontrer subsiste d'elle-même, si h appartient à (H'), puisque, alors. A- est nul : elle subsiste pourvu que l'on ait o ■< 1 /< I <<7;i ; et la proposition énoncée est établie.

(IIAPlTUr M. l)l';i INITIONS. CALCUL DES DKRlVtF.S *^53

Ce théorème s'étend sans difriniltc; si, en conservant les notalions

précédentes on désigne jmr A,, lî, les limites inférieure flMiix'iicnrc

de la fonction 'j; (/;)dans l'intervalle \,B) rolalifà la variahle // cl (|iio,

en posant »' = '^ (»)> fn C(>nsi(l(''reune fonction •]/ (c) de la variahle /-

^di^etlan^ une dérivée 'V (c) dans l'inlcrvalle (A,, li, i rclalil ;i l,i

varial)le ?', on pourra regarder 'i;(i') comme une fonction de ./•;

celle fonction admettra unç dérivée dans l'intervalle (a, h) et celle - , ; , -f^Mïooi r:;ii

dérivée sera .,

etc.. ^ oici quelques applications :

La formule cos x := sin I „ — ;''j montre que l'on peut regarder cos ./' comme le sinus de la variable u = ~ — j- ; la dérivée de

cos X est donc égale à la dérivée de sin ii = sin (7 — .7) par rapport à II, c'est-à-dire cos u = cos (~ — x), multipliée par la dérivée de Uj c'est-à-dire — i ; la dérivée de cos x est donc — sin x , on relie ainsi des résultats établis précédemment.

Si II désigne une fonction de x, admettant une dérivée 11 , les dérivées des fonctions a", log u, 11'", considérées comme des fonctions do X, seront a"u log a, -, ina'"~^ii, puisque les dérivées

de n^, log X, x'" sont n^ \oga, -, rnx'" ~^.

Relativement aux fonctions log «, iV", on doit supposer que, pour les valeurs de ./• appartenant à l'intervalle considéré, u reste positif ; toutefois celle restriction ne serait pas nécessaire pour u'", si m était égal à une fraction irréductible à dénominateur impair ; en convenant de prendre

si u était négatif. Dans ce cas encore, la règle de dérivation serait la même.

213. — Soit /'(y) une fonction de la variable y admettant, dans l'intervalle (A. B). une dérivée / (y) ; considérons l'équation J (y) "^ ^' ^^ supposons qu'il y ait une fonclioii continue o [x), con-

TikNRBRT l — lotroduction à la théorie d>>a fonctioDS 23

354 INTRODUCTION A I.A. THEOniE DES FONCTIONS

linue dans l'inlcivallc(a, />), dont les bornes inférieure et supérieure relatives à cet inlervalle soient comprises entre A et li, telle enfin que, X étant une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a, b), la valeur de /(y) soit égale à x lorsqu'on remplace y par dix); une telle fonction existera certainement (n" 169) si la fonction /(y) est croissante dans l'intervalle (A, B) et si l'on prend a =y'(A), b =/(B). Je vais montrer que la ibncliou y = '/(J^'). dite/o/ic//on inverse de la fonction /(j), admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, 6) et qui n'annulent pasy^(^y) : cette dérivée est

Considérons, on effet, une valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b) et la valeur correspondante de y ; si l'on donne à x un accroissement h, la fonction y =; y (a;) prendra un accroissement k = <y{x -{- h) — ç/ [x) et l'on aura /(y) == x, f{y + A') = x -+- A : ces deux; égalités montrent d'abord que l'on ne peut avoir A- = o sans que h soit nul ; on en tire d'ailleurs

A cause de la continuité de la fonction s [x], A tend vers zéi'O en même temps que h; dans ces conditions, le premier membre tend vers la limitey^(y) ; si donc cette limite n'est pas nulle, le rapport

A o ( j + A) — cp (.r) h — ' Il

aura pour limite «-ryv lorsque h tendra vers zéro. C'est ce qu'il

fallait démontrer.

Ainsi le logarithme naturel y d'un nombre positif x peut être défini par l'équation ev =x ; la dérivée y' de log x est donc l'inverse de la dérivée de e'J par rapport à j et Ton a

Les fonctions u arc sin x, v = arc cos x, w = arc tg x ont

ciiArirar vi, — i>r:iiNmi)\s. (-ai.ci r, i)i:s Di'iuvi'rs 365 étc dôlinies au ii ' 199 ; clh^s vâilical rcspcrlivcnicnt les équalions

sin H = .r, cos v = x, tg jy = x, 011 on conclut (jiio leurs tléiivécs sont respectivement

„' ^ ' ' ^ ^/ ^ 2^ ^ — ^ jy/ i

cos/; ^/j __ ,.3* sin/' ' ./, ^.j ' i -+- .r- '

pour les tleu\ [)remièrcs, le radical tloil être pris avec sa signification arilliuiétique, puisque les arcs n et v doivent être compris

l'un entre — ^ ^t + -, l'autre entre o et ~ : en sorte que cos ii et sin i' sont certainement positifs.

214. — On peut évidemment combiner la règle qu'on vioi.t d'établir avec celle qui concerne les fonctions de fonction.

Si, par exemple, une fonction continue ç/(«) vérifie l'équation /{y) = n, pour toutes les valeurs de u comprises entre a et h, et si u est une fonction // (x) qui admette une dérivée dans l'intervalle (a, fl>), et qui reste, pour cet intervalle, comprise enirc a et b, il est clair que la fonction J= 'f [^ (./")], vérifiera l'équation f(y) = g (./•) pour les valeurs de x comprises entre a et 1^, et

a' (x) admettra la dérivée ■; ', pour celles de ces valeurs qui n'annu-

J (Jj ^

leront pas/' (y).

