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devra attribuer à -^>- ^^^ sa valeur limite.

Les détails dans lesquels je Aiens d'entrer me permettent de me borner au simple énoncé de la proposition que voici, qui est analogue ;ila précédente, mais dont la démonstration est plus facile en raison de la simplicité des résultats.

Si a est un nombre positif, il y a une fonction y de x qui vérifie, pour toutes les valeurs de x, l'équation

ig y := a tg .r,

qui est continue pour toutes les valeurs de x, et qui s'annule pour

CIIAPITHE VI. FOnMUI.E DES ACCROISSEMENTS IIMS SOq

X z=:i o; il n'y a (railleurs ({n'unc fonction r[ui satisfasse à ces conditions : sa valeur est égale à celle de .'; toutes les fuis que x est uu multiple entier de - ; si x est compris entre deux multiples

entiers consécutifs de -, la valeur de y est comprise entre les deux

mêmes nombres. Cette règle, connaissant x, permet de calculer aisément y au moyen des tables trigonométriques. Je représenterai par Arc tg (a tg x) la fonction ainsi définie (') : elle est égale à x quand a est égal à i . Sa dérivée est

a sin^ X -H cos'' x

H. — FORMULE DES ACCROISSEMElNTS FIMS. FONCTIONS COMPOSÉES. FONCTIONS IMPLICITES

215. — L'importante proposition que je vais maintenant établir concerne une fonction J{x), dont on sait qu'elle est nulle pour X —r a et pour x =^ b, qu'elle est continue dans l'intervalle (a, h) et qu'elle admet une dérivée / 'p) à l'intérieur de cet intervalle; elle s'appliquera évidemment si l'on sait que la fonction /(.r) admet une dérivée dans tout l'intervalle, y compris les bornes, puisqu'alors elle est certainement continue dans tout cet intervalle.

Dans ces conditions, on peut affirmer qu'il y a une valeur $ de X, intérieure à l'intervalle (a, b), pour laquelle on a /"' (|)= o (^).

(1) Elle est la somme de la série

, a — I sin 2 j" , /a — i \ 2 sin 4 •'" , , ( ^ — i \;' sin 3/)J-

' + i-T". ~r- + (r+^.) —.' + •■ + la^-. j —p- + -

(-) Celle proposition est connue sous le nom de tlicorèmc do Rolle. La dénionslralion qui suit est duc, pour le fond, à O. Bo>set. M. Dauboux m'a fait rcmatcjucr, alors que je préparais la première édition du présent Livre, le rôle que jouait dans colle dcmonslration le f:iit (pi'unc funclinn continue atteint sa borne supérieure. C'est M. Axooyer, alors qu'il était élèxe à 1 Ecole normale, qui ma lait remarquer que la démonstration de Bonnet ne supposait pai l'existence de la dérivée aux bornes de l'intervalle.

360 INTRODUCTION A LA TIlÉORlF, DES 1 ONGTIONS

Kn ciïet, ou bion la fonction f{rc) est nulle pour chacune des valeurs de x appartenant à l'intervalle {a, b), ou il existe de telles valeurs qui la rendent différente de zéro. Dans le premier cas, elle est constante, sa dérivée est nulle pour toute valeur de .r appartenant à l'intervalle (a, b); dans le second cas, elle prend des valeurs positives ou des valeurs négatives ; si elle prend des valcvu's jiosilives, elle admettra, dans l'intervalle (a, b), une borne supérieure différente de zéro ; puisqu'elle est continue, elle atteindra cette borne supérieure pour une valeur ç de x appartenant à l'intervalle {a, b) et nécessairement distincte de a et de 6 ; dès lors, si h désigne un nombre positif quelconque assez petit pour que les deux nombres S + /», ç — h, appartiennent à l'intervalle (a, b), on aura

/(3 + /,i-y(^)âO, /(t/n/(:)gO.

et par suite

.fiLhj'^^zm ^ „, ./ (S - /') -m ^ „.

h — Il

Si l'on suppose que // tende vers o, les deux rapports tendent par hypothèse vers la limite /"'(l); la première inégahté montre que celle limile est négative ou nulle, la seconde montre qu'elle est positive ou nulle : on a donc f {-) = o. S'il arrivait quey(.x) prît, diins rinler\allc (a, b) des valeurs négatives, on arriverait à la même conclusion en considérant la valeur de ./• qui fait acquérir à la fonction /'(.r) sa valeur minimum dans l'intervalle (a, b).

