BA)A' = B (AA') = B X I = B

donc B ne peut être égal qu'à CA'; d'ailleurs (CA')A est égal à C (AA') ou à C. Il n'y a donc qu'un nombre qui satisfasse à la condition posée et il y en a un : ce nombre est

On écrit p avec le même sens que C X jt •

On a maintenant tout ce qu'il faut pour étendre aux nombres irrationnels les propositions qui se rapportent à l'addition, à la soustraction, à la multiplication, à la division. Il reste à définir la racine n" arithmétique d'un nombre positif A.

26. — Étant donné un nombre positif A on demande de trouver am nombre positif x qui vérifie l'équation

où n est un nombre entier plus grand que i. Un tel nombre, s'il existe, est évidemment unique, puisque la puissance it d'un rnombre positif plus grand ou plus petit que x est plus grande ou plus petite que x'K Supposons qu'il n'existe pas de nombre rationnel qui vérifie cette équation.

Rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels positifs dont la puissance n'^ est moindre que A, dans une seconde classe tous les nombres rationnels positifs dont la puissance n^ est plus grande que A. Cette décomposition en deux classes ■ des nombres rationnels définit un nombre B. Le produit de n nombres positifs rationnels moindres que B est au plus égal à la n° puissance du plus grand d'entre eux et par conséquent moindre que A, puisque le plus grand de ces n nombres appartient certainement, comme eux tous, à la première classe. Le produit de n nombres positifs rationnels plus grands que B est au moins égal à la n® puissance du plus petit d'entre eux et par conséquent plus grand que A, puisque le plus petit de ces n nombres appartient certainement, comme eux tous, à la seconde classe. Le nombre A satisfait donc à la définition du produit de «nombres égaux à B et l'on a B" = A.

Puisque, par hypothèse, il n'y a pas dénombre rationnel positif

CirAl'lTKE r. NO-MHUES IHK/VTIONNELS 33

qui vérifie l'cqualion a;» = A, il faut que lo nomljro 13, ({110 l'on \iciit de définir et dont on a montré qu'il vériliait cette équation, soit irrationnel; c'est-à-dire qu'il n'y a pas, parmi les nombres rationnels plus petits que 13, un nombre plus grand que tous les. autres, ni, parmi les nombres rationnels pins grands que B, un nombre plus petit que tous les autres. Au reste, c'est un point qu'il ne serait pas difficile d'établir directement.

27. Le nombre positif a? qui vérifie régalitéa;'» = A est la racine n' arithmétique de A, et se rei)résente par \/A ; je laisse de coté les propositions, bien connues du lecteur, qui concernent le calcul arithmétique des radicaux et je me contente, en supprimant les démonstrations, de rappeler les définitions qui concernent les exposants fractionnaires, positifs ou négatifs. En désignant par p, q des nombres naturels, on adopte les définitions

définitions qui, pour être légitimes, exigent qu'on ait établi l'égalité y~pJ^= ViV quand la fraction^ est égale à la fraction^,-

Dès lors A°' est défini quel que soit le nombre rationnel a, et l'on prouve que l'on a, quels que soient les nombres rationnels a, jS

il faut entendre que les nombres a -+- [i, a/3 s'ils ne sont pas entiers, doivent être remplacés par les fractions à termes entiers qui leur sont égales, afin que l'on puisse appliquer les définitions précédentes.

J'aurai encore besoin des remarques qui suivent.

Si A est un nombre positif et n un nombre naturel, v'A est plus grand que i, égal à i, ou plus petit que i, suivant que A est luimême plus grand que i, égal à i, ou plus petit que i. Cela résulte de ce que le produit de n facteurs égaux à v'A est plus grand que I, égal à i, plus petit que i, suivant que l'un de ces facteurs est plus grand que i, égala i, plus petit que i. Par conséquent, en supposant A >> i. A"' est plus grand ou plus petit que i suivant

Taxnery I. — Inlroduclion à la théorie des fonctions 3

que le nombre rationnel a est positif oii négatif; A* est égal à i quand a est nul et seulement clans ce cas ; A'"' = A^ X A'^ est

plus grand que A"', égal à A"', plus petit que A"' suivant que le nombre rationnel fj est plus grand que le nombre rationnel a, qu'il lui est égal, qu'il lui est inférieur; en particulier A'"^"' est supérieur à A, égal à A, plus petit que A suivant que le nombre rationnel a est positif, nul, négatif. Des observations analogues s'appliquent au cas où k est plus petit que i .

