A + B) C = AC + BG

En effet, un nombre rationnel positif plus petit que (A H- B)C' est le produit par un nombre rationnel positif c, plus joetit que C^ d'un nombre rationnel positif plus petit que A -+- B, c'est-à-dire de la somme a -H- 6 de deux nombres rationnels a, h plus petits respectivement que A, B; or, le produit {a-\-h)c étant égala ac H- 6c, est la somme de deux nombres rationnels ac, bc respectivement plus petits que AC, BG ; le produit {a -i- b)c et, par conséquent, n'importe quel nombre rationnel positif plus petit que (A -h B) C est donc moindre que AC H- BC ; on voit de même que tout nombre rationnel plus grand que (A -+- BjC est plus grand que AC H- BC : les deux nombres (A -+- B)C et AC -H BC sont égaux (n" 12).

Les égalités (i), (a), (3), (/;) expriment les propriétés fondamentales de la multiplication ; elles sont établies pour les nombres positifs. En regardant comme nul le produit de deux ou plusieurs facteurs dont l'un est nul et en se reportant pour les nombres négatifs à la règle des signes, on définit le produit de deux nombres positifs, nuls ou négatifs, et l'on étend à tous les cas les propositions qu'expriment ces égalités.

Les propositions relatives aux inégalités, qui concernent la multiplication, peuvent aussi être regardées comme établies.

24. — Aux nombres rationnels positifs a, b,,.., on peut faire

CHAPITUE I. — ?îOMIîUES lHUATIO>M:r.S 3l

correspondre leurs inverses -, ^,... ; si les premiers nombres sont

rano-és par ordre de grandeur croissante, les seconds sont ran^'é> par ordre de grandeur décroissante. D'après cela, à chaque nombre irrationnel positif A, on peut faire correspondre un nombre irrationnel positif A' de la façon suivante : la classe inférieure relative à A' est formée des inverses des nombres qui appartiennent à la classe supérieure relative à A, du nombre o et des nombres rationnels négatifs; la classe supérieure relative à A' est formée des in- A^erses des nombres positifs qui appartiennent à la classe inférieure relative à A. Il est clair que les deux classes ainsi définies comprennent tous les nombres rationnels ; sauf ce dernier point, ce qu'on vient de dire s'appliquerait aussi bien à un nombre rationnel. Les deux nombres A, A', dont chacun se déduit de 1 autre de la même façon, sont dits inverses l'un de l'autre. Le produit de deux nombres inverses est égal à i, puisque i est plus grand que le produit de deux nombres positifs appartenant aux classes inférieures relatives à A, A', plus petit que le produit de nombres positifs appartenant aux classes supérieures relatives a A. A'.

Lorsque A est négatif, son inverse est un nombre négatif A' dont la valeur absolue est l'inverse de la valeur absolue de A. Dans ce cas encore le produit AA' est égal à i , et ce nombre A' est le seul dont le produit par A soit égal à i ; à un nombre nul ne correspond aucun nombre inverse.

L'inverse d'un nombre A se représente par -^.

25. — Etant donnés deux nombres A, C, existe-t-il un nombre B tel que l'on ait