CHAPITRE IV, FONCTION EXPONENTIELLE

la fraction tt-t sous la forme

iM = A„ + A..r + ... -4- A.r'- -}-...+ A„a;'»

en désignant par n \n\ entier dont je suppose seulement qu'il soit supérieur à /', par Ao, ..., A„i des constantes dont la première n'est pas nulle, et par A„ une fraction dont le dénominateur est 'h{x), qui, par conséquent est bornée dans un intervalle convenablement choisi ( — r,, r,) : on en déduira

g [x) x'la première partie

-H A, -I- ... -1- AnX" — '

est un polynôme en - qui, pour les petites valeurs de [ .r |, c'est-à-

dire pour les grandes valeurs de

est une expression appro-

chée de la fonction donnée ; celle-ci est très grande, en valeur absolue, pour les petites valeurs de | -f | ; elle est du signe de son premier

terme -,? •

On dit qu'elle est infinie pour x ^= o. Si r est pair, son signe est le même que celui de A^ ; on dit qu'elle passe par -t- >d , ou par — 2c , suivant que A^ est positif ou négatif. Si 7' est impair, on dit, suivant que A,- est positif ou négatif, et en supposant que x croisse en passant par o, que la fonction passe de — 00 à -+- 00 , ou de -1- co à — oc .

Il importe de remarquer le rôle que joue le polynôme en -

(où l'on n'a pas fait figurer de terme constant) ; c'est, en quelque sorte la partie de la fraction qui devient infinie pour Jc = o ; la différence

2 66 INTRODUCnON A LA. THÉORIE DES FOINCTTONS

admet une limite finie pour x =i o, et peut, en lui attribuant cette valeur limite pour vraie valeur, être regardée comme continue pour X = o, comme bornée dans un petit intervalle dont o fait partie. D'après les propositions concernant les polynômes, que l'on

a établies plus haut, S i-\ est le seul polynôme en -, s'annulant

quand on remplace ~ par o, qui jouisse de cette propriété.

Si enfin /(ce) et g(x) s'annulent pour x = o, on mettra ces deux polynômes sous les formes

f[x) = xi(f{x), g(^x) =^ x^'\i[x),

(^{x) et '\i{x] ne s'annulant plus pour x =: o, et l'on aura

f(x) xi o (x)

Si l'on a ^ ^ r, on voit que la fraction pourra, pour les valeurs de X voisines de o, se mettre sous la forme

Le premier membre de cette égalité n'a plus de sens pour x ==: o; il est naturel de lui attribuer, môme pour cette valeur, le sens du second membre : c'est ce qu'on appelle la vraie valeur de la fraction ; elle est o si ^ est plus grand que /", elle est égale à Bq, c'està-dire au rapport des premiers coefficients de 9 (a?) et de ^{x), si q est égal à r. En adoptant cette convention, on voit que la fraction est continue pour x = o ; on sait d'ailleurs reconnaître si elle est croissante ou décroissante.

Si l'on a q <C r, on mettra la fraction sous la forme

fi^)^ B B, , B,.,,4.i ,

et l'on aura encore, au com.mencement du second membre^ un

polynôme en -, s'annulant quand on y remplace - par o, et tel que

la différence entre la fraction et ce polynôme, puisse être regardée comme une fonction continue de x, pour x = o.