La définition de A^, quand a est irrationnel, aurait ici sa place naturelle ; en supposant A > i , A" peut être défini comme plus grand que tous les nombres A" et plus petit que tous les nombres A* , en désignant par a' et par a" des nombres rationnels l'un plus petit, l'autre plus grand que a. Toutefois, il est avantageux de renvoyer cette définition à plus tard, afin de la rapprocher d'autres propriétés qui n'ont pas encore été établies.

28. — L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels constitue ce que l'on appelle les nombres réels.

La notion de nombre irrationnel, la théorie des opérations à effectuer sur de tels nombres ont été présentées dans les numéros (9-27) sous une forme purement abstraite. On a toutefois introduit cette notion (n" 7) en faisant intervenir quelques notions géométriques. Il n'est peut être pas inutile d'observer que, tout en gardant l'avantage de la représentation et du langage géométrique, il est possible de rester dans la pure analyse. De ce point de vue un point est simplement un nombre réel, la droite est l'ensemble de tous les nombres réels ; un segment limité par deux points (ou nombres) a, b est l'ensemble des nombres a, h et des nombres compris entre a et 6 ; on le représentera, si Ton veut par le symbole [a, h). Cet ensemble, ou ce segment, est aussi ce qu'on appelle l'intervalle [a, h). La longueur du segment (a, h,) sera le nombre positif 16 — a\. Le point a sera à droite ou à gauche du point h suivant que l'on aura entre les nombres a, h, la relation a > 6 ou a < 6. Il est, à ce que je crois, inutile d'insister sur ces façons de parler, qui seront étudiées plus à fond à propos des systèmes de deux variables.

CIIAPITHE I. NOMr3RES ÏHnATIONNKLS 35

29. — La géncralisaî.ion apportrc aux définitions des opérations fondamentales et le fait que les propiiélés essentielles de ces opérations subsistent permettent d'ap|)licpi8r au calcul des nombres irrationnels les règles élémentaires concernant les calculs approches. ■Ces règles sont fondées sur les idcnlités suivantes, où A' = A — a, B' =: B — fj désignent des valeurs approchées des nombres A, 13, •et où a, /5 désignent les erreurs :

AB - AB' = A'p 4- B'a + ap, ^-^= 'p^y

chacune de ces identités (') permet d'évaluer ime limite supérieure de l'erreur commise, pour chacune des opérations fondamentales, •quand on substitue aux nombres exacts K, J3 les nombres approchés A', B' et de montrer que cette erreur peut être rendue aussi petite qu'on le veut en prenant les nombres a, jS assez petits. Ainsi, •quand on a les premiers chiffres des représentations décimales de deux nombres rationnels ou irrationnels, on peut avoir une valeur approchée de leur somme, de leur dilTérence, de leur produit, de leur rapport..., et l'on peut reconnaître au moyen des règles ■développées dans les traités d'arithmétique, quels chiffres déci- .maux du nombre calculé appartiennent d'une façon certaine à la .représentation décimale du nombre cherché.

Au lieu de la représentation décimale^ on peut employer telles valeurs approchées que l'on veut. 11 est clair que la connaissance des valeurs approchées d'un nombre fournit sur lui un renseignement d'autant plus précieux que ces valeurs approchent davantage de ce nombre et il importe évidemment d'avoir celles de ces A^aleurs qui ont la forme la plus simple. A cet égard, les propositions qui suivent ont une grande importance.

30. — Soit A un nombre réel, autre que o ; considérons les valeurs de l'expression Aj — x où x et y sont assujettis à ne prendre que des valeurs entières, y ne pouvant prendre que les valeurs i, 2, 3, .... /: parmi les valeurs de Aj — x, il y en a au

(') La dernièrG n'a de sens que si B et B' sont diflërents de zéro ; elle n'est applicable à la question posée que si B et B' sont de même signe.

moins une qui est moindre en valeur absolue que j. Si on admet

cette proposition, il en résulte évidemment que parmi les fractions à termes entiers dont le dénominateur ne dépasse pas /, il y en a

une au moins - dont la différence avec A est moindre que y- .

Si, dans l'expression / (Aj — x), nous donnons à y les valeurs 1,2,3..., / et si nous prenons à chaque fois pour x la partie entière de Aj, nous obtiendrons / nombres positifs, plus petits que /', dont les parties entières ne peuvent donc être que les nombres G, 1,2,...,/ — I. Si l'une de ces parties entières est o, le théorème est vérifié. Si aucune de ces / parties entières n'est nulle, il faut que, pour deux nombres / (Aj^ — a?,), / (Ajg — x^), où y^ est supposé plus grand que jj, ces parties entières soient égales; en sorte que la différence de ces deux nombres, c'est-à-dire / [A (j2 — Ji) — (•Z'o — Xi)'j sera, en valeur absolue, moindre que I ; comme y^ — j,, x.^ — Xi sont entiers, que le premier de ces deux nombres est positif et plus petit que /, la proposition est démontrée. Si A est positif, il est clair que x.^ ne peut être plus petit qtie a?i, puisque, autrement, le nombre /[A (j^ — jj) — [x.^ — x^)], serait supérieur ou égal à /.

