CHAPITRE IV. rONCTIO^ EXPONENTIELLE 2O

eonime A„ une fonction de x bornée dans l'inlcrvallc ( — a, a), on a nécessairement

A, =:Bo, A, = B,, ..., A„i = B„,

et B„ est la môme fonction de x que A,,.

Enfin ce que l'on a dit des polynômes s'applique encore à ces fonctions ; les polynômes

Ao, Aq + Kyx, Aq -i- Kyx + A,.r2, ...

fournissent, pour les petites valeurs de x, des valeurs approchées de f {x) : si l'on prend, par exemple, la dernière, l'erreur commise en la prenant pour /(jî) sera moindre que SV^ en désignant par S' la 'somme des valeurs absolues de A,, A,, ... A„i et de la borne supérieure des valeurs absolues de A„ ; cette erreur sera très petite si X est très petit en valeur absolue ; si le dernier terme conservé AgJî" n'est pas nul, elle sera infiniment petite par rapport à lui,

c est-a-dire que la limite pour x=: o du rapport- t— ^ = v" -^ ^^^^

nulle. .

Quand x est très grand en valeur absolue, il convient d'ordonner le polynôme que l'on étudie par rapport aux puissances décroissantes de la variable et de l'écrire

aga?" + «i.r"-^ + ....-!-«„:

ce sont alors les premiers termes qui importent ; en négligeant les termes qui les suivent l'erreur relative que l'on commet est très petite. Ce polynôme peut s'écrire aussi

en posant ~ = -, et en désignant par '^ [:) un polynôme en z qui s'annule pour r = o; û x est très grand en valeur absolue, z est très petit en valeur absolue ; alors çî [z] est très petit en valeur absolue : on reconnaît aisément que lorsque x est très grand en valeur absolue, un polynôme est du signe de son premier terme . et que sa valeur absolue grandit indéfiniment quand la valeur absolue de .k grandit indéfiniment. Il est clair que ces dernières

2 6o INTRODUCTIOÎV A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

conclusions s'appliquent à toutes les fonctions qui peuvent être mises sous la forme

«o^T" -H Oia-"-^ -h ... H- «„.

pourvu que le premier coefficient a^ soit une constante non nulle et que ai, a^, ..., a„ soient des fonctions de œ qui restent, en valeur absolue, moindres que des nombres positifs fixes, quand x est très grand en valeur absolue.

Le fait qu'un polynôme ne peut être nul pour toutes les valeurs de X sans être identiquement nul, que deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x sans être identiques, apparaît aussi bien sur les grandes valeurs de x que sur les petites. Cette propriété des polynômes à une variable s'étend sans difficulté, par voie d'induction, aux polynômes à deux, trois, ...variables. Un polynôme à n variables, dans lequel on a réduit entre eux les termes semblables, ne peut être nul pour toutes les valeurs de ces variables sans que tous ses coefficients soient nuls.

Supposons maintenant qu'on veuille étudier un polynôme

f{x) = Ao -+- AjCC + .... -+- AnX»

aux environs d'une valeur donnée x^ de la variable ; on posera comme on l'a expliqué, x = x^ -^ h, et l'on étudiera, pour les valeurs de la variable voisines de o, la fonction de h,

f[x, -+- h) = Ao -+- A, (x, -+- h) 4- Aj (x, 4- /O' -H ... + A„ (x^ H- h)";

cette fonction est un polynôme en h que l'on ordonnera suivant les puissances croissantes de h

/(ce, + /i) = P„ + l\/i + P,/i^ + ...,

et l'on appliquera à ce polynôme en h les conclusions précédentes ; elles impliquent la continuité du polynomepour x =^ Xq et donnent le moyen de reconnaître si la fonction /(ce) est croissante ou décroissante pour X = Xo, si elle passe par un maximum ou un minimum, suivant la parité et le signe du premier terme (autre que Po) qui n'est pas nul.

CIIAPITUi: IV. — FONCTION EXPONENTIELLE 20 1

Les expressions

Po. Po + P. (x - «•„). Po 4- P, (,r - X,) + P, (:r, - x,)\ ...

sont des expressions approchées de /(•*") pour les valeurs de x voisines de Xq.

