II. — POLYNOMES EN X. FONCTIONS a\ log x, x

173. — Remarquons d'abord que l'on peut toujours ramener l'étude d'une fonction f[x), aux environs d'une valeur aî^ qui fait partie d'un intervalle où la fonction est définie, au cas où cette valeur est nulle ; il suffira pour cela de poser x = x^ -\~ h, de regarder h comme la variable et d'étudier la fonction fi^x^ -f- h) pour les petites valeurs de cette variable. Je vais rappeler rapidement les résultats que cette méthode fournit quand on l'applique aux polynômes en x et aux fonctions rationnelles ; la continuité de ces fonctions a été établie au n^ 170 ; on va retrouver cette propriété et quelques autres.

Quant il s'agit d'étudier un polynôme en x pour les petites valeurs de X, il convient d'écrire ce polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de la variable sous une forme telle que

Ag -h Aj.r + A^x^ + ... -i- A„x'';

chaque terme, en effet, pour les petites valeurs de x, est petit par rapport à celui qui le précède, en sorte que pour de telles valeurs, on obtient des expressions de plus en plus approchées pour la valeur du polynôme en prenant un, deux, trois, ... termes; c'est d'ailleurs ce que l'on va préciser tout à l'heure. Observons encore que, si l'on suppose | £c | < i, la valeur absolue du polynôme sera inférieure ou au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses coefficients.

CIIAPITUE IV. FONCTION 10\r'ONi;iNTIi:Lrji -j.,,-

Supposons d'abord que le polynôme s'annule pour x := o, c'cslà-dirc qu'il manque au commencement cerlains coeiricicnts ; on l'écrira, en supposant que le premier terme qui ne manque pas soil du degré p ^n,

A/r?' + A„ + iXi' + ' + ...+ A,,;/;".

Si l'on désigne par x' la valeur absolue de x et par S la somme des valeurs absolues de A;,, Aj„ ^ i, . . . , A„, et si Ton suppose x' ■< i , la valeur absolue du polynôme sera au plus égale à S.r''', et celle

valeur absolue sera moindre que s si l'on suppose oc' <C.\/ ^', la continuité du polynôme pour jj =:; o est évidente. On peut d'ailleurs écrire le polynôme sous la forme A^,x'' [i -H ©(-^O]' ^"^ posant

(d(x) est encore un polynôme qui s'annule pour x = o ; pour les valeurs de x moindres en valeur absolue qu'une limite que l'on vient d'apprendre à fixer, le polynôme resle moindre que i en valeur absolue, et par conséquent le polynôme proposé A^5C'j[i +©(«;)] ne s'annule que pour la seule valeur jî == o ; pour les autres, valeurs de X, moindres toutefois, en valeur absolue, que la limite dont on vient de parler, le polynôme est du signe de son premier terme A^^a:;'' ; lorsque p est impair, il est, pour x = o, croissant ou décroissant suivant que A^; est positif ou négatif; lorsque p est pair, le polynôme, pour x = o, est plus petit que pour les valeurs voisines de x, positives ou négatives, si A^, est positif, plus grand au contraire si A^, est négatif; dans le premier cas on dit que, pour X = o, il passe par un minimum, dans le second, par un maximum. Ces résultats s'appliquent immédiatement à un polynôme dans lequel le premier coefficient Aq n'est pas nul, puisqu'on peut alors l'écrire Aq -+- ^{x), '\i{x) étant un polynôme qui s'annule pour X = o ; le polynôme Ap -+- ^{x) est égal à A^ pour X =o ; pour des valeurs de x suffisamment voisines de o, il est très voisin de Ag et ne peut être mil ; enfin le premier terme de ^(x) qui n'est pas nul, permet de reconnaître si le polynôme AoH-^|^(£c) est croissant pour x = o, ou décroissant, s'il passe par un minimum ou un maximum. On voit qu'un polynôme dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut s'annuler pour les

Tannert I. — Introduction à la tbéorie des fonctions 17

petites valeurs de x, sauf pour a? = o, quand son premier terme manque, qu'un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut s'annuler pour une suite de valeurs distinctes de x qui auraient o pour limite, et, puisque la différence de deux polynômes est un polynôme, que deux polynômes ne peuvent prendre des valeurs égales pour une telle suite de valeurs de x, sans être identiques terme à terme.

Il importe de remarquer que ces diverses propriétés ne s'appliquent pas aux seuls polynômes. En effet, l'hypothèse que le dernier coefficient An est une constante n'intervient à peu près pas, et les conclusions précédentes à peine modifiées s'appliquent aux fonctions/(a;) qui, en désignant par a un nomhre positif que l'on supposera sans inconvénient inférieur à i, peuvent, pour l'ensemble des valeurs de x appartenant à l'intervalle ( — a, a) être mises sous la forme

Jix) = Ao + Aïo- 4- ... + An i.r"--i -}- A^a"'

où Aq, Al, ..., A„i sont des constantes et où An est une fonction de X dont on sait seulement qu'elle est bornée dans l'intervalle ( — - a, a). On ne considérera que des valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle ; on regardera S comme la somme des valeurs absolues de Aq, Aj, ..., A„i et de la borne supérieure des valeurs absolues de An dans l'intervalle ( — a, a), et les raisonnements précédents conduiront aux conclusions que voici :

La fonction /'(o?) est continue pour a? = o. Si l'un des coefficients constants Aq, A,, ..., A„i n'est pas nul, cette fonction ne peut s'annuler pour un ensemble de valeurs de x admettant o pour point d'accumulation. Si l'un des coefficients constants Aj, Aj, ..., A„i n'est pas nul, le premier de ces coefficients qui n'est pas nul permettra de reconnaître si, pour x = o, la fonction /(a;) est croissante ou décroissante, ou si elle admet un minimum ou un maximum. Le nombre naturel n étant donné, une fonction donnée de X ne peut être mise que d'une seule façon sous la forme précédente, c'est-à-dire que, si l'on a, pour toutes les valeurs de£c appartenant à l'intervalle ( — a, a)

Ao4- A^.T 4-. . .-h An la;"- ' + A„a^«=Bo-hBi.-c-i- . . .H- Bn i^;" " *-h B^a^", Bo, Bi, ..., Bn i étant constants comme Ao, Ai, ..., An.i, Bn étant