CHAPITRE IV. FONCTION EXPONENTIELLE 9. G

en désignant par/*'') (o), ce quo dcvionl/(^>(.7;) quand on y remplace X par o, et conduit à la formule suivante

/l^)=/(o)+f Ao) + ••• + 77^^'Mo)+ ••• + 777^/''' (o)-

La formule fondamentale

(i)/(« + :r)=./(rO + f/'(a)+...4-^-^^/^'(a) + ...+:^-^

où a est un nombre quelconque, ne diffère pas au fond de celle qui précède. Il suffît, pour s'en rendre compte, de remarquer que les dérivées successives du polynôme (en £c)y*(a + œ), s'obtiennent en remplaçant x par a -H x dans les dérivées/' (.x), f" {x), ... du polynôme /(aj). Or cela résulte de ce que, si dans l'idenlilé

on remplace x par a -t- h, elle devient

f(a + X -^h) = Po (a 4- x) + V, {a -\- x) h -^ ... -^ P„(a -4- x) li" ;

Pj (a -h x) ou f {a + œ), est le coefficient de h dans le développement àef[a -h X -^ h) suivant les puissances de h ; c'est la définition même de la dérivée du polynôme /(a -i- x); la dérivée du polynôme/' (a + x) est de même /'(a -+- x), etc..

La formule (i) appliquée au polynome/(ic) = ic", fournit la formule connue sous le nom de formule du binôme, laquelle inversement, quand on l'a démontrée directement, permet d'obtenir aisément la formule (i).

Celle-ci montre en particulier que le polynôme P,.{x) n'est autre chose que la dérivée r^ de /(a?) divisée par le produit des /' premiers nombres naturels.

Elle donne aussi l'expression d'un polynôme de degré inférieur ou égal à nqui prend, ainsi que ses n dérivées, des valeurs données pour une valeur donnée a de la variable. Si l'on veut que le polynôme soit effectivement du degré n, il faut que la valeur donnée de la n" dérivée ne soit pas nulle ; si les valeurs données des dérivées, à partir de la [p -+- I)^ étaient nulles, le polynôme serait de degré/).

174. — La même méthode que pour les polynômes s'applique anx fractions rationnelles.

On commencera par les étudier pour les valeurs de x voisines

de G ; soit

une telle fonction, dans laquelle le numérateur f{x) et le dénominateur g'[x) sont des polynômes en x. Supposons d'abord que g[x) ne soit pas nul pour x = o, c^est-à-dire que b^ ne soit pas nul ; on pourra, comme on l'a expliqué plus haut, fixer un intervalle ( — '/], vj) clans lequel on ait | </ (x) >■ ( 6(, ( — s, s étant un nombre positif donné à l'avance; dans l'intervalle, la fraction sera bornée. Csci posé, les règles de la division algébrique {)ermetlent de la mettre sous la forme

Cq —H c^x ~-\~ c^x — t— ... C/^x ,

en désignant par Cq, Ci, c.^, . , Cn—i des constantes, et par c„ une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes ; le dénominateur est g Çx) : la fraction c,i est donc bornée dans l'intervalle ( — yj, Tj) ; dès lors les conclusions du numéro précédent s'appliquent : on voit que la fraction rationnelle est continue pour aj =: o, et l'on sait reconnaître, pour cette valeur, si elle est croissante ou décroissante, si elle admet un minimum ou un maximum. Les expressions

Cq y , 6q p" CjX, Cq —f- C ^X |— O^X y ...

sont, pour les petites valeurs de x, des expressions approchées de la fraction rationnelle. Il n'est pas inutile, pour le calcul de ces expressions, d'observer que, si l'on veut obtenir l'une d'elles, où x ne figure pas à un degré supérieur k p, on peut, avant de faire la division, négliger au dividende et au diviseur, les termes de degré supérieur h. p, qui n'interviennent pas dans la partie du quotient que l'on veut avoir.

Supposons maintenant que 6q soit nul, et que Cq soit différent de o ; on pourra mettre g[x) sous la forme x^'ài^x), en désignant par '1 {x) un polynôme qui ne s'annule pas pour a? = o, et mettre