On trouve dans plusieurs recueils (') des tables donnant la

valeur des cent premiers multiples de - et de -; la mantisse du

produit de - par ii, égale à 7,0028..., commence par deux zéros ;

on en conclut que — - est une valeur approchée de ~ avec une

erreur moindre que -— — — < rrv~;r7~- Dans les cent premiers X 1 000 11 /\ 100

multiples de -, il n'y en a pas dont les mantisses commencent

par deux zéros ; mais les mantisses des produits de - par 6 et i3 commencent par les deux mêmes chiffres, et l'on trouA^e ainsi que est une valeur approchée de^, avec une erreur moindre que

(') l^ar exmple. le Recueil de formules et de tables numériques de J. IIoOel.

CTIAPrXRE I. NOMI'.KKS II\UATIO:VNELS 37

■< — . — De même la dlffcrcnce cnlrc t} et '--r/ est

7 ooo 7 X loo 2.3

moindre que ■< ., ,, .

^ 20 000 2Ô X lOO

La théorie des fractions continues aritlimctiqucs nous fournira tout à riieure un moyen systématique d'oLtenir des fractions à termes entiers qui approchent ainsi d'un nombre donné A ; mais il convient auparavant de faire quelques observations sur la proposition précédente et d'en tirer quelques conséquences.

Soient A, B deux nombres quelconques, positifs ou négatifs,

dont toutefois, le rapport -ir est supposé irrationnel. Il est clair que

l'expression kx -\- By, où x, y désignent (comme on le supposera dans tout ce numéro) deux nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, n3 peut être nulle sans que l'on ait à la fois x =^ o,

. B X y = o, puisque, autrement, on aurait -r = et que le nombre

-.- est suppose irrationnel.

Il résulte du théorème précédent que l'on peut trouver des valeurs entières de x, y qui rendent l'expression Aa; -i- Bj aussi petite en valeur absolue que l'on voudra ; en d'autres termes, si Ton se donne un nombre positif ô, aussi petit qu'on veut, il existe des nombres entiers x, y tels que l'on ait

I Ax -h By 1 < £ ;

cette inégalité équivaut en efTet à la suivante

Il suffira d'appliquer le théorème précédent en prenant / plus

grand que -^ .

Il résulte de là qu'on peut trouA-er des nombres entiers x, y qui font acquérir à l'expression kx + By des valeurs aussi voisines de tel nombre G que l'on voudra ; soit en effet s un nombre positif aussi petit que l'on voudra et soient .r,^, y^ des valeurs telles que la valeur absolue v^ de kx^ -+- l^y^ soit moindre que s ; si l'on considère la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens

le nombre G sera égal à l'un des termes de cette suite ou tombera entre deux termes consécutifs ; si l'on a, n étant entier,

nr, g G < (n + i) t],

la différence AnXf, -f- Bny^ — C sera moindre en valeur absolue que vî et par suite que s ; comme jiXq, ny^^ sont entiers, la proposition est démontrée.

31. — Ces résultats conduisent à l'interprétation géométriquesuivante ; sur l'axe qui sert à représenter les nombres, il y a des points dont l'abscisse est de la forme Ax -+- Bj et qui sont aussi rapprochés que l'on veut de tel point que^ l'on vent ; il y a de tels points entre deux points ' arbitrairement choisis P, Q puisqu'il y en a qui sont aussi voisins que l'on voudra du milieu de PQ.

Cette proposition peut d'ailleurs se démontrer indépendamment du théorème du n" 30.

Remarquons d'abord, en effet, que si deux ou plusieurs nombres sont de la forme Ax ~\- Bj, il en est de même de leur somme, de leur différence, du produit de l'un quelconque d'entre eux par un nombre entier : en particulier, si le point a^ a une abscisse de cette forme, il en sera de même de tous les points a,, a,, «3, ..., a.[, a'^, a',..., obtenus en portant bout à bout, à partir de l'origine 0, à droite ou à gauche, des segments égaux à Oaj ; si les deux points a, /3 ont des abscisses de la forme précédente, il en sera de même de tous les points obtenus en portant bout à bout, à partir de 0, à droite ou à gauche, des segments égaux à la distance de ces deux points. Si donc entre deux points de l'espèce considérée il V a un troisième point de la même espèce, on est sûr par cela même qu'il y a un point de la même espèce dont la distance à l'origine est moindre que la distance mutuelle des deux premiers, points.