11 convient de remarquer que cette démonstration ne suppose en aucune façon la conlinuilc de la dérivée f (x) ; elle ne suppose même pas l'existence de celle dérivée pour x = a et x = b, pourvu toutefois cfue la fonction soit continue dans l'intervalle (a, b) au sens du n" 163.

Voici maintenant des conséquences importantes de cette proposition.

216. — Si la fonction /(j-) admet une dérivée /' (x) dans l'intervalle ia, b), on a

rilAPlTUE VI. FOnMLf.E DES ACCROISSEMENTS FINIS 30 1

c, étant un nombre compris entre a et b, tlillércnt tic a et de h. Ce théorème s'appliquerait lors même que l'exislcnce de la dérivée aux limites a, h ne serait pas assurée, pourvu que cette dérivée existât certainement pour toutes les autres valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b) et que la fonction fût continue dans cet intervalle.

11 suffit, pour s'en assurer, d'ap[)liquer le ih/'orèmc précédent à la (lilïérence entre /(■'■) et la fonction, du premier degré en ./:,

qui, pour :r ^- a ci .r ~- b, prend les mêmes valeurs fjue f c) : cette différence s'aimulc piiur ./• = n et x ~" b, elle admet, poulies valeurs de x comprises entre a et b. une dérivée égale à

cette dérivée doit s'annuler pour une valeur z de ./; appartenant à l'intervalle \a, b), autre que a et 6 ; on a donc

Si l'on désigne par x et x + h deux nombres appartenant à l'intervalle [a, b], on pourra évidemment remplacer, dans le théorème qui vient d'être démontré, a et b par x cl x -r- h ; le rapport

est donc égal à la valeur que prend la dcr'wécf (x) pour une valeur de la variable comprise entre x et x -h h : on peut représenter une telle valeur par x + Oh, en désignant par 0 un nombre compris entre o et i, mais qui n'est ni o ni i, on peut donc écrire

et cotte égalité suppose seuloment la continuité de la fonction dans l'intervalle (.',-, x -h h) et l'existence tle la dérivée à l'intérieur de cet intervalle.

Si les foiKiionsy(a7), «p (.r) sont continues dans rinlervalle(a, h) et adincllent des dérivées /'(a:), fp' (.r) à l'intérieur de cet intervalle, si. enfin, la dérivée o' {x) ne s'annule pour aucune valeur de x comprise entre a cl h, on a

I étant une valeur comprise entre a et b et autre que a et 6.

Il suffit d'appliquer le précédent raisonnement à la fonction de x

/M -/W - 1? W - ï («)i{;ft\^|.

qui est nulle pour x = a el x = b, et qui admet dans l'intervalle (a, b) la dérivée

Cette dérivée doit s'annuler pour un nombre | compris entre a et 6 et, puisque la quantité d (|) n'est pas nulle, on a

On peut remplacer cette égalité par la suivante, où les deux nombres x, x -{- h sont supposés appartenir 5 l'intervalle (a, b) et oîi 0 désigne un nombre compris entre o et i , qui n'est ni o ni i :

f(r + h)-f{x) /' (x + OA)

o{x -h h) — o (.r) cp' \x -h Oh) '

218. — Le théorème du n" 216 met bien en évidence la possibilité, pour une fonction /(x-) qui admet une dérivée bornée dans l'intervalle (a, b), de trouver un nombre positif v^ correspondant à un nombre positif donné s, tel que l'écart de la fonction, dans tout intervalle compris à l'intérieur de {a, b) et d'étendue moindre que v;, soit plus petit que s ; en vertu de la formule

J(a:-^h)-f{x)^hf'(x + Bh),