Si la fonction f{x) s'annule pour x = Xq, c'est que Po est nul ; supposons que les coefficients P^, P,, .. P,.i soient nuls et que Pr soit difl'érent de o. (Le dernier coefficient P„, qui est égal à A„, ne peut être nul). On aura alors

f{x, -4- h) = P./f -{-Pr + i h'-+ ' -h ...-h P„/l"

f(x) =^{X- X,Y [Pr -+- P. + 1 Ct — X,) +...-!-. Pnix — X,)"-^] ;

on dit alors que x^ est une racine d'ordre de multiplicité r ; c'est une racine simple, si /• est égal à i ; f[x) est divisible par (x — Xf,y, sans être divisible par (a; — x^y^^, et cette propriété caractérise évidemment les racines d'ordre de multiplicité égal à /' ; le quotient est un polynôme en x d'ordre n — /', qui, sauf a;„, admet les mêmes racines que /(a?), au môme degré de multiplicité, comme on le voit de suite. De là résulte immédiatement la proposition suivante : Si le polynôme f{x), de degré n, admet les racines distinctes a, h, ..., /avec les degrés de multiplicité a, jj, ..., ). et n'admet pas d'autres racines, on peut le mettre sous la forme

J{x) ={x — «)* [x — bf... (x — ly o (x),

(p (x) étant un polynôme de degré n — a — p — ... — )., qui ne s'annule pour aucune valeur de x, et se réduit à une constante, si l'on aa -1- p H- ... -+- X = n. La somme des ordres de multiplicité, et par suite, le nombre des racines distinctes def{x) ne peut dépasser n.

En supposant toujours

f{x) = Aq -h k^x 4- A.,a-2 !-... + A„a-". reprenons l'identité

f{x -^h)=P,-+- PJi + P,/i-^ -f- ... ^ P„/i".

(où j'écris maintenant ce à la place de a7„) ; le second membre est ordonné suivant les puissances de h ; les coefficients Pq, P,, V>, ...

de ce polynôme en h sont des polynômes en x. Les raisonnements ' précédents montrent l'importance des premiers de ces coefficients pour l'étude du polynôme dans le voisinage d'une valeur donnée de X. Le premier coefficient Pq est évidemment égal kf(x). comme on le voit en faisant h = o dans l'identité précédente, ou en commençant à développer l'expression

Ap + A, (x + h) 4- Aj (a? + /i)2 -h ... H- A„ (x -h hy ;

le même calcul montre de suite que les coefficients de h est

Pj = Al + aAg.T + 3A3CP" H- ... -h 7iA„a;"— ' ;

ce polynôme, de degré n — i, se déduit du polynôme /(a?) ou Pq par une règle très facile à retenir et joue un rôle considérable ; on lui donne le nom de dérivée du polynôme f{x) : c'est une notion qu'on retrouvera plus tard par une autre voie : on représente habituellement ce polynôme par /' {x) . Il a lui-même une dérivée que l'on représente par/" (ce), et qui est

f"{x)= 1.2A2 H- 2.3. Ajo; H- .... + (n— i) /iA„a;»-2 ;

/'" [x) s'appelle aussi la dérivée seconde def{x) ; la dérivée de/" (x) ou la dérivée troisième def{x) est

f"(x) = 1.2. 3 A3 H- 2.3.4AiX-H ...-+- (n— 2)(a — i)/îA„a;"-3;

la dérivée p" def{x), {p ^ n) est

fP(x)=1.2 ...J5A^ ■+- 2.3 ...(p 4- i)A^,+ i X -i- ... + (n — p-i-i) {n — /) + 2) ... nknX'^-P ;

la dérivée n", ou /t")(a3). se réduit à la constante 1.2. 3. ... nA„. Chacun des polynômes f{x),f' (x), ..., f^"^ {x) se déduit du précédent par la même règle (').

L'expression même des dérivées montre que l'on a

A =/!lM, ^ 1. 2 ... p

(1) Il est commode de regarder les dérivées suivantes /^" "*" ^> (x), /' " "'" ^' (a-), . . comme identiquement nulles.