Ceci posé, soit s un nombre positif donné. Si la distance entre deux points distincts de l'espèce considérée était toujours supérieure ou égale à 1, entre le point 0 et un point quelconque P de l'axe, situé, par exemple, à droite de 0, il ne pourrait y avoir qu'un nombre fini de points dont l'abscisse fût de la forme Ax -+- Bj; n au plus entre 0 et P, si l'on a | OP | ^ lu ; soit alors R celui de ces points qui est le plus rapproché du point 0 et soit

CIIAPITUE I.

îMOMiiUES IHUATIO>iMCLS

enliers x et y, on pourra donc t

.rouver un

kx -H Bj =

m (AûCq -+-

d'où l'on tirera

y — '"Jo

X — mx.

. Av. , Uy son abscisse ; tous les points dont l'abscisse est

de la ibrmc m £„, m étant un entier quelconque, appartiendront a l'espèce considérée ; entre deux d'entre eux, il ne pourra se placer aucun point de cette espèce, sans quoi \\ ne serait pas le point de cette espèce le plus rapproché du point 0 ; quels f|ue soient les

'er /;/ tel que l'on ait

Ib'o).

ce qui est impossible, puisque |^ est irrationnci.

Donc quelque petit que soit s, il y a un point dont l'abscisse ôq, de la forme kx^ -+- Bj^, est moindre que £ ; dès lors, comme un point quelconque de la droite tombe soit sur l'un des points dont l'abscisse est de la forme mi^ soit, entre deux consécutifs de ces points, il est clair qu'il y a des points de l'espèce considérée, aussi voisins qu'on voudra de tel point de la droite qu'on voudra.

La proposition suivante, que je me contente d'énoncer, ne diffère pas au fond de celle qui précède. Si l'on considère un cercle et un point 0 sur ce .

cercle ; si l'on porte à partir

du point 0 des arcs égaux OA, AA^, A, A,,..., en tournant autant qu'on voudra autour du cercle, et si l'arc OA est incommensurable avec la circonférence du cercle, on peut trouver un point A„ qui s'approche autant qu'on le veut d'un point donné I sur le cercle. Quand l'arc OA est commensurable avec la circonférence, on sait que les points A, Ai, Aa, ... sont en nombre limité.

32. — Voici maintenant d'autres propositions du même genre que le théorème du n" 30.

ko INTRODUCTION A LA. TIIÉOUIE DES FONCTIONS

Si Aj, A,, ,.., An sont des nombres quelconques, non tous nuls, et / un nombre naturel donné, il existe un nombre entier x et des nombres entiers jj, j^, ..., j„ inférieurs ou égaux à / en valeur absolue, mais non tous nuls, tels que l'expression

Aji + A,j2 + ... + A„j« — X

soit moindre que t^, en valeur absolue. Remplaçons en effet, dans

l'expression précédente 3'i, T.,, •••, Jn par un système de valeurs prises parmi les nombres i, 2,3, ..., /et ce par la partie entière de Ajjj -h A^,j2 -h ... -H A„j« ; on obtiendra ainsi un nombre positif moindre que un ; en sorte que la partie entière du nombre /" (AjYj -h A,}'^ -t- ■.. -+- A„3'„ — x), étant positive et moindre que /", est l'un des nombres o, i, 2, ..., /" — i ; si elle est nulle, le théorème est vérifié. Or, on peut prendre pour ji, j,, ..., jn des systèmes de valeurs en nombre égal à /" ; si pour aucun de ces systèmes la partie entière de /" (Aj jj -+- A,}'^ H- . . . •+ A„j„ — x) n'est nulle, c'est que, pour deux systèmes distincts y,, j^, ..., j„ et y[, y',,, ..., y'^^ les parties entières sont égales, en sorte que la valeur absolue de

est moindre que i. La proposition est démontrée. Si par exemple on prend A^ = tï, A^ = tt', / = 10, on trouve

Tt- -h 8- — 35 = 0,002 ... <' — (M.

Soient Aj, A^, ..., A„, des nombres quelconques, non nuls et

('^) La différence entre tï et la racine positive de l'équation x"- -]- Sx — 35 = o est moindre ciuc •= ; sic-nalons dans le morne ordre d'idées l'écrualion

(j'ix- — 160 a; — 129 = O

dont la racine positive diffère do tt d'une cjuantilé moindre cjue — 7. (E. Bohel, Sur l approximation des nombres réels par les nombres quadratiques, Bulletin de la Société mathématique de France, t, XXXI, p. ibj').