Désignons, par exemple, par P et Q deux polynômes en x et considérons l'équation

lo } — () '

En conservant au symbole arc tg la signification adoptée au n"* 199, toutes les solutions de cette équation (en y) sont données par la formule

V = arc tg ^ -h n tt,

n étant un entier arbitraire ; mais il importe d'observer que la fonction arc tg .-< , évidemment continue pour les valeurs de x telles

l\TI\OniT.TION A L\ TIIFORIE DES FONCTIONS

que la fraction rationnelle ^^ soit continue, pentn être pas continue

pour les valeurs de ./• qui annulent Q :

Soit a une telle valeur, qui peut d'ailleurs annuler aussi le polvnome P ('); il y a l'eu de distinguer divers cas : il peut se

ÏA\Yc que, .r s'approchant de 7., la fraction tende vers une limite,

c'est ce cpii arrivera lorsque a sera pour le polynôme P une racine d'un ordre de nniltiplicité égal ou supérieur à l'ordre de multiplicité de celte même racine pour le polynôme Q ; rien n'empêchera

d'attribuer à - celle valeur liinilc pour .r = a; dès lors, — et

arc tg - seront des fonctions continues de x pour x = y..

S'il en est aulieiuent. c'est que. lorsque x s'approche de a.

augmente Indériniment ; il peut ariiver trois cas :

1° Lorsque x croît et traverse la valeur a, ^ conserve le même

signe ; on attribuera alors à arc tg , pour x

r/., la valeur

-t- - ou — -, suivant que, pour les valeurs de x voisines de a, ,-,

est positif ou négalif; arc tg v^- sera ime fonction continue de x

pour x z=z rj,.

2° Lorsque x croît et traversa la valeur a, -. passe de — oc à

H- ce . Alors, pour les valeurs de x un peu plus petites que a,

arc tg r. est voisin de — '", et pour les valeurs de x un peu plus

Grandes, arc tfr - est voisin de + - ; afin que la fonction arc t£( o c Q a * ^l

soit toujours définie, convenons de lui attribuer la valeur h — "-, pour

3" Dans les mêmes conditions - passe de H- x à — x ; pour

les valeurs de x un peu plus petites que y., arc tg ^ est voisin de

(M On ] ourrait écarter celle sii|)j)osilion, en supprimant les fadeurs coninimis à !', 'J.

CIIAPirnE VI. nÉKIMTIONS. CALCUL DKS I>KI\IVÉi:S 'S')"]

+ -- ; polir los v;ilctiis do ,/• un jxmi plus grandes que 7., arc Ig -

est voisin do — -; convenons de lui allribuer celle valeur pour

X TTTZ 7..

On pourra faire en sorte rpic re\[)rossion

. arc tg - -h II-

représente une fonction foiilinue de ./;, pour toutes les valeurs de cette variable, en regardant n comtnc une Ibnclion de .r, qui n'adniclte d'ailleurs que des valeurs entières et satisfasse aux conditions suivantes : elle roslc constante à l'intérieur de tout inler-

|P valle où la fonction arc tg ^ est continue, en adoptant les conventions

précédentes ; elle diminue brusquement d'une unité, ou augmente

brusquement d'une unité, lorsque x croissant, la fonction arc tg -^

augmente, ou diminue, de t: ; en sorte que cette fonction n ne cliange que lorsque x traverse en croissant une valeur a qui fait

P passer de — oc à -t- x , ou de -i- oo à — oo : pour x =^ a, la

fonction n prend alors une valeur inférieure ou supérieure d'une

unité à celle qu'elle avait pour ./■ un |)eu plus petit que a, et garde,

pour ./■ un peu plus grand que a, la même valeur que pour x = a

En d'autres termes encore, si l'on suppose X[ >> X2 et si l'on

désigne par Hi, n^ les valeurs de n qui correspondent à JCi, x.^, la

différence n^ — /i, s'obtient en considérant celles des racines a

de l'équation Q = o qui vérifient les conditions Xy <i 7. % x>, et

p en retrancliant du nombre de ces racines pour lesquelles pr passe

de H- X) à — ce , le nombre de celles pour lesquelles ^ passe de

— X à H- X . Si Xi est une racine du polynôme Q pour Incpiollc

Q ne change pas de signe, il n'y a pas heu de s'en occuper.

Ces conventions, qui compensent la discontinuité de la fonction

arc tg , , fixent entlèromenl la valeur do la Ibnclion discontinue n,

pourvu que l'on se donne la \alcur /i„ de celte lonclion pour une valeur Xq de x. L'entier n^ peut être choisi arbitrairement.

358 INTRODUCTION A LA TllKOHIE TES lONCTlOÎSS

La l'onction continue arc tg 4- n-, ain.si définie, pourra, si

P l'on veut, être représentée par un svnibole tel cpie Arclg , c'est

l)icn unarcdonllalangcnleestcgale à . mais il est indispensable

de le distinguer de la fonction arclg ., toujours comprise entre

^et-t-^, et non définie pour les valeurs de x qui rendent

infinie la fraction r^.

Par exemple, on pourra délinir la fonction Arc tg , pour toutes les valeurs de x, en posant

Arc Ig - = arc ty; + /( -,

cl en supposant n ^= o jioiu" x nul ou positif, cl n = i pour x négatif; pour x = o. Arc tg - doit d'après les conventions précédentes être priségalà ". On a alors Arc Ig - = '" — arc tg x.

Pour une valeur de x qui n'annule pas Q, la dérivée de

P la fonction Arc Ig ^ est, d'après le numéro précédent, égale à