CHAPITRE IV. FONCTIO^i EXPONENTIELLE

Il convient de remarquer que ccUo mélhode, qui permel, (Vc'liidier une fraction rationnelle pour les petites valeurs de x, s'applique au quotient de deux fonctions /(./'), ^(.x") susceptibles, pour les valeurs de x voisines de o, d'être mises sous une forme pareille à celle d'un polynôme, où, toutefois, le coeflicient de la plus haute puissance de x, au lieu d'être une constante, est une fonction de .r bornée dans un intervalle tel que ( — r^, yj). Pour obtenir les expressions approchées, on procéderait comme dans le cas des polynômes, en négligeant les termes qui ne doivent pas intervenir dans la formation du quotient partiel dont on a besoin.

II suffit, pour reconnaître comment une fonction rationnelle se

comporte pour les grandes valeurs de ce, de poser £ç = j ; ou est

alors ramené à l'étude d'une fonction rationnelle de z pour les petites valeurs de z. On voit de suite que si le numérateur de la fraction proposée est de degré inférieur ou égal au dénominateur, la fraction a une vraie valeur pour ~ = o, ou pour x = zhcc , et que, si le degré du numérateur l'emporte sur le degré du dénomina-

teur, il existe un polynôme T(x) tel que'^^ — $ (a;) puisse être

regardé comme une fonction continue de z pour ~ = o : Ce polynôme, qui est en quelque sorte la partie de la fraction qui devient infinie avec x, peut être obtenu par la division du polynôme / (a?) par le polynôme g{x), les deux polynômes étant ordonnés suivant lespu'ssances décroissantes dex.

Enfin, si on veut étudier la fraction pour les valeurs de x voisines de Xq, on posera a? = cCo H- h, et l'on sera ramené à étudier, pour les petites valeurs de h la fraction

</G''o + /') Qo -+- Qi/t + Q2'*' + ... '

que l'on traitera comme il a été expliqué. La continuité est évidente, si Xf^ n'est pas une racine du dénominateur. Si x^ est une racine de (/ (ii;) , la fraction aura une vraie valeur, au sens précédemment expliqué, dans le cas où x^ est aussi racine def{x) avec un degré de multiplicité égal ou supérieur. Dans le cas où Xq est d'un ordre de multiplicité plus grand pour g{x) que pour f{x), la fraction est infinie pour x = Xq, et l'on peut retrancher du second

membre un polynôme en j (sans terme indépendant de j-j, ou plutôt de la fraction un polynôme en ( ), ^o ( )» telle que

\X Xq^ \X Xq/

la différence

puisse être regardée comme une fonction continue pour x = x^; ^o( — ~ — ) 6st la partie de la fraction qui devient infinie pour

\X Xq/

fi(x] Cette différence est une fraction rationnelle ^-^-r-\ , dans laquelle

le dénominateur ^j(a?) n'est autre chose que le quotient de^(a;) par (x — £Co)*"' 6n désignant par a^ le degré de multiplicité de la racine x^ du polynôme g [x) ; On peut appliquer le même mode de raisonnement à cette fonction rationnelle, et l'on parvient ainsi à cette conclusion.

Si l'on a, en désignant par 4 une constante et par «(,,«1, ..., a„i des entiers naturels,

g(x) = X(x — XqY» (x — a-J^i ... [x — a'„i)"^"-i

on

pourra mettre la fraction -^-M sous la forme

x) ^ \x — Tq/ ' \x — a-j/ \

Si{z) désigne en général un polynôme en ~, sans terme indépendant de z, de degré inférieur ou égal à a; : ce polynôme n'existe pas si Xi est une racine def[x) d'un ordre de multiplicité égal ou supérieur à a.i ; si Xi est une racine d'ordre de multiplicité |3i inférieur à a.i, $i{z) est de degré a; — /3;. Si, comme on peut toujours le supposer, Xi n'est pas racine de/(j;), $;(-) est de degré ai ; enfin ^(x) est un polynôme en x, qui n'existe que dans le cas où le degré de g[x) n'est pas supérieur à celui de f{x), qui peut s'obtenir en faisant la division de f{x) et de g {x} , ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x, et en ne gardant que la